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5.1 练习2　导数的概念
1. 如图所示为函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)在[1， 3]上的平均变化率是(　 　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
2. 已知f(x)＝x2－3x，则f '(0)等于(　 　)
A. Δx－3 B. (Δx)2－3Δx C. －3 D. 0
3. 设函数y＝f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　 　)
A. f '(x)＝a B. f '(x)＝b C. f '(x0)＝a D. f '(x0)＝b
4. (2024·河南驻马店高二期末)定义在R上的函数y＝f(x)在区间[2， 2＋Δx](Δx＞0)内的平均变化率为＝(Δx)2＋2Δx＋1，其中Δy＝f(2＋Δx)－f(2)，则函数f(x)在x＝2处的导数f'(2)为(　 　)
A. －1 B. 1 C. 3 D. 9
5. 某公司的盈利y(单位：元)和时间x(单位：天)之间的函数关系是y＝f(x)，若＞0(x1＞x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则这些数据说明后10天与前10天比较(　 　)
A. 公司已经亏损
B. 公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C. 公司在亏损且亏损幅度变小
D. 公司的盈利在增加，增加的幅度变小
6. 已知直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，且与曲线y＝f(x)相切于点A(2，3)，则的值为(　 　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
7. 设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则f'(1)为(　 　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
8. (多选)(2025·长沙长郡中学高二月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y＝f(x)在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]，[4，7]上的平均变化率的说法，正确的是(　 　)
A. 在区间[1，2]上的平均变化率最小
B. 在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C. 在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D. 在区间[4，7]上的平均变化率最大
9. (多选)设f(x)在x＝x0处可导，下列式子中，与f'(x0)相等的是(　 　)
A. B.
C. D.
10. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2 s时，此木块在水平方向上的瞬时速度
为 m/s.
11. 若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f'(0)＝ .
12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t＞0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2处的瞬时变化率是 .　
13. 已知f(x)＝x2＋3.
(1)求y＝f(x)在x＝1处的导数；
(2)求y＝f(x)在x＝a处的导数.
14. 服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)与时间t(单位：min)之间的函数关系式为y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为
f'(10)＝1.5和f '(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义.
@拓展突破练
15. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f'(x)，已知f'(0)＞0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值是 .
16. 节日期间燃放烟花是中国的传统习俗之一，制造烟花时通常希望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系式为
h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况.(共24张PPT)
一、导数的概念及其意义
练习2　导数的概念
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 如图所示为函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)在[1， 3]上的平均变
化率是(　B　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【解析】 ＝ ＝ ＝－1.
B
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2. 已知f(x)＝x2－3x，则f '(0)等于(　C　)
A. Δx－3 B. (Δx)2－3Δx C. －3 D. 0
【解析】 f'(0)＝ ＝ ＝
(Δx－3)＝－3.
C
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3. 设函数y＝f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋
b(Δx)2(a，b为常数)，则(　C　)
A. f '(x)＝a B. f '(x)＝b
C. f '(x0)＝a D. f '(x0)＝b
【解析】 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，
＝a＋bΔx，当Δx趋于0时，a＋bΔx趋于a，故f'(x0)＝a.
C
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4. (2024·河南驻马店高二期末)定义在R上的函数y＝f(x)在区间[2， 2＋
Δx](Δx＞0)内的平均变化率为 ＝(Δx)2＋2Δx＋1，其中Δy＝f(2＋
Δx)－f(2)，则函数f(x)在x＝2处的导数f'(2)为(　B　)
A. －1 B. 1 C. 3 D. 9
【解析】 由导数的定义可得f'(2)＝ ＝
[(Δx)2＋2Δx＋1]＝1.
B
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5. 某公司的盈利y(单位：元)和时间x(单位：天)之间的函数关系是y＝
f(x)，若 ＞0(x1＞x0≥0)恒成立，且 ＝10， ＝
1，则这些数据说明后10天与前10天比较(　D　)
A. 公司已经亏损
B. 公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C. 公司在亏损且亏损幅度变小
D. 公司的盈利在增加，增加的幅度变小
D
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【解析】 平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增
加的幅度变小了，但还是增加的.
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6. 已知直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，且与曲线y＝f(x)相切于点
A(2，3)，则 的值为(　C　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【解析】 ∵直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，
∴直线l方程为y＝x＋1.依题意可得曲线在x＝2处的导数为f'(2)＝1，
∴f'(2)＝ ＝1.
C
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7. 设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f'(1)为(　B　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【解析】 令x→0，则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，
则 ＝ ＝f'(1)＝－1.
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8. (多选)(2025·长沙长郡中学高二月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所
示，则下列关于函数y＝f(x)在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]，[4，7]上
的平均变化率的说法，正确的是(　BC　)
A. 在区间[1，2]上的平均变化率最小
B. 在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C. 在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D. 在区间[4，7]上的平均变化率最大
BC
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【解析】 由函数图象可得，函数y＝f(x)在区间[4，7]上的平均变化率
小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上，平均变化率均大于0且Δx相
同.由图象可知函数y＝f(x)在区间[3，4]上的平均变化率最大.
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9. (多选)设f(x)在x＝x0处可导，下列式子中，与f'(x0)相等的是(　AC　)
A. B.
C. D.
AC
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【解析】 对于A， ＝ ＝
f'(x0)，A满足题意；
对于B， ＝2 ＝2f'(x0)，
B不满足题意；
对于C， ＝f'(x0)，C满足题意；
对于D， ＝3 ＝
3f'(x0)，D不满足题意.
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10. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(单位：m)与时
间t(单位：s)之间的函数关系式为s＝ t2，则t＝2 s时，此木块在水平
方向上的瞬时速度为 m/s.
【解析】 s'｜t＝2＝ ＝ (Δt＋ )＝ m/s.
　
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11. 若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，
则f'(0)＝ .
【解析】 ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f '(0)＝ ＝ ＝－1.
－1　
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12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x，y＝0，
x＝t(t＞0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2处的瞬时变化率
是 .　
2 　
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【解析】 由题可知，｜AB｜＝ t，｜OA｜＝t，
∴S(t)＝ ｜AB｜｜OA｜＝ × t·t＝ t2，
∴S'(2)＝ ＝2 .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 已知f(x)＝x2＋3.
(1)求y＝f(x)在x＝1处的导数；
解： (1)∵ ＝ ＝ ＝2＋Δx，
∴f'(1)＝ (2＋Δx)＝2.
(2)求y＝f(x)在x＝a处的导数.
(2)∵ ＝ ＝ ＝2a＋Δx，
∴f'(a)＝ (2a＋Δx)＝2a.
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14. 服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)与时间
t(单位：min)之间的函数关系式为y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10
和t＝100处的导数分别为f'(10)＝1.5和f '(100)＝－0.6，试解释它
们的实际意义.
解： '(10)＝1.5表示在服药后第10 min附近，血液中药物的质量浓度大
约以1.5 μg/(mL·min)的速度上升.
f'(100)＝－0.6表示服药后第100 min附近，血液中药物的质量浓度大约
以0.6 μg/(mL·min)的速度下降.
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f'(x)，已知f'(0)＞0，且对
于任意实数x，有f(x)≥0，则 的最小值是 .
【解析】 由导数的定义，得f'(0)＝ ＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b＞0.
又 ∴ac≥ ，∴c＞0.
∴ ＝ ≥ ≥ ＝2，当且仅当a＝c＝ 时，等号成立.
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16. 节日期间燃放烟花是中国的传统习俗之一，制造烟花时通常希望它
在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单
位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的
瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况.
解： ∵ ＝ ＝－9.8t－4.9Δt＋14.7，
∴h'(t)＝ ＝ (－9.8t－4.9Δt＋14.7)＝－9.8t＋14.7，
∴h'(2)＝－4.9，即在t＝2 s时烟花正以4.9 m/s的速度下降.
由h'(t)＝0得t＝1.5，在t＝1.5 s附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，
此时达到最高点并爆裂，在1.5 s之前，导数大于0且递减，烟花以越来
越小的速度上升，在1.5 s之后，导数小于0且绝对值越来越大，烟花以
越来越大的速度下降，直至落地.
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165.1 练习2　导数的概念
1. 如图所示为函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)在[1， 3]上的平均变化率是(　B　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【解析】 ＝＝＝－1.
2. 已知f(x)＝x2－3x，则f '(0)等于(　C　)
A. Δx－3 B. (Δx)2－3Δx C. －3 D. 0
【解析】 f'(0)＝＝＝(Δx－3)＝－3.
3. 设函数y＝f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　C　)
A. f '(x)＝a B. f '(x)＝b C. f '(x0)＝a D. f '(x0)＝b
【解析】 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，
＝a＋bΔx，当Δx趋于0时，a＋bΔx趋于a，故f'(x0)＝a.
4. (2024·河南驻马店高二期末)定义在R上的函数y＝f(x)在区间[2， 2＋Δx](Δx＞0)内的平均变化率为＝(Δx)2＋2Δx＋1，其中Δy＝f(2＋Δx)－f(2)，则函数f(x)在x＝2处的导数f'(2)为(　B　)
A. －1 B. 1 C. 3 D. 9
【解析】 由导数的定义可得f'(2)＝＝[(Δx)2＋2Δx＋1]＝1.
5. 某公司的盈利y(单位：元)和时间x(单位：天)之间的函数关系是y＝f(x)，若＞0(x1＞x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则这些数据说明后10天与前10天比较(　D　)
A. 公司已经亏损
B. 公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C. 公司在亏损且亏损幅度变小
D. 公司的盈利在增加，增加的幅度变小
【解析】 平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的.
6. 已知直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，且与曲线y＝f(x)相切于点A(2，3)，则的值为(　C　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【解析】 ∵直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，
∴直线l方程为y＝x＋1.依题意可得曲线在x＝2处的导数为f'(2)＝1，∴f'(2)＝＝1.
7. 设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则f'(1)为(　B　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【解析】 令x→0，则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，
则＝＝f'(1)＝－1.
8. (多选)(2025·长沙长郡中学高二月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y＝f(x)在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]，[4，7]上的平均变化率的说法，正确的是(　BC　)
A. 在区间[1，2]上的平均变化率最小
B. 在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C. 在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D. 在区间[4，7]上的平均变化率最大
【解析】 由函数图象可得，函数y＝f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上，平均变化率均大于0且Δx相同.由图象可知函数y＝f(x)在区间[3，4]上的平均变化率最大.
9. (多选)设f(x)在x＝x0处可导，下列式子中，与f'(x0)相等的是(　AC　)
A. B.
C. D.
【解析】 对于A，＝
＝f'(x0)，A满足题意；
对于B，＝
2＝2f'(x0)，B不满足题意；
对于C，＝f'(x0)，C满足题意；
对于D，＝
3＝3f'(x0)，D不满足题意.
10. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2 s时，此木块在水平方向上的瞬时速度
为　　m/s.
【解析】 s'｜t＝2＝＝(Δt＋)＝ m/s.
11. 若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f'(0)＝　　－1　.
【解析】 ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f '(0)＝＝＝－1.
12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t＞0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2处的瞬时变化率是　　2　.　
【解析】 由题可知，｜AB｜＝t，｜OA｜＝t，
∴S(t)＝｜AB｜｜OA｜＝×t·t＝t2，
∴S'(2)＝＝2.
13. 已知f(x)＝x2＋3.
(1)求y＝f(x)在x＝1处的导数；
(2)求y＝f(x)在x＝a处的导数.
解： (1)∵＝＝＝2＋Δx，
∴f'(1)＝(2＋Δx)＝2.
(2)∵＝＝＝2a＋Δx，
∴f'(a)＝(2a＋Δx)＝2a.
14. 服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)与时间t(单位：min)之间的函数关系式为y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为
f'(10)＝1.5和f '(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义.
解： '(10)＝1.5表示在服药后第10 min附近，血液中药物的质量浓度大约以1.5 μg/(mL·min)的速度上升.
f'(100)＝－0.6表示服药后第100 min附近，血液中药物的质量浓度大约以0.6 μg/(mL·min)的速度下降.
@拓展突破练
15. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f'(x)，已知f'(0)＞0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值是　　2　.
【解析】 由导数的定义，得f'(0)＝
＝＝[a·(Δx)＋b]＝b＞0.
又∴ac≥，∴c＞0.
∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c＝时，等号成立.
16. 节日期间燃放烟花是中国的传统习俗之一，制造烟花时通常希望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系式为
h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况.
解： ∵＝＝－9.8t－4.9Δt＋14.7，
∴h'(t)＝＝(－9.8t－4.9Δt＋14.7)＝－9.8t＋14.7，∴h'(2)＝－4.9，即在t＝2 s时烟花正以4.9 m/s的速度下降.
由h'(t)＝0得t＝1.5，在t＝1.5 s附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s之前，导数大于0且递减，烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s之后，导数小于0且绝对值越来越大，烟花以越来越大的速度下降，直至落地.

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