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(共28张PPT)
一、导数的概念及其意义
练习3　导数的几何意义
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 函数f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)的几何意义是(　D　)
A. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的斜率
B. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C. 点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率
D. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
【解析】 f'(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的
斜率.
D
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2. 若过函数y＝f(x)图象上点A(3， a)的切线与直线2x＋y＋1＝0平
行，则f'(3)为(　C　)
A. 2 B. － C. －2 D.
【解析】 ∵过点A(3，a)的切线与2x＋y＋1＝0平行，∴过点A的切线
斜率f'(3)＝－2.
C
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3. 在跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)为
h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则t＝2时运动员的瞬时速度为(　D　)
A. 3.4 m/s B. 3.4 m/s
C. 13.1 m/s D. －13.1 m/s
【解析】 ∵h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
∴h'(2)＝ ＝－13.1，
即t＝2时运动员的瞬时速度为－13.1 m/s.
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4. 函数y＝(x－1)2的导数是(　C　)
A. －2 B. (x－1)2
C. 2(x－1) D. 2(1－x)
【解析】 y'＝ ＝ ＝
＝2x－2＝2(x－1).
C
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5. 一个质量m＝5 kg的物体做直线运动，运动路程s(单位：m)与时间
t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t＋ t2表示，并且该物体的动能Ek＝
mv2(m为物体的质量，v为物体运动的速度)，则物体开始运动后第7 s时
的动能是(　A　)
A. 160 J B. 165 J C. 170 J D. 175 J
A
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【解析】 ∵s(t)＝t＋ t2，
∴s'(t)＝ ＝1＋t，
∴物体开始运动后第7 s时的瞬时速度v＝s'(7)＝1＋7＝8 m/s，
此时的动能Ek＝ mv2＝ ×5×82＝160 J.
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6. 某天早上，小明骑车上学，出发时感到时间较紧张，然后加速前进，后来发现时间还比较充裕，于是放慢了速度.记出发后经过的时间为t，
离开家的距离为s，则下列图象中，与以上事件吻合得最好的是(　C　)
C
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【解析】 首先加速前进，说明图象上升得越来越快，后来放慢速
度，说明图象上升得越来越慢，∴图象的切线斜率先越来越大，后
越来越小.
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7. (2025·湖北名校联盟高二联考)函数f(x)的图象如图所示，则下列不等
关系中，正确的是(　C　)
A. f'(1)＜f'(2)＜f(2)－f(1)＜0
B. f'(2)＜f(2)－f(1)＜f'(1)＜0
C. f'(1)＜f(2)－f(1)＜f'(2)＜0
D. f(2)－f(1)＜f'(1)＜f'(2)＜0
C
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【解析】 设A(1，f(1))，B(2，f(2))，如图所示，由图可得
f'(1)＜kAB＜f'(2)＜0，又kAB＝ ＝f(2)－f(1)，
故f'(1)＜f(2)－f(1)＜f'(2)＜0.
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8. (多选)下列说法中，正确的是(　AC　)
A. 若f'(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处可能有切线
B. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f'(x0)必存在
C. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率存在，则f'(x0)存在
D. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f'(x0)有可能存在
【解析】 曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处的切线斜率k＝f'(x0)，f'(x0)不
存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切
线可能存在，切线方程是x＝x0，A，C正确.
AC
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9. (多选)已知点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线
y＝f(x)的切线方程可能是(　AD　)
A. 6x－y－4＝0 B. x－4y＋7＝0
C. 4x－y＋7＝0 D. 3x－2y＋1＝0
AD
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【解析】 ∵点A(1， 2)在函数f(x)＝ax3的图象上，
∴a＝2.设切点为P(x0，2 )，则由f(x)＝2x3，
得f'(x0)＝ ＝ ＝
[6x0·Δx＋6 ＋2(Δx)2]＝6 ，即切线的斜率k＝6 ，
∴曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y－2 ＝6 (x－x0)，
即y＝6 x－4 .
∵点A(1，2)在切线上，∴2＝6 －4 ，
即2 (x0－1)－(－1)＝(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1，或x0＝－ ，
∴切线方程为6x－y－4＝0，或3x－2y＋1＝0.
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10. 已知函数y＝f(x)，若f'(x0)＞0，则曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处切
线的倾斜角的范围是 .
【解析】 f '(x0)＞0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率大于0，
故倾斜角为锐角.
(0， )　
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11. 已知f(x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f(x)的导函数f'(x)＝4x，
则m＝ ，n＝ .
【解析】 ＝ ＝mΔx＋2mx，
故f'(x)＝ (mΔx＋2mx)＝2mx＝4x，
∴m＝2.又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，
∴n＝－3，故m＝2，n＝－3.
2　
－3　
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12. 曲线y＝x3在点(a， a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的
三角形的面积为 ，则a＝ .
【解析】 ∵f'(a)＝ ＝3a2，
∴曲线在(a， a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点
为( a，0)，与直线x＝a的交点为(a，a3)，
∴三角形的面积为 ｜a－ a｜·｜a3｜＝ ，得a＝±1.
±1　
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13. 在抛物线y＝x2上，哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪
一点处的切线垂直于这条直线？
解： y'＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则y' ＝2x0＝4，解得x0＝2，∴y0＝ ＝4，即P(2，4)，
经检验，符合题意.
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
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则y' ＝2x1＝－ ，解得x1＝－ ，
∴y1＝ ＝ ，即Q(－ ， )，经检验，符合题意.
故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
在点(－ ， )处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
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14. 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的
另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
解： (1)y'｜x＝1＝ ＝3，
∴l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设曲线y＝x2＋x－2在点B(b，b2＋b－2)处的切线为l2，
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y'｜x＝b＝ ＝2b＋1，
∴l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，
即y＝(2b＋1)x－b2－2.又l1⊥l2，∴3×(2b＋1)＝－1，
∴b＝－ ，∴l2的方程为y＝－ x－ .
(2)由 得 即l1与l2的交点坐标为(，－ )，l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(－ ，0)，
∴所求三角形的面积S＝ ×｜－ ｜×｜1＋ ｜＝ .
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15. 若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距
离为 .
　
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【解析】 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，
点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线
y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知
y'＝f'(x)＝ ＝2x＝1，解得x＝ ，
∴P(， )，故点P到直线y＝x－2的最小距离为
d＝ ＝ .
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16. 已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出
该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说
明理由.
解： ∵ ＝ ＝2x＋Δx，
∴y'＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0， y0)，则切线的斜率为k＝y' ＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0).
又切线过点(1，a)，且y0＝ ＋1，
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∴a－(＋1)＝2x0(1－x0)，即 －2x0＋a－1＝0.
∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2.
故存在实数a，使得经过点(1， a)能够作出该曲线的两条切线，
a的取值范围是(－∞， 2).
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165.1 练习3　导数的几何意义
1. 函数f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)的几何意义是(　D　)
A. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的斜率
B. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C. 点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率
D. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
【解析】 f'(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.
2. 若过函数y＝f(x)图象上点A(3， a)的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则f'(3)为(　C　)
A. 2 B. － C. －2 D.
【解析】 ∵过点A(3，a)的切线与2x＋y＋1＝0平行，∴过点A的切线斜率
f'(3)＝－2.
3. 在跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则t＝2时运动员的瞬时速度为(　D　)
A. 3.4 m/s B. 3.4 m/s C. 13.1 m/s D. －13.1 m/s
【解析】 ∵h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
∴h'(2)＝＝－13.1，
即t＝2时运动员的瞬时速度为－13.1 m/s.
4. 函数y＝(x－1)2的导数是(　C　)
A. －2 B. (x－1)2 C. 2(x－1) D. 2(1－x)
【解析】 y'＝＝＝＝
2x－2＝2(x－1).
5. 一个质量m＝5 kg的物体做直线运动，运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t＋t2表示，并且该物体的动能Ek＝mv2(m为物体的质量，v为物体运动的速度)，则物体开始运动后第7 s时的动能是(　A　)
A. 160 J B. 165 J C. 170 J D. 175 J
【解析】 ∵s(t)＝t＋t2，
∴s'(t)＝＝1＋t，
∴物体开始运动后第7 s时的瞬时速度v＝s'(7)＝1＋7＝8 m/s，
此时的动能Ek＝mv2＝×5×82＝160 J.
6. 某天早上，小明骑车上学，出发时感到时间较紧张，然后加速前进，后来发现时间还比较充裕，于是放慢了速度.记出发后经过的时间为t，离开家的距离为s，则下列图象中，与以上事件吻合得最好的是(　C　)
【解析】 首先加速前进，说明图象上升得越来越快，后来放慢速度，说明图象上升得越来越慢，∴图象的切线斜率先越来越大，后越来越小.
7. (2025·湖北名校联盟高二联考)函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中，正确的是(　C　)
A. f'(1)＜f'(2)＜f(2)－f(1)＜0
B. f'(2)＜f(2)－f(1)＜f'(1)＜0
C. f'(1)＜f(2)－f(1)＜f'(2)＜0
D. f(2)－f(1)＜f'(1)＜f'(2)＜0
【解析】 设A(1，f(1))，B(2，f(2))，如图所示，由图可得f'(1)＜kAB＜f'(2)＜0，又kAB＝＝f(2)－f(1)，故f'(1)＜f(2)－f(1)＜f'(2)＜0.
8. (多选)下列说法中，正确的是(　AC　)
A. 若f'(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处可能有切线
B. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f'(x0)必存在
C. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率存在，则f'(x0)存在
D. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f'(x0)有可能存在
【解析】 曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处的切线斜率k＝f'(x0)，f'(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线可能存在，切线方程是x＝x0，A，C正确.
9. (多选)已知点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线y＝f(x)的切线方程可能是(　AD　)
A. 6x－y－4＝0 B. x－4y＋7＝0
C. 4x－y＋7＝0 D. 3x－2y＋1＝0
【解析】 ∵点A(1， 2)在函数f(x)＝ax3的图象上，
∴a＝2.设切点为P(x0，2)，则由f(x)＝2x3，
得f'(x0)＝＝＝[6x0·Δx＋6＋2(Δx)2]＝6，即切线的斜率k＝6，
∴曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y－2＝6(x－x0)，
即y＝6x－4.
∵点A(1，2)在切线上，∴2＝6－4，
即2(x0－1)－(－1)＝(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1，或x0＝－，
∴切线方程为6x－y－4＝0，或3x－2y＋1＝0.
10. 已知函数y＝f(x)，若f'(x0)＞0，则曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处切线的倾斜角的范围是　(0，)　.
【解析】 f '(x0)＞0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角.
11. 已知f(x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f(x)的导函数f'(x)＝4x，则m＝　2　，n＝　－3　.
【解析】 ＝＝mΔx＋2mx，
故f'(x)＝(mΔx＋2mx)＝2mx＝4x，
∴m＝2.又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，
∴n＝－3，故m＝2，n＝－3.
12. 曲线y＝x3在点(a， a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝　　±1　.
【解析】 ∵f'(a)＝＝3a2，
∴曲线在(a， a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为(a，0)，与直线x＝a的交点为(a，a3)，
∴三角形的面积为｜a－a｜·｜a3｜＝，得a＝±1.
13. 在抛物线y＝x2上，哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解： y'＝＝(2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则y'＝2x0＝4，解得x0＝2，∴y0＝＝4，即P(2，4)，经检验，符合题意.
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则y'＝2x1＝－，解得x1＝－，∴y1＝＝，
即Q(－，)，经检验，符合题意.
故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
在点(－，)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
14. 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
解： (1)y'｜x＝1＝＝3，
∴l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设曲线y＝x2＋x－2在点B(b，b2＋b－2)处的切线为l2，
y'｜x＝b＝＝2b＋1，
∴l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，
即y＝(2b＋1)x－b2－2.又l1⊥l2，∴3×(2b＋1)＝－1，
∴b＝－，∴l2的方程为y＝－x－.
(2)由得即l1与l2的交点坐标为(，－)，l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(－，0)，
∴所求三角形的面积S＝×｜－｜×｜1＋｜＝.
15. 若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为　　.
【解析】 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，
点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线
y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知
y'＝f'(x)＝＝2x＝1，解得x＝，
∴P(，)，故点P到直线y＝x－2的最小距离为
d＝＝.
16. 已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
解： ∵＝＝2x＋Δx，
∴y'＝＝(2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0， y0)，则切线的斜率为k＝y'＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0).
又切线过点(1，a)，且y0＝＋1，
∴a－(＋1)＝2x0(1－x0)，即－2x0＋a－1＝0.
∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2.
故存在实数a，使得经过点(1， a)能够作出该曲线的两条切线，
a的取值范围是(－∞， 2).5.1 练习3　导数的几何意义
1. 函数f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)的几何意义是(　 　)
A. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的斜率
B. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C. 点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率
D. 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
2. 若过函数y＝f(x)图象上点A(3， a)的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则f'(3)为(　 　)
A. 2 B. － C. －2 D.
3. 在跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则t＝2时运动员的瞬时速度为(　 　)
A. 3.4 m/s B. 3.4 m/s C. 13.1 m/s D. －13.1 m/s
4. 函数y＝(x－1)2的导数是(　 　)
A. －2 B. (x－1)2 C. 2(x－1) D. 2(1－x)
5. 一个质量m＝5 kg的物体做直线运动，运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t＋t2表示，并且该物体的动能Ek＝mv2(m为物体的质量，v为物体运动的速度)，则物体开始运动后第7 s时的动能是(　 　)
A. 160 J B. 165 J C. 170 J D. 175 J
6. 某天早上，小明骑车上学，出发时感到时间较紧张，然后加速前进，后来发现时间还比较充裕，于是放慢了速度.记出发后经过的时间为t，离开家的距离为s，则下列图象中，与以上事件吻合得最好的是(　 　)
7. (2025·湖北名校联盟高二联考)函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中，正确的是(　 　)
A. f'(1)＜f'(2)＜f(2)－f(1)＜0
B. f'(2)＜f(2)－f(1)＜f'(1)＜0
C. f'(1)＜f(2)－f(1)＜f'(2)＜0
D. f(2)－f(1)＜f'(1)＜f'(2)＜0
8. (多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若f'(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处可能有切线
B. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f'(x0)必存在
C. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率存在，则f'(x0)存在
D. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f'(x0)有可能存在
9. (多选)已知点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线y＝f(x)的切线方程可能是(　 　)
A. 6x－y－4＝0 B. x－4y＋7＝0
C. 4x－y＋7＝0 D. 3x－2y＋1＝0
10. 已知函数y＝f(x)，若f'(x0)＞0，则曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处切线的倾斜角的范围是 .
11. 已知f(x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f(x)的导函数f'(x)＝4x，则m＝ ，n＝ .
12. 曲线y＝x3在点(a， a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝ .
13. 在抛物线y＝x2上，哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
14. 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
15. 若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 .
16. 已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

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