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(共22张PPT)
二、导数的运算
练习1　基本初等函数的导数
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 已知y＝ ，则y'等于(　D　)
A. B. － C. D. 0
【解析】 由y＝ ，得y'＝()'＝0.
D
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2. 函数y＝x3在点(2，8)处的切线方程为(　A　)
A. y＝12x－16 B. y＝12x＋16
C. y＝－12x－16 D. y＝－12x＋16
【解析】 ∵y'＝3x2，当x＝2时，y'＝12，
∴切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.
A
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3. (2025·广东珠海高二期末)下列导数运算中，正确的是(　B　)
A. ( cos x)'＝ sin x B. (log2x)'＝
C. (2x)'＝2x D. '＝
【解析】 对于A，( cos x)'＝－ sin x，A错误；
对于B，(log2x)'＝ ，B正确；
对于C，(2x)'＝2xln 2，C错误；
对于D， '＝－ ，D错误.
B
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4. 如果质点M按照规律s＝t2运动，那么M在t＝2时的瞬时速度
为(　B　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【解析】 ∵质点M按照规律s＝t2运动，
∴s'＝2t，∴M在t＝2时的瞬时速度为s'｜t＝2＝2×2＝4.
B
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5. 设正弦曲线y＝ sin x上一点P，以P为切点的切线为直线l，则直线l
的倾斜角α的取值范围是(　A　)
A. [0，] ∪ [ ，π) B. [0，π)
C. (， ) D. [0， )∪(， ]
【解析】 ∵( sin x)'＝ cos x，∴kl＝ cos x，
∴－1≤tan α≤1，又α∈[0，π)，
∴α∈ [0， ] ∪ [ ，π).
A
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6. 记函数y＝f(2)(x)表示对函数y＝f(x)连续两次求导， 即先对y＝f(x)
求导，得y＝f'(x)，再对y＝f'(x)求导，得y＝f(2)(x).下列函数中，满足
f(2)(x)＝f(x)的是(　C　)
A. f(x)＝x B. f(x)＝ sin x
C. f(x)＝ex D. f(x)＝ln x
【解析】 对于A，f'(x)＝1，f(2)(x)＝0≠f(x)；对于B，f'(x)＝ cos x，
f(2)(x)＝－ sin x≠f(x)；对于C，f'(x)＝ex，f(2)(x)＝ex＝f(x)；对于D，
f'(x)＝ ，f(2)(x)＝－ ≠f(x)，综上，只有C满足f(2)(x)＝f(x).
C
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7. 已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵y＝ln x，∴y'＝ ，设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率为 ，∴切线方程是y－ln x0＝ (x－x0)，即y＝ ＋ln x0－1，
∴a＝ ，ln x0－1＝0，得a＝ .
C
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8. (多选)设函数f(x)＝－ cos x的图象在点P处的切线为l，则直线l的斜
率可能为(　ABC　)
A. B. C. 1 D.
【解析】 ∵f(x)＝－ cos x，∴f'(x)＝ sin x∈[－1，1]，
又函数f(x)＝－ cos x的图象在点P处的切线为l，
∴直线l的斜率的取值范围是[－1，1].
ABC
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9. (多选)已知函数f(x)＝ 若f'(a)＝12，则实数a的值
可以是(　BC　)
A. 2 B. －2 C. D. 4
【解析】 f'(x)＝ 当a＜0时，由f'(a)＝3a2＝12，
解得a＝－2，或a＝2(舍去)；当0＜a＜1时，由f'(a)＝ ＝12，
解得a＝ .
BC
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10. 质点的运动方程是s＝ sin t，则质点在t＝ 时的速度为 　 　，质
点运动的加速度为 .
【解析】 v(t)＝s'(t)＝ cos t，∴v()＝ cos ＝ ，即质点在t＝ 时的
速度为 .∵v(t)＝ cos t，∴加速度a(t)＝v'(t)＝( cos t)'＝－ sin t，
∴a()＝－ sin ＝－ .
　
－ 　
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11. 已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值
为 .
【解析】 设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y'＝ .
∵曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，
其斜率为1，∴y' ＝ ＝1，即x0＝1，∴切点为(1，0)，
∴1－0＋c＝0，c＝－1.
－1
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12. 若正三角形的内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6 r，面积S(r)＝3 r2，发现S'(r)＝C(r).相应地，若正四面体的内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24 r2. 请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积：V(r)＝ (写出关于r的表达式).
【解析】 由题意得V'(r)＝S(r)，∵S(r)＝24 r2，
∴V'(r)＝24 r2，则V(r)＝8 r3.
8 r3　
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
关键能力练
13. 求下列函数的导数.
(1)y＝ cos ；(2)y＝log5x；(3)y＝ ；(4)y＝5x.
解： (1)由已知得y'＝0.
(2)由已知得y'＝ .
(3)由已知得y'＝－ .
(4)由已知得y'＝5xln 5.
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14. 已知点A ，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程.
解： (1)设切点为(m，log2m)(m＞0).
∵f(x)＝log2x，∴f'(x)＝ .
由题意可得 ＝ ，解得m＝e，
∴切线方程为y－log2e＝ (x－e)，即y＝ x.
(2)在曲线y＝f(x) 上是否存在点P，使得过点P的切线与直
线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
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(2)过点A(，－1)，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝ .
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，
设P(n，log2n)， ≤n≤2，则有 ＝ ，得n＝ .
又 ＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，∴ ＜ ＜ .
∴在曲线y＝f(x)(≤x≤2)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB
平行，且点P的横坐标为 .
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
拓展突破练
15. 过点P(0，－1)作曲线C：y＝ln x的切线，切点为A1，设A1在y轴
上的投影是点B1，过点B1再作曲线C的切线，切点为A2，设A2在y轴
上的投影是点B2，依此进行下去，得到第n(n∈N*)个切点An，则点An
的坐标为 .
(en－1，n－1)　
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【解析】 设A1(x1，ln x1)，由y＝ln x，得y'＝ ，
∴y' ＝ ，故切线方程为y－ln x1＝ (x－x1)，
将点(0，－1)的坐标代入，可得－1－ln x1＝ (0－x1)，
解得x1＝1，即A1(1，0)，B1(0，0).
同理，设A2(x2，ln x2)，则过点B1的曲线C的切线方程为y－ln x2＝ (x
－x2)，将点(0，0)的坐标代入，可得0－ln x2＝ (0－x2)，解得x2＝e，
故A2(e，1)，B2(0，1)，依此进行下去，可得An的坐标为(en－1，n－1).
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16. 已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋3上的一动点，
当｜PQ｜最小时，求P的坐标及｜PQ｜的最小值.
解： 如图所示，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋3平行时，
切点P到直线y＝x＋3的距离即为｜PQ｜的最小值.由y＝ln x，
得y'＝(ln x)'＝ ，设P(x0，y0)，令 ＝1，得x0＝1，
则y0＝ln x0＝0，故此时点P的坐标为(1，0)，
∴｜PQ｜的最小值是 ＝2 .
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165.2 练习1　基本初等函数的导数
1. 已知y＝，则y'等于(　D　)
A. B. － C. D. 0
【解析】 由y＝，得y'＝()'＝0.
2. 函数y＝x3在点(2，8)处的切线方程为(　A　)
A. y＝12x－16 B. y＝12x＋16
C. y＝－12x－16 D. y＝－12x＋16
【解析】 ∵y'＝3x2，当x＝2时，y'＝12，∴切线的斜率为12，切线方程为
y＝12x－16.
3. (2025·广东珠海高二期末)下列导数运算中，正确的是(　B　)
A. (cos x)'＝sin x B. (log2x)'＝
C. (2x)'＝2x D. '＝
【解析】 对于A，(cos x)'＝－sin x，A错误；
对于B，(log2x)'＝，B正确；
对于C，(2x)'＝2xln 2，C错误；
对于D，'＝－，D错误.
4. 如果质点M按照规律s＝t2运动，那么M在t＝2时的瞬时速度为(　B　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【解析】 ∵质点M按照规律s＝t2运动，
∴s'＝2t，∴M在t＝2时的瞬时速度为s'｜t＝2＝2×2＝4.
5. 设正弦曲线y＝sin x上一点P，以P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　A　)
A. 0，∪，π) B. [0，π)
C. (，) D. 0，)∪(，
【解析】 ∵(sin x)'＝cos x，∴kl＝cos x，
∴－1≤tan α≤1，又α∈[0，π)，
∴α∈0，∪，π).
6. 记函数y＝f(2)(x)表示对函数y＝f(x)连续两次求导， 即先对y＝f(x)求导，得y＝f'(x)，再对y＝f'(x)求导，得y＝f(2)(x).下列函数中，满足f(2)(x)＝f(x)的是(　C　)
A. f(x)＝x B. f(x)＝sin x
C. f(x)＝ex D. f(x)＝ln x
【解析】 对于A，f'(x)＝1，f(2)(x)＝0≠f(x)；对于B，f'(x)＝cos x，f(2)(x)＝
－sin x≠f(x)；对于C，f'(x)＝ex，f(2)(x)＝ex＝f(x)；对于D，f'(x)＝，f(2)(x)＝
－≠f(x)，综上，只有C满足f(2)(x)＝f(x).
7. 已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵y＝ln x，∴y'＝，设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率为，∴切线方程是y－ln x0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1，
∴a＝，ln x0－1＝0，得a＝.
8. (多选)设函数f(x)＝－cos x的图象在点P处的切线为l，则直线l的斜率可能为(　ABC　)
A. B. C. 1 D.
【解析】 ∵f(x)＝－cos x，∴f'(x)＝sin x∈[－1，1]，
又函数f(x)＝－cos x的图象在点P处的切线为l，
∴直线l的斜率的取值范围是[－1，1].
9. (多选)已知函数f(x)＝若f'(a)＝12，则实数a的值可以是(　BC　)
A. 2 B. －2 C. D. 4
【解析】 f'(x)＝当a＜0时，由f'(a)＝3a2＝12，
解得a＝－2，或a＝2(舍去)；当0＜a＜1时，由f'(a)＝＝12，
解得a＝.
10. 质点的运动方程是s＝sin t，则质点在t＝时的速度为　　，质点运动的加速度为　　－　.
【解析】 v(t)＝s'(t)＝cos t，∴v()＝cos ＝，即质点在t＝时的速度为.∵v(t)＝cos t，∴加速度a(t)＝v'(t)＝(cos t)'＝－sin t，∴a()＝－sin ＝－.
11. 已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为　－1　.
【解析】 设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y'＝.
∵曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，
其斜率为1，∴y'＝＝1，即x0＝1，∴切点为(1，0)，
∴1－0＋c＝0，c＝－1.
12. 若正三角形的内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6r，面积
S(r)＝3r2，发现S'(r)＝C(r).相应地，若正四面体的内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24r2. 请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积：V(r)＝　　8r3　(写出关于r的表达式).
【解析】 由题意得V'(r)＝S(r)，∵S(r)＝24r2，
∴V'(r)＝24r2，则V(r)＝8r3.
13. 求下列函数的导数.
(1)y＝cos；(2)y＝log5x；(3)y＝；
(4)y＝5x.
解： (1)由已知得y'＝0.
(2)由已知得y'＝.
(3)由已知得y'＝－.
(4)由已知得y'＝5xln 5.
14. 已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程.
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
解： (1)设切点为(m，log2m)(m＞0).
∵f(x)＝log2x，∴f'(x)＝.
由题意可得＝，解得m＝e，
∴切线方程为y－log2e＝(x－e)，即y＝x.
(2)过点A(，－1)，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，
设P(n，log2n)，≤n≤2，则有＝，
得n＝.
又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，∴＜＜.
∴在曲线y＝f(x)(≤x≤2)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.
15. 过点P(0，－1)作曲线C：y＝ln x的切线，切点为A1，设A1在y轴上的投影是点B1，过点B1再作曲线C的切线，切点为A2，设A2在y轴上的投影是点B2，依此进行下去，得到第n(n∈N*)个切点An，则点An的坐标为　　(en－1，n－1)　.
【解析】 设A1(x1，ln x1)，由y＝ln x，得y'＝，
∴y'＝，故切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，
将点(0，－1)的坐标代入，可得－1－ln x1＝(0－x1)，
解得x1＝1，即A1(1，0)，B1(0，0).
同理，设A2(x2，ln x2)，则过点B1的曲线C的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，将点(0，0)的坐标代入，可得0－ln x2＝(0－x2)，解得x2＝e，故A2(e，1)，B2(0，1)，依此进行下去，可得An的坐标为(en－1，n－1).
16. 已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋3上的一动点，当｜PQ｜最小时，求P的坐标及｜PQ｜的最小值.
解： 如图所示，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋3平行时，切点P到直线y＝x＋3的距离即为｜PQ｜的最小值.由y＝ln x，得y'＝(ln x)'＝，设P(x0，y0)，令＝1，得x0＝1，则y0＝ln x0＝0，故此时点P的坐标为(1，0)，
∴｜PQ｜的最小值是＝2.5.2 练习1　基本初等函数的导数
1. 已知y＝，则y'等于(　 　)
A. B. － C. D. 0
2. 函数y＝x3在点(2，8)处的切线方程为(　 　)
A. y＝12x－16 B. y＝12x＋16
C. y＝－12x－16 D. y＝－12x＋16
3. (2025·广东珠海高二期末)下列导数运算中，正确的是(　 　)
A. (cos x)'＝sin x B. (log2x)'＝
C. (2x)'＝2x D. '＝
4. 如果质点M按照规律s＝t2运动，那么M在t＝2时的瞬时速度为(　 　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 设正弦曲线y＝sin x上一点P，以P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　 　)
A. 0，∪，π) B. [0，π)
C. (，) D. 0，)∪(，
6. 记函数y＝f(2)(x)表示对函数y＝f(x)连续两次求导， 即先对y＝f(x)求导，得y＝f'(x)，再对y＝f'(x)求导，得y＝f(2)(x).下列函数中，满足f(2)(x)＝f(x)的是(　 　)
A. f(x)＝x B. f(x)＝sin x
C. f(x)＝ex D. f(x)＝ln x
7. 已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a等于(　 　)
A. B. C. D.
8. (多选)设函数f(x)＝－cos x的图象在点P处的切线为l，则直线l的斜率可能为(　 　)
A. B. C. 1 D.
9. (多选)已知函数f(x)＝若f'(a)＝12，则实数a的值可以是(　 　)
A. 2 B. －2 C. D. 4
10. 质点的运动方程是s＝sin t，则质点在t＝时的速度为 ，质点运动的加速度为 .
11. 已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 .
12. 若正三角形的内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6r，面积
S(r)＝3r2，发现S'(r)＝C(r).相应地，若正四面体的内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24r2. 请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积：V(r)＝ (写出关于r的表达式).
13. 求下列函数的导数.
(1)y＝cos；(2)y＝log5x；(3)y＝；
(4)y＝5x.
14. 已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程.
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
15. 过点P(0，－1)作曲线C：y＝ln x的切线，切点为A1，设A1在y轴上的投影是点B1，过点B1再作曲线C的切线，切点为A2，设A2在y轴上的投影是点B2，依此进行下去，得到第n(n∈N*)个切点An，则点An的坐标为 .
16. 已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋3上的一动点，当｜PQ｜最小时，求P的坐标及｜PQ｜的最小值.

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