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5.2 练习2　导数的四则运算法则
1. 下列求导运算中，正确的是(　 　)
A. '＝1＋ B. (log2x)'＝
C. (3x)'＝3xlog3e D. (x2cos x)'＝－2xsin x
2. (2025·河北邯郸模拟)曲线y＝exsin x在x＝0处的切线斜率为(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. －2
3. 已知函数f(x)＝＋ln x，则f'(x)＜0的解集为(　 　)
A. (－∞，5) B. (0，5)
C. (5，＋∞) D. (0，＋∞)
4. 已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　 　)
A. 1 B. －1 C. 7 D. －7
5. 已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝2xf'＋cos x，则f等于(　 　)
A. － B. C. － D. ＋
6. 已知下列图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于(　 　)
A. B. － C. D. －或
7. 若函数f(x)＝acos x与g(x)＝x2＋bx＋3的图象在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＋m等于(　 　)
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
8. (多选)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于y轴对称，则函数f(x)的解析式可能为(　 　)
A. f(x)＝3cos x B. f(x)＝x3＋x
C. f(x)＝x＋ D. f(x)＝ex＋x
9. (多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　 　)
A. lm的斜率的最小值是－2 B. lm的斜率的最小值是－3
C. l0的方程为y＝1 D. l－1的方程为y＝9x＋6
10. 已知函数f(x)＝若f'(a)＝12，则实数a的值为 .
11. 如图所示，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝，则g'(4)＝ .
12. 1696年，洛必达在他的著作中创造了在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限.如：＝＝＝1. 据此可知，＝ .
13. 求下列函数的导数.
(1)y＝x4－2x2－3x＋3；
(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝xtan x.
14. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f'(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
15. 给出定义：设f'(x)是函数f(x)的导函数，f″(x)是f'(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x＝x0，则称点(x0，f(x0))为函数f(x)的“拐点”. 经研究发现，所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数f(x)图象的对称中心. 若f(x)＝x3－3x2，则f＋f＋f＋…＋f＋f＝ .
16. 已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围.(共29张PPT)
二、导数的运算
练习2　导数的四则运算法则
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 下列求导运算中，正确的是(　B　)
A. '＝1＋ B. (log2x)'＝
C. (3x)'＝3xlog3e D. (x2 cos x)'＝－2x sin x
B
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【解析】 对于A， '＝1－ ，A错误；
对于B，(log2x)'＝ ，B正确；
对于C，(3x)'＝3xln 3，C错误；
对于D，(x2 cos x)'＝(x2)' cos x＋x2( cos x)'＝2x cos x－x2 sin x，D错误.
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2. (2025·河北邯郸模拟)曲线y＝ex sin x在x＝0处的切线斜率为(　B　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. －2
【解析】 y'＝ex sin x＋ex cos x，k＝y'｜x＝0＝1.
B
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3. 已知函数f(x)＝ ＋ln x，则f'(x)＜0的解集为(　B　)
A. (－∞，5) B. (0，5)
C. (5，＋∞) D. (0，＋∞)
【解析】 ∵f(x)＝ ＋ln x，∴函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f'(x)＝－ ＋ ＝ .令f'(x)＜0，得0＜x＜5，
∴f'(x)＜0的解集为(0，5).
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4. 已知曲线f(x)＝ 在点(1，f(1))处切线的倾斜角为 ，则实数a
等于(　C　)
A. 1 B. －1 C. 7 D. －7
【解析】 ∵f'(x)＝ ＝ ，
又f'(1)＝tan ＝－1，∴a＝7.
C
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5. 已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝2xf' ＋ cos x，则f 等
于(　D　)
A. － B. C. － D. ＋
D
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【解析】 ∵f(x)＝2xf' ＋ cos x，
∴f'(x)＝2f' － sin x，令x＝ ，则f' ＝2f' － sin ，
∴f' ＝ ，则f(x)＝x＋ cos x，
∴f ＝ ＋ cos ＝ ＋ .
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6. 已知下列图象中有一个是函数f(x)＝ x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，
且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于(　B　)
A. B. － C. D. － 或
B
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【解析】 f'(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图1与图2中，导函数的图象的对称
轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图3中的图象是函数f(x)的
导函数的图象.
由图3知f'(0)＝0，即f'(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由图3得对称轴为－
＝－a＞0，则a＜0，解得a＝－1.
故f(x)＝ x3－x2＋1，∴f(－1)＝－ .
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7. 若函数f(x)＝a cos x与g(x)＝x2＋bx＋3的图象在交点(0，m)处有公
切线，则a＋b＋m等于(　A　)
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【解析】 由题可知f'(x)＝－a sin x，g'(x)＝2x＋b，f(0)＝a，
g(0)＝3，∴a＝m＝3.∵函数f(x)＝a cos x与g(x)＝x2＋bx＋3的图象
在交点(0，m)处有公切线，
∴f'(0)＝g'(0)，即0＝b，∴a＋b＋m＝3＋0＋3＝6.
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8. (多选)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于y轴对称，则函数f(x)的解
析式可能为(　BC　)
A. f(x)＝3 cos x B. f(x)＝x3＋x
C. f(x)＝x＋ D. f(x)＝ex＋x
BC
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【解析】 对于A，由f(x)＝3 cos x，得f'(x)＝－3 sin x，
其图象不关于y轴对称，不符合题意；
对于B，由f(x)＝x3＋x，得f'(x)＝3x2＋1，
其图象关于y轴对称，符合题意；
对于C，由f(x)＝x＋ ，得f'(x)＝1－ ，
其图象关于y轴对称，符合题意；
对于D，由f(x)＝ex＋x，得f'(x)＝ex＋1，
其图象不关于y轴对称，不符合题意.
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9. (多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　BCD　)
A. lm的斜率的最小值是－2 B. lm的斜率的最小值是－3
C. l0的方程为y＝1 D. l－1的方程为y＝9x＋6
【解析】 ∵f'(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，
∴lm的斜率的最小值是－3，A错误，B正确；
∵f'(0)＝0，f(0)＝1，∴l0的方程为y＝1，C正确；
∵f'(－1)＝9，f(－1)＝－3，∴l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，
即y＝9x＋6，D正确.
BCD
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10. 已知函数f(x)＝ 若f'(a)＝12，则实数a的
值为 .
【解析】 f'(x)＝ 若f'(a)＝12，
则 或 解得a＝ ，或a＝－4.
或－4　
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11. 如图所示，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4
处的切线，令g(x)＝ ，则g'(4)＝ 　　－ 　.
－ 　
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【解析】 g'(x)＝[ ] '＝ .
由已知图象可知，直线l经过点P(0，3)和Q(4，5)，
故kl＝ ＝ .由导数的几何意义可得f'(4)＝ ，
由点Q(4，5)在曲线y＝f(x)上，得f(4)＝5.
故g'(4)＝ ＝ ＝－ .
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12. 1696年，洛必达在他的著作中创造了在一定条件下通过对分子、分
母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，用以寻找满足一定条件的
两函数之商的极限.如： ＝ ＝ ＝1. 据此可
知， ＝ .
【解析】 由题可得 ＝ ＝ ＝
＝ ＝2.
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
关键能力练
13. 求下列函数的导数.
(1)y＝x4－2x2－3x＋3；
(2)y＝ ；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝xtan x.
解： (1)y'＝(x4－2x2－3x＋3)'＝4x3－4x－3.
(2)y'＝()'＝ ＝ .　
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(3)方法一　y'＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]'＝[(x＋1)(x＋2)]'(x＋3)＋[(x＋1)
(x＋2)](x＋3)'＝[(x＋1)'(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)'](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝
(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝
3x2＋12x＋11.
方法二　∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋
6，∴y'＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]'＝(x3＋6x2＋11x＋6)'＝3x2＋12x＋11.
(4)y'＝(xtan x)'＝()'＝ ＝
＝ .
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14. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f'(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
解： (1)∵f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
∴f'(x)＝2ax＋b，又f'(x)＝2x－8，∴a＝1，b＝－8.
(2)设函数g(x)＝ex sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
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(2)由(1)可知g(x)＝ex sin x＋x2－8x＋3，
∴g'(x)＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8，
∴g'(0)＝e0 sin 0＋e0 cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，∴曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
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必备知识练
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拓展突破练
拓展突破练
15. 给出定义：设f'(x)是函数f(x)的导函数，f″(x)是f'(x)的导函数，若
方程f″(x)＝0有实数解x＝x0，则称点(x0，f(x0))为函数f(x)的“拐
点”. 经研究发现，所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有
“拐点”，且该“拐点”也是函数f(x)图象的对称中心. 若f(x)＝x3－
3x2，则f ＋f ＋f ＋…＋f ＋
f ＝ .
－ 8 098
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【解析】 由题意得f'(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6，
由f″(x)＝0得x＝1，∵f(1)＝－2，
∴(1，－2)为f(x)图象的对称中心，
则f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f ＝2×
(－2)× ＋(－2)＝－8 098.
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16. 已知函数f(x)＝ ，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
解： (1)由题意得f'(x)＝ ＝ ＝ ，
∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
∴ 解得 则f(x)＝ .
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，
求直线l的斜率k的取值范围.
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(2)由(1)可得，f'(x)＝ ，∴直线l的斜率k＝f'(x0)＝ ＝
4[－ ]，令t＝ ，则t∈(0，1]，
∴k＝4(2t2－t)＝8(t－ )2－ ，则在对称轴t＝ 处取到最小值－ ，
在t＝1处取到最大值4，
∴直线l的斜率k的取值范围是[－ ，4].
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165.2 练习2　导数的四则运算法则
1. 下列求导运算中，正确的是(　B　)
A. '＝1＋ B. (log2x)'＝
C. (3x)'＝3xlog3e D. (x2cos x)'＝－2xsin x
【解析】 对于A，'＝1－，A错误；
对于B，(log2x)'＝，B正确；
对于C，(3x)'＝3xln 3，C错误；
对于D，(x2cos x)'＝(x2)'cos x＋x2(cos x)'＝2xcos x－x2sin x，D错误.
2. (2025·河北邯郸模拟)曲线y＝exsin x在x＝0处的切线斜率为(　B　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. －2
【解析】 y'＝exsin x＋excos x，k＝y'｜x＝0＝1.
3. 已知函数f(x)＝＋ln x，则f'(x)＜0的解集为(　B　)
A. (－∞，5) B. (0，5)
C. (5，＋∞) D. (0，＋∞)
【解析】 ∵f(x)＝＋ln x，∴函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f'(x)＝－＋＝.令f'(x)＜0，得0＜x＜5，
∴f'(x)＜0的解集为(0，5).
4. 已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　C　)
A. 1 B. －1 C. 7 D. －7
【解析】 ∵f'(x)＝＝，
又f'(1)＝tan＝－1，∴a＝7.
5. 已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝2xf'＋cos x，则f等于(　D　)
A. － B. C. － D. ＋
【解析】 ∵f(x)＝2xf'＋cos x，
∴f'(x)＝2f'－sin x，令x＝，则f'＝2f'－sin，
∴f'＝，则f(x)＝x＋cos x，
∴f＝＋cos＝＋.
6. 已知下列图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于(　B　)
A. B. － C. D. －或
【解析】 f'(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图1与图2中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图3中的图象是函数f(x)的导函数的图象.
由图3知f'(0)＝0，即f'(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由图3得对称轴为－＝－a＞0，则a＜0，解得a＝－1.
故f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－.
7. 若函数f(x)＝acos x与g(x)＝x2＋bx＋3的图象在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＋m等于(　A　)
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【解析】 由题可知f'(x)＝－asin x，g'(x)＝2x＋b，f(0)＝a，
g(0)＝3，∴a＝m＝3.∵函数f(x)＝acos x与g(x)＝x2＋bx＋3的图象在交点(0，m)处有公切线，
∴f'(0)＝g'(0)，即0＝b，∴a＋b＋m＝3＋0＋3＝6.
8. (多选)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于y轴对称，则函数f(x)的解析式可能为(　BC　)
A. f(x)＝3cos x B. f(x)＝x3＋x
C. f(x)＝x＋ D. f(x)＝ex＋x
【解析】 对于A，由f(x)＝3cos x，得f'(x)＝－3sin x，
其图象不关于y轴对称，不符合题意；
对于B，由f(x)＝x3＋x，得f'(x)＝3x2＋1，
其图象关于y轴对称，符合题意；
对于C，由f(x)＝x＋，得f'(x)＝1－，
其图象关于y轴对称，符合题意；
对于D，由f(x)＝ex＋x，得f'(x)＝ex＋1，
其图象不关于y轴对称，不符合题意.
9. (多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　BCD　)
A. lm的斜率的最小值是－2 B. lm的斜率的最小值是－3
C. l0的方程为y＝1 D. l－1的方程为y＝9x＋6
【解析】 ∵f'(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，
∴lm的斜率的最小值是－3，A错误，B正确；
∵f'(0)＝0，f(0)＝1，∴l0的方程为y＝1，C正确；
∵f'(－1)＝9，f(－1)＝－3，∴l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，
即y＝9x＋6，D正确.
10. 已知函数f(x)＝若f'(a)＝12，则实数a的值为　或
－4　.
【解析】 f'(x)＝若f'(a)＝12，
则或解得a＝，或a＝－4.
11. 如图所示，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝，则g'(4)＝　　－　.
【解析】 g'(x)＝'＝.
由已知图象可知，直线l经过点P(0，3)和Q(4，5)，
故kl＝＝.由导数的几何意义可得f'(4)＝，
由点Q(4，5)在曲线y＝f(x)上，得f(4)＝5.
故g'(4)＝＝＝－.
12. 1696年，洛必达在他的著作中创造了在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限.如：＝＝＝1. 据此可知，＝　　2　.
【解析】 由题可得＝
＝＝＝＝2.
13. 求下列函数的导数.
(1)y＝x4－2x2－3x＋3；
(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝xtan x.
解： (1)y'＝(x4－2x2－3x＋3)'＝4x3－4x－3.
(2)y'＝()'＝＝.　
(3)方法一　y'＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]'＝[(x＋1)(x＋2)]'(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)]·
(x＋3)'＝[(x＋1)'(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)'](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
方法二　∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y'＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]'＝(x3＋6x2＋11x＋6)'＝3x2＋12x＋11.
(4)y'＝(xtan x)'＝()'＝＝＝.
14. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f'(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
解： (1)∵f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
∴f'(x)＝2ax＋b，又f'(x)＝2x－8，∴a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
∴g'(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
∴g'(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，∴曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.
15. 给出定义：设f'(x)是函数f(x)的导函数，f″(x)是f'(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x＝x0，则称点(x0，f(x0))为函数f(x)的“拐点”. 经研究发现，所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数f(x)图象的对称中心. 若f(x)＝x3－3x2，则f＋f＋f＋…＋f＋f＝　－8 098　.
【解析】 由题意得f'(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6，
由f″(x)＝0得x＝1，∵f(1)＝－2，
∴(1，－2)为f(x)图象的对称中心，
则f＋f＋f＋…＋f＋f＝2×(－2)×＋
(－2)＝－8 098.
16. 已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围.
解： (1)由题意得f'(x)＝＝＝，
∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
∴解得
则f(x)＝.
(2)由(1)可得，f'(x)＝，∴直线l的斜率k＝f'(x0)＝＝4[－]，令t＝，则t∈(0，1]，
∴k＝4(2t2－t)＝8(t－)2－，则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，
∴直线l的斜率k的取值范围是[－，4].

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