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(共25张PPT)
二、导数的运算
练习3　简单复合函数的导数
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 已知函数f(x)＝ sin 2x＋ cos 2x，那么f'()为(　A　)
A. －2 B. 2 C. D. －
【解析】 由题意，f '(x)＝2 cos 2x－2 sin 2x，
∴f'()＝2 cos π－2 sin π＝－2.
A
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2. 设f(x)＝ln (2x－1)，若f'(x0)＝1，则x0的值为(　B　)
A. B. C. 1 D.
【解析】 由f(x)＝ln(2x－1)，得f'(x)＝ ，
由f'(x0)＝ ＝1，解得x0＝ .
B
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3. 某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)
的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝ ，则时刻t＝40 min时的降
雨强度为(　D　)
A. 20 mm B. 400 mm
C. mm/min D. mm/min
【解析】 f'(t)＝ ＝ ，∴f'(40)＝ ＝ .
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4. 已知e是自然对数的底数，则函数f(x)＝e2x－1的图象在原点处的切
线方程是(　B　)
A. y＝x B. y＝2x
C. y＝ex D. y＝e2x
【解析】 ∵f(x)＝e2x－1，∴f(0)＝0，f'(x)＝2e2x，
∴f'(0)＝2，∴函数f(x)的图象在原点处的切线方程是y＝2x.
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5. 设球的半径是关于时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径(　D　)
A. 成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C
C. 成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C
【解析】 根据题意，V＝ πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的体积增长速度为
V'＝4πR2(t)·R'(t)，球的表面积增长速度S'＝2·4πR(t)·R'(t)，又球的体
积以均匀速度C增长，∴球的表面积的增长速度S'＝ 与球半径成反
比，比例系数为2C.
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6. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量
不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程
中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足的函数关系式是
M(t)＝600× ，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为(　A　)
A. －10ln 2太贝克/年 B. 300ln 2太贝克/年
C. －300ln 2太贝克/年 D. 300太贝克/年
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【解析】 依题意，M'(t)＝－ ×600× ln 2＝－20× ln 2，
∴铯137的含量M在t＝30年时的瞬时变化率为
M'(30)＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2(太贝克/年).
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7. 若存在过点(0，0)的直线与曲线y＝x2＋x和曲线y＝ex－1＋ax都相
切，则a等于(　A　)
A. 0 B. －1 C. 1 D. e
【解析】 设切线方程为y＝kx，与y＝x2＋x联立，
得x2＋(1－k)x＝0，∴Δ＝(1－k)2＝0，解得k＝1，
∴切线方程为y＝x.设直线y＝x与曲线y＝ex－1＋ax相切于点(x1，y1)，
∵y'＝ex－1＋a，∴ 解得
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8. (多选)下列求函数的导数中，正确的是(　AC　)
A. [ln(2x＋1)]'＝ B. (e5x－4)'＝e5x－4
C. ()'＝ D. '＝－2 cos
【解析】 [ln(2x＋1)]'＝ ，(e5x－4)'＝5e5x－4，()'＝
· ·(2x－1)'＝ ， '＝2 cos .
AC
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9. (多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数
f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f'(x)]'，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.下列函数中，
在 内是凸函数的为(　AD　)
A. f(x)＝ sin B. f(x)＝ln(x－2)
C. f(x)＝x3＋2x－1 D. f(x)＝xe－x
AD
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【解析】 对于A，由f(x)＝ sin ，得f'(x)＝ cos ，
则f″(x)＝－ sin ，则在 内恒有f″(x)＜0，A符合题意；
对于B，由f(x)＝ln(x－2)，得f(x)的定义域为(2，＋∞)，
则f(x)在 上无定义，B不符合题意；
对于C，由f(x)＝x3＋2x－1，得f'(x)＝3x2＋2，则f″(x)＝6x，
则在 内恒有f″(x)＞0，C不符合题意；
对于D，由f(x)＝xe－x，得f'(x)＝(1－x)e－x，则f″(x)＝(x－2)e－x，
则在 内恒有f″(x)＜0，D符合题意.
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10. 质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2做直线运动(位移单位：m，时间单
位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为 m/s.
【解析】 ∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s'(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，
则质点在t＝2时的瞬时速度为s'(2)＝8×2＋4＝20 m/s.
20　
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11. 已知函数f(x)＝ cos 的图象在点 处的切线斜率
为k，若｜k｜＜1，则ω＝ .
　
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【解析】 ∵函数f(x)＝ cos 的图象过点 ，
∴ cos ＝0，∴ω· ＋ ＝nπ＋ (n∈Z)，
∴ω＝2n＋ (n∈Z)，又f'(x)＝－ω sin ，
∴k＝f' ＝－ sin ＝－ sin
＝± (n∈Z).
∵｜k｜＜1，∴ ＜1(n∈Z)，∴n＝0，即ω＝ .　
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12. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”
的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精
度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代
曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在
切点附近的曲线来近似计算.设f(x)＝ ，则f'(x)＝ ，其
在点(0，1)处的切线方程为 .
【解析】 ∵f(x)＝ ，故f'(x)＝(x2)' ＝2x ，则f'(0)＝0，
故曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1.
2x 　
y＝1　
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关键能力练
拓展突破练
关键能力练
13. 一种质量为1 kg的物质，在化学分解中，经过时间t(单位：min)
后，所剩的质量m(单位：kg)与时间t的关系可表示为m＝e－2t.
(1)求当t从1变到2时，质量m关于t的平均变化率，并解释它的实际
意义；
解： (1)平均变化率为 ＝ ，它的实际意义：当t从1变化到2
时，质量平均减少 kg.
(2)求m'(2)，并解释它的实际意义.
(2)m' ＝e－2t·(－2t)'＝－2e－2t，∴m'(2) ＝－2e－4，
它的实际意义：在时间t＝2 min时，瞬时质量减少2e－4kg.
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14. 设函数f (x)＝aex ln x＋ .
(1)求导函数f '(x)；
解： (1)由f(x)＝aex ln x＋ ，
得f'(x)＝(aex ln x)'＋()'＝aex ln x＋ ＋ .
(2)若曲线y＝f (x)在点(1， f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，
b的值.
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(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，∴b＝2.
将x＝1代入导函数f'(x)中，得f'(1)＝ae＝e，∴a＝1，∴a＝1，b＝2.
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
拓展突破练
15. (2024·重庆西南大学附中高二月考)阅读材料：求函数y＝ex的导
函数.
解：∵y＝ex，∴x＝ln y，∴(x)'＝(ln y)'，即1＝ ·y'，∴y'＝y＝ex.
借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈ 在点(1，1)处的切
线方程为 .
y＝4x－3　
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【解析】 ∵y＝(2x－1)x＋1，∴ln y＝(x＋1)·ln(2x－1)，
∴(ln y)'＝[(x＋1)ln(2x－1)]'，即 ·y'＝ln(2x－1)＋ ，
∴y'＝［ln(2x－1)＋ ］(2x－1)x＋1.
当x＝1时，y'＝4，∴曲线y＝(2x－1)x＋1，
x∈ 在点(1，1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，
即y＝4x－3.
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16. 证明：“可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称”的充要条件
是“导函数y＝f'(x)的图象关于点(a，0)中心对称”.
解： 若可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)恒成立，∴f'(x)＝[f(2a－x)]'，故f'(x)＝－f'(2a－x)，即f'(x)＋
f'(2a－x)＝0，∴导函数y＝f'(x)的图象关于点(a，0)中心对称，必
要性成立；
若导函数y＝f'(x)的图象关于点(a，0)中心对称，则f'(x)＋f'(2a－x)＝0恒成立，即[f(x)－f(2a－x)]'＝0，
∴f(x)－f(2a－x)＝C(C为常数)，令x＝a，得C＝0，
∴f(x)＝f(2a－x)，∴可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，充
分性成立.得证.
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165.2 练习3　简单复合函数的导数
1. 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f'()为(　 　)
A. －2 B. 2 C. D. －
2. 设f(x)＝ln (2x－1)，若f'(x0)＝1，则x0的值为(　 　)
A. B. C. 1 D.
3. 某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则时刻t＝40 min时的降雨强度为(　 　)
A. 20 mm B. 400 mm C. mm/min D. mm/min
4. 已知e是自然对数的底数，则函数f(x)＝e2x－1的图象在原点处的切线方程是(　 　)
A. y＝x B. y＝2x C. y＝ex D. y＝e2x
5. 设球的半径是关于时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径(　 　)
A. 成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C
C. 成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C
6. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足的函数关系式是M(t)＝600×，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为(　 　)
A. －10ln 2太贝克/年 B. 300ln 2太贝克/年
C. －300ln 2太贝克/年 D. 300太贝克/年
7. 若存在过点(0，0)的直线与曲线y＝x2＋x和曲线y＝ex－1＋ax都相切，则a等于(　 　)
A. 0 B. －1 C. 1 D. e
8. (多选)下列求函数的导数中，正确的是(　 　)
A. [ln(2x＋1)]'＝ B. (e5x－4)'＝e5x－4
C. ()'＝ D. '＝－2cos
9. (多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f'(x)]'，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.下列函数中，在内是凸函数的为(　 　)
A. f(x)＝sin B. f(x)＝ln(x－2)
C. f(x)＝x3＋2x－1 D. f(x)＝xe－x
10. 质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为 m/s.
11. 已知函数f(x)＝cos的图象在点处的切线斜率为k，若｜k｜＜1，则ω＝ .
12. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)＝，则f'(x)＝ ，其在点(0，1)处的切线方程为 .
13. 一种质量为1 kg的物质，在化学分解中，经过时间t(单位：min)后，所剩的质量m(单位：kg)与时间t的关系可表示为m＝e－2t.
(1)求当t从1变到2时，质量m关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求m'(2)，并解释它的实际意义.
14. 设函数f (x)＝aex ln x＋.
(1)求导函数f '(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1， f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值.
15. (2024·重庆西南大学附中高二月考)阅读材料：求函数y＝ex的导函数.
解：∵y＝ex，∴x＝ln y，∴(x)'＝(ln y)'，即1＝·y'，∴y'＝y＝ex.
借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈在点(1，1)处的切线方程为 .
16. 证明：“可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称”的充要条件是“导函数
y＝f'(x)的图象关于点(a，0)中心对称”.5.2 练习3　简单复合函数的导数
1. 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f'()为(　A　)
A. －2 B. 2 C. D. －
【解析】 由题意，f '(x)＝2cos 2x－2sin 2x，
∴f'()＝2cos π－2sin π＝－2.
2. 设f(x)＝ln (2x－1)，若f'(x0)＝1，则x0的值为(　B　)
A. B. C. 1 D.
【解析】 由f(x)＝ln(2x－1)，得f'(x)＝，
由f'(x0)＝＝1，解得x0＝.
3. 某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则时刻t＝40 min时的降雨强度为(　D　)
A. 20 mm B. 400 mm C. mm/min D. mm/min
【解析】 f'(t)＝＝，∴f'(40)＝＝.
4. 已知e是自然对数的底数，则函数f(x)＝e2x－1的图象在原点处的切线方程是(　B　)
A. y＝x B. y＝2x C. y＝ex D. y＝e2x
【解析】 ∵f(x)＝e2x－1，∴f(0)＝0，f'(x)＝2e2x，
∴f'(0)＝2，∴函数f(x)的图象在原点处的切线方程是y＝2x.
5. 设球的半径是关于时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径(　D　)
A. 成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C
C. 成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C
【解析】 根据题意，V＝πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的体积增长速度为V'＝4πR2(t)·R'(t)，球的表面积增长速度S'＝2·4πR(t)·R'(t)，又球的体积以均匀速度C增长，∴球的表面积的增长速度S'＝与球半径成反比，比例系数为2C.
6. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足的函数关系式是M(t)＝600×，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为(　A　)
A. －10ln 2太贝克/年 B. 300ln 2太贝克/年
C. －300ln 2太贝克/年 D. 300太贝克/年
【解析】 依题意，M'(t)＝－×600×ln 2＝－20×ln 2，
∴铯137的含量M在t＝30年时的瞬时变化率为
M'(30)＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2(太贝克/年).
7. 若存在过点(0，0)的直线与曲线y＝x2＋x和曲线y＝ex－1＋ax都相切，则a等于(　A　)
A. 0 B. －1 C. 1 D. e
【解析】 设切线方程为y＝kx，与y＝x2＋x联立，
得x2＋(1－k)x＝0，∴Δ＝(1－k)2＝0，解得k＝1，
∴切线方程为y＝x.设直线y＝x与曲线y＝ex－1＋ax相切于点(x1，y1)，
∵y'＝ex－1＋a，∴解得
8. (多选)下列求函数的导数中，正确的是(　AC　)
A. [ln(2x＋1)]'＝ B. (e5x－4)'＝e5x－4
C. ()'＝ D. '＝－2cos
【解析】 [ln(2x＋1)]'＝，(e5x－4)'＝5e5x－4，()'＝··(2x－1)'＝，'＝2cos.
9. (多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f'(x)]'，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.下列函数中，在内是凸函数的为(　AD　)
A. f(x)＝sin B. f(x)＝ln(x－2)
C. f(x)＝x3＋2x－1 D. f(x)＝xe－x
【解析】 对于A，由f(x)＝sin，得f'(x)＝cos，
则f″(x)＝－sin，则在内恒有f″(x)＜0，A符合题意；
对于B，由f(x)＝ln(x－2)，得f(x)的定义域为(2，＋∞)，
则f(x)在上无定义，B不符合题意；
对于C，由f(x)＝x3＋2x－1，得f'(x)＝3x2＋2，则f″(x)＝6x，
则在内恒有f″(x)＞0，C不符合题意；
对于D，由f(x)＝xe－x，得f'(x)＝(1－x)e－x，则f″(x)＝(x－2)e－x，则在内恒有f″(x)＜0，D符合题意.
10. 质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为　　20　m/s.
【解析】 ∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s'(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s'(2)＝8×2＋4＝20 m/s.
11. 已知函数f(x)＝cos的图象在点处的切线斜率为k，若｜k｜＜1，则ω＝　　.
【解析】 ∵函数f(x)＝cos的图象过点，∴cos＝0，∴ω·＋＝nπ＋(n∈Z)，∴ω＝2n＋(n∈Z)，又f'(x)＝－ωsin，
∴k＝f'＝－sin＝－sin＝±(n∈Z).
∵｜k｜＜1，∴＜1(n∈Z)，∴n＝0，即ω＝.　
12. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)＝，则f'(x)＝　　2x　，其在点(0，1)处的切线方程为　　y＝1　.
【解析】 ∵f(x)＝，故f'(x)＝(x2)'＝2x，则f'(0)＝0，
故曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1.
13. 一种质量为1 kg的物质，在化学分解中，经过时间t(单位：min)后，所剩的质量m(单位：kg)与时间t的关系可表示为m＝e－2t.
(1)求当t从1变到2时，质量m关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求m'(2)，并解释它的实际意义.
解： (1)平均变化率为＝，它的实际意义：当t从1变化到2时，质量平均减少kg.
(2)m' ＝e－2t·(－2t)'＝－2e－2t，∴m'(2) ＝－2e－4，
它的实际意义：在时间t＝2 min时，瞬时质量减少2e－4kg.
14. 设函数f (x)＝aex ln x＋.
(1)求导函数f '(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1， f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值.
解： (1)由f(x)＝aex ln x＋，
得f'(x)＝(aex ln x)'＋()'＝aex ln x＋＋.
(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，∴b＝2.将x＝1代入导函数f'(x)中，得f'(1)＝ae＝e，∴a＝1，∴a＝1，b＝2.
15. (2024·重庆西南大学附中高二月考)阅读材料：求函数y＝ex的导函数.
解：∵y＝ex，∴x＝ln y，∴(x)'＝(ln y)'，即1＝·y'，∴y'＝y＝ex.
借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈在点(1，1)处的切线方程为　　
y＝4x－3　.
【解析】 ∵y＝(2x－1)x＋1，∴ln y＝(x＋1)·ln(2x－1)，
∴(ln y)'＝[(x＋1)ln(2x－1)]'，即·y'＝ln(2x－1)＋，
∴y'＝［ln(2x－1)＋］(2x－1)x＋1.
当x＝1时，y'＝4，∴曲线y＝(2x－1)x＋1，
x∈在点(1，1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，
即y＝4x－3.
16. 证明：“可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称”的充要条件是“导函数
y＝f'(x)的图象关于点(a，0)中心对称”.
解： 若可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)恒成立，∴f'(x)＝[f(2a－x)]'，故f'(x)＝－f'(2a－x)，即f'(x)＋f'(2a－x)＝0，∴导函数y＝f'(x)的图象关于点(a，0)中心对称，必要性成立；
若导函数y＝f'(x)的图象关于点(a，0)中心对称，则f'(x)＋f'(2a－x)＝0恒成立，即[f(x)－f(2a－x)]'＝0，
∴f(x)－f(2a－x)＝C(C为常数)，令x＝a，得C＝0，
∴f(x)＝f(2a－x)，∴可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，充分性成立.得证.

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