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5.3 练习1　函数的单调性与导数
1. 函数y＝3x－x3的单调递增区间为(　C　)
A. (0，＋∞) B. (－∞，－1)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
【解析】 ∵y＝3x－x3，∴y'＝3－3x2，令y'＞0，即3－3x2＞0，解得－1＜x＜1，∴该函数的单调递增区间为(－1，1).
2. 命题甲：对任意x∈(a， b)，有f'(x)＞0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的.则甲是乙的(　A　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 f(x)＝x3在(－1， 1)内是单调递增的，
但f'(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要条件.
3. 已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f'(x)是f(x)的导函数，则函数f'(x)的大致图象是(　A　)
【解析】 设g(x)＝f'(x)＝2x－2sin x，则g'(x)＝2－2cos x≥0，
∴函数f'(x)在R上单调递增.
4. 关于y＝xln x在(0，e)上的单调性，下列说法中正确的是(　C　)
A. 在(0，e)上单调递增
B. 在(0，e)上单调递减
C. 在上单调递减，在上单调递增
D. 在上单调递增，在上单调递减
【解析】 由y＝xln x，得y'＝ln x＋x·＝ln x＋1，令y'＞0，解得x＞，又e＞，∴y＝xln x在上单调递增，同理可得该函数在上单调递减.
5. 已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任意一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　B　)
A. [－1，＋∞) B. (－∞，2]
C. (－∞，－1)和(1，2) D. [2，＋∞)
【解析】 令k≤0，得x0≤2，由导数与函数单调性的关系可知，函数的单调递减区间为(－∞， 2].
6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a2－3b＜0，则(　B　)
A. f(x)是减函数 B. f(x)是增函数
C. f(x)是常函数 D. f(x)既不是减函数也不是增函数
【解析】 由题意知f'(x)＝3x2＋2ax＋b，
∵Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)＜0，∴f'(x)＞0在R上恒成立，
∴f(x)在R上为增函数.
7. 若函数g(x)＝exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质. 下列函数中，具有M性质的是(　D　)
A. f(x)＝x2－1 B. f(x)＝x3
C. f(x)＝sin x D. f(x)＝ln x
【解析】 对于A，f(x)＝x2－1，其定义域为R，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2－1)，
∴g'(x)＝ex(x2－1)＋2xex＝ex(x2＋2x－1)，
∵g'(x)≥0在R上不恒成立，
∴g(x)在f(x)的定义域R上不单调递增，A不符合题意；
对于B，f(x)＝x3，其定义域为R，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，∴g'(x)＝ex·x3＋3ex·x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2(x＋3)，
∵当x＜－3时，g'(x)＜0，当x＞－3时，g'(x)＞0，
∴g(x)在f(x)的定义域R上先减后增，B不符合题意；
对于C，f(x)＝sin x，其定义域为R，则g(x)＝exf(x)＝exsin x，∴g'(x)＝ex(sin x＋cos x)＝exsin，显然g(x)在f(x)的定义域R上不单调，C不符合题意；
对于D，f(x)＝ln x，其定义域为(0，＋∞)，则g(x)＝exf(x)＝exln x，x∈(0，
＋∞)，∵g'(x)＝ex(ln x＋)＞0在(0，＋∞)上恒成立，
∴g(x)在f(x)的定义域(0，＋∞)上单调递增，D符合题意.
8. (多选)如图所示为函数f(x)的导函数f'(x)在(－3，5)内的图象，则下列说法中，正确的是(　BC　)
A. f(x)在区间(－2，1)上单调递增
B. f(x)在区间(1，2)上单调递增
C. f(x)在区间(4，5)上单调递增
D. f(x)在区间(－3，－2)上单调递增
【解析】 由题图知当x∈(1，2)∪(4，5)时，f'(x)＞0，
∴f(x)在区间(1，2)，(4，5)上单调递增，B，C正确；
当x∈(－2，－1)时，f'(x)＜0，当x∈(－1，1)时，f'(x)＞0，
∴f(x)在区间(－2，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，
A错误；当x∈(－3，－2)时，f'(x)＜0，
∴f(x)在区间(－3，－2)上单调递减，D错误.
9. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f'(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论中，正确的是(　AD　)
A. (x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＜0 B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C. f()＞ D. f()＜
【解析】 由题中图象可知，f(x)的大致图象如图所示.
A表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，
即f(x)图象的割线斜率为负，A正确；
B表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，
即f(x)图象的割线斜率为正，
B错误；f()表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当
x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有
f()＜，C错误，D正确.
10. 函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为　　(－2，－1)　.
【解析】 f'(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)·(x＋2)，
令f'(x)＜0，解得－2＜x＜－1，∴函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1).
11. 函数f(x)的图象如图所示，f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式＜0的解集为　(－3，－1)∪(0，1)　.
【解析】 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f'(x)＜0；当x∈(－3，
－1)∪(1，＋∞)时，f'(x)＞0，故不等式＜0的解集为(－3，－1)∪(0，1).
12. 已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f'(x)＞0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)＜0的解集为　(－∞，－1)∪(0，1)　.
【解析】 ∵在(0，＋∞)上f'(x)＞0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
∴xf(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).
13. 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＋f'(x)＞0，f(3)＝1，则ex·f(x)＞e3的解集为(　D　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，3) D. (3，＋∞)
【解析】 令g(x)＝exf(x)，则由题意知g'(x)＝ex·[f'(x)＋f(x)]＞0，故g(x)在R上是增函数.又f(3)＝1，
∴ex·f(x)＞e3可化为ex·f(x)＞e3f(3)，即g(x)＞g(3)，
解得x＞3，故不等式的解集为(3，＋∞).
14. 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝x4－2x2＋3；
(2)f(x)＝x2－2ln x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x≤2π).
解： (1)函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1).
令f'(x)＞0，则4x(x＋1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜0，或x＞1，∴函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)；
令f'(x)＜0，则4x(x＋1)(x－1)＜0，解得x＜－1，或0＜x＜1，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1).
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝2x－＝，令f'(x)＞0，可得x＞1，令f'(x)＜0，可得0＜x＜1，∴函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).
(3)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，f'(x)＝.令f'(x)＞0，得x＞3；令f'(x)＜0，得x＜2，或2＜x＜3.∴函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).
(4)由题可得f'(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)＝2cos2x＋cos x－1 ＝(2cos x－1)(cos x＋1).
令f'(x)＝0，得cos x＝，或cos x＝－1，∵0≤x≤2π，∴x＝，或x＝π，
或x＝.
当0≤x＜时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当＜x＜π时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当π＜x＜时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当＜x≤2π时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，
∴函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.
15. 已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
解： (1)由f(x)＝，可得f'(x)＝－.
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f'(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)知，f'(x)＝(x＞0)，
设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h'(x)＝－－＜0.
可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0，故f'(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，故f'(x)＜0.综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).
16. 已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1.
解： (1)f'(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞).
由f'(x)＞0得解得0＜x＜.
故f(x)的单调递增区间是(0，).
(2)令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞).
则F'(x)＝.当x∈(1，＋∞)时，F'(x)＜0，
∴F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，即当x＞1时，f(x)＜x－1.5.3 练习1　函数的单调性与导数
1. 函数y＝3x－x3的单调递增区间为(　 　)
A. (0，＋∞) B. (－∞，－1)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
2. 命题甲：对任意x∈(a， b)，有f'(x)＞0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的.则甲是乙的(　 　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f'(x)是f(x)的导函数，则函数f'(x)的大致图象是(　 　)
4. 关于y＝xln x在(0，e)上的单调性，下列说法中正确的是(　 　)
A. 在(0，e)上单调递增
B. 在(0，e)上单调递减
C. 在上单调递减，在上单调递增
D. 在上单调递增，在上单调递减
5. 已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任意一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　 　)
A. [－1，＋∞) B. (－∞，2]
C. (－∞，－1)和(1，2) D. [2，＋∞)
6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a2－3b＜0，则(　 　)
A. f(x)是减函数 B. f(x)是增函数
C. f(x)是常函数 D. f(x)既不是减函数也不是增函数
7. 若函数g(x)＝exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质. 下列函数中，具有M性质的是(　 　)
A. f(x)＝x2－1 B. f(x)＝x3
C. f(x)＝sin x D. f(x)＝ln x
8. (多选)如图所示为函数f(x)的导函数f'(x)在(－3，5)内的图象，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. f(x)在区间(－2，1)上单调递增
B. f(x)在区间(1，2)上单调递增
C. f(x)在区间(4，5)上单调递增
D. f(x)在区间(－3，－2)上单调递增
9. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f'(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论中，正确的是(　 　)
A. (x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＜0 B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C. f()＞ D. f()＜
10. 函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为 .
11. 函数f(x)的图象如图所示，f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式＜0的解集为 .
12. 已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f'(x)＞0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)＜0的解集为 .
13. 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＋f'(x)＞0，f(3)＝1，则ex·f(x)＞e3的解集为(　 　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，3) D. (3，＋∞)
14. 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝x4－2x2＋3；
(2)f(x)＝x2－2ln x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x≤2π).
15. 已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
16. 已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1.(共29张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
练习1　函数的单调性与导数
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
必备知识练
1. 函数y＝3x－x3的单调递增区间为(　C　)
A. (0，＋∞) B. (－∞，－1)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
【解析】 ∵y＝3x－x3，∴y'＝3－3x2，令y'＞0，即3－3x2＞0，
解得－1＜x＜1，∴该函数的单调递增区间为(－1，1).
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2. 命题甲：对任意x∈(a， b)，有f'(x)＞0；命题乙：f(x)在(a，b)内是
单调递增的.则甲是乙的(　A　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 f(x)＝x3在(－1， 1)内是单调递增的，
但f'(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要条件.
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3. 已知函数f(x)＝x2＋2 cos x，若f'(x)是f(x)的导函数，则函数f'(x)的
大致图象是(　A　)
【解析】 设g(x)＝f'(x)＝2x－2 sin x，则g'(x)＝2－2 cos x≥0，
∴函数f'(x)在R上单调递增.
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4. 关于y＝xln x在(0，e)上的单调性，下列说法中正确的是(　C　)
A. 在(0，e)上单调递增
B. 在(0，e)上单调递减
C. 在 上单调递减，在 上单调递增
D. 在 上单调递增，在 上单调递减
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【解析】 由y＝xln x，得y'＝ln x＋x· ＝ln x＋1，令y'＞0，
解得x＞ ，又e＞ ，∴y＝xln x在 上单调递增，同理
可得该函数在 上单调递减.
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5. 已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任意一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝
(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　B　)
A. [－1，＋∞) B. (－∞，2]
C. (－∞，－1)和(1，2) D. [2，＋∞)
【解析】 令k≤0，得x0≤2，由导数与函数单调性的关系可知，
函数的单调递减区间为(－∞， 2].
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6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a2－3b＜0，
则(　B　)
A. f(x)是减函数 B. f(x)是增函数
C. f(x)是常函数 D. f(x)既不是减函数也不是增函数
【解析】 由题意知f'(x)＝3x2＋2ax＋b，
∵Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)＜0，∴f'(x)＞0在R上恒成立，
∴f(x)在R上为增函数.
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7. 若函数g(x)＝exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有
M性质. 下列函数中，具有M性质的是(　D　)
A. f(x)＝x2－1 B. f(x)＝x3
C. f(x)＝ sin x D. f(x)＝ln x
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【解析】 对于A，f(x)＝x2－1，其定义域为R，
则g(x)＝exf(x)＝ex(x2－1)，
∴g'(x)＝ex(x2－1)＋2xex＝ex(x2＋2x－1)，
∵g'(x)≥0在R上不恒成立，
∴g(x)在f(x)的定义域R上不单调递增，A不符合题意；
对于B，f(x)＝x3，其定义域为R，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，
∴g'(x)＝ex·x3＋3ex·x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2(x＋3)，
∵当x＜－3时，g'(x)＜0，当x＞－3时，g'(x)＞0，
∴g(x)在f(x)的定义域R上先减后增，B不符合题意；
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对于C，f(x)＝ sin x，其定义域为R，则g(x)＝exf(x)＝ex sin x，
∴g'(x)＝ex( sin x＋ cos x)＝ ex sin ，
显然g(x)在f(x)的定义域R上不单调，C不符合题意；
对于D，f(x)＝ln x，其定义域为(0，＋∞)，则g(x)＝exf(x)＝exln x，
x∈(0，＋∞)，∵g'(x)＝ex(ln x＋ )＞0在(0，＋∞)上恒成立，
∴g(x)在f(x)的定义域(0，＋∞)上单调递增，D符合题意.
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8. (多选)如图所示为函数f(x)的导函数f'(x)在(－3，5)内的图象，则下
列说法中，正确的是(　BC　)
A. f(x)在区间(－2，1)上单调递增
B. f(x)在区间(1，2)上单调递增
C. f(x)在区间(4，5)上单调递增
D. f(x)在区间(－3，－2)上单调递增
BC
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【解析】 由题图知当x∈(1，2)∪(4，5)时，f'(x)＞0，
∴f(x)在区间(1，2)，(4，5)上单调递增，B，C正确；
当x∈(－2，－1)时，f'(x)＜0，当x∈(－1，1)时，f'(x)＞0，
∴f(x)在区间(－2，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，
A错误；当x∈(－3，－2)时，f'(x)＜0，
∴f(x)在区间(－3，－2)上单调递减，D错误.
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9. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f'(x)的图象如图所示，
则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论中，正确的是(　AD　)
A. (x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＜0 B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C. f()＞ D. f()＜
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【解析】 由题中图象可知，f(x)的大致图象如图所示.
A表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，
即f(x)图象的割线斜率 为负，A正确；
B表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，
即f(x)图象的割线斜率 为正，B错误；
f()表示 对应的函数值，即图中点B的纵坐标，
表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，
即图中点A的纵坐标，显然有f()＜ ，C错误，D正确.
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10. 函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为 .
【解析】 f'(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝
ex(x＋1)·(x＋2)，令f'(x)＜0，解得－2＜x＜－1，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1).
(－2，－1)　
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11. 函数f(x)的图象如图所示，f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式
＜0的解集为 .
【解析】 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f'(x)＜0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f'(x)＞0，故不等式 ＜0的解
集为(－3，－1)∪(0，1).
(－3，－1)∪(0，1)　
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12. 已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f'(x)＞0，若
f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)＜0的解集为 .
【解析】 ∵在(0，＋∞)上f'(x)＞0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
∴xf(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).
(－∞，－1)∪(0，1)　
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必备知识练
关键能力练
关键能力练
13. 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＋f'(x)＞0，f(3)＝1，则ex·f(x)＞e3的解集为(　D　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，3) D. (3，＋∞)
D
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【解析】 令g(x)＝exf(x)，则由题意知g'(x)＝ex·[f'(x)＋f(x)]＞0，
故g(x)在R上是增函数.又f(3)＝1，
∴ex·f(x)＞e3可化为ex·f(x)＞e3f(3)，即g(x)＞g(3)，
解得x＞3，故不等式的解集为(3，＋∞).
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14. 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝x4－2x2＋3；
解： (1)函数f(x)的定义域为R，
f'(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1).
令f'(x)＞0，则4x(x＋1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜0，或x＞1，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)；
令f'(x)＜0，则4x(x＋1)(x－1)＜0，解得x＜－1，或0＜x＜1，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1).
(2)f(x)＝x2－2ln x；
(3)f(x)＝ ；
(4)f(x)＝ sin x(1＋ cos x)(0≤x≤2π).
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(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝2x－ ＝ ，
令f'(x)＞0，可得x＞1，令f'(x)＜0，可得0＜x＜1，
∴函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).
(3)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，f'(x)＝ .
令f'(x)＞0，得x＞3；令f'(x)＜0，得x＜2，或2＜x＜3.
∴函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).
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(4)由题可得f'(x)＝ cos x(1＋ cos x)＋ sin x(－ sin x)＝2 cos 2x＋ cos x－
1 ＝(2 cos x－1)( cos x＋1).
令f'(x)＝0，得 cos x＝ ，或 cos x＝－1，∵0≤x≤2π，
∴x＝ ，或x＝π，或x＝ .
当0≤x＜ 时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当 ＜x＜π时，f'(x)＜0，
f(x)单调递减；当π＜x＜ 时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当 ＜x≤2π时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，
∴函数f(x)的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 .
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15. 已知函数f(x)＝ (k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝
f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
解： (1)由f(x)＝ ，可得f'(x)＝ － .
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f'(1)＝0，即 ＝0，解得k＝1.
(2)求函数f(x)的单调区间.
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(2)由(1)知，f'(x)＝ (x＞0)，
设h(x)＝ －ln x－1(x＞0)，则h'(x)＝－ － ＜0.
可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，
h(x)＞h(1)＝0，故f'(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，故f'(x)＜0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).
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16. 已知函数f(x)＝ln x－ .
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
解： (1)f'(x)＝ －x＋1＝ ，x∈(0，＋∞).
由f'(x)＞0得 解得0＜x＜ .
故f(x)的单调递增区间是(0， ).
(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1.
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(2)令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞).
则F'(x)＝ .当x∈(1，＋∞)时，F'(x)＜0，
∴F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，即当x＞1时，f(x)＜x－1.
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