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三、导数在研究函数中的应用
练习2　函数的单调性的综合问题
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
必备知识练
1. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是(　A　)
A. (－∞，2] B. [0，3]
C. [1，4] D. [2，＋∞)
【解析】 由f(x)＝(x－3)ex，得f'(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f'(x)＜0得(x－2)ex＜0，即x＜2，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2].
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2. 函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　A　)
A. a≤0 B. a＜1 C. a＜2 D. a≤
【解析】 f'(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
A
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3. 已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为(， 1)，则实数a的
值为(　B　)
A. －1 B. －3 C. 3 D. 1
【解析】 由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝ ＋2x＋a＝ ＜0的解集为(，1)，
∴不等式2x2＋ax＋1＜0的解集为(，1)，
∴ ＋1＝－ ，∴a＝－3.
B
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4. 已知f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能
是(　D　)
D
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【解析】 由f'(x)的图象可以看出，在区间 内，导函数f'(x)单
调递增，在区间 内，导函数f'(x)单调递减，
∴函数f(x)的图象在 内越来越陡峭，
在 内越来越平缓.
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5. 如图所示，阴影部分的面积S是关于h(0≤h≤H)的函数，则该函数
的图象是(　A　)
【解析】 由题图可知，阴影部分的面积S随h的增大而减小，排除B，
C；∵图形上窄下宽，S'＜0，∴S'随h的增大而增大，排除D.
A
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6. 若函数f(x)＝ax3＋x在定义域R上恰有三个单调区间，则实数a的取
值范围是(　A　)
A. (－∞，0) B. (0，＋∞)
C. (－∞，0] D. [0，＋∞)
【解析】 ∵函数f(x)＝ax3＋x在定义域R上恰有三个单调区间，
∴其导函数在定义域R上有两个不同的变号零点，又f'(x)＝3ax2＋1，
∴a＜0.
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7. 已知函数的定义域为R，f(1)＝5，对任意x∈R，f'(x)＜2，
则f(x)＞3＋2x的解集为(　D　)
A. (－1， 1) B. (2， ＋∞)
C. (1， 2) D. (－∞， 1)
【解析】 设g(x)＝f(x)－2x－3，则g'(x)＝ f'(x)－2，
∵对任意x∈R，f'(x)＜2，∴对任意x∈R，g'(x)＜0，
∴g(x)在R上单调递减，∵f(1)＝5，
∴g(1)＝f(1)－2－3＝0，由g(x)＞ g(1)＝0，得x＜1，
∴f(x)＞3＋2x的解集为(－∞， 1).
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8. (多选)若函数f(x)＝ x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数
m的值可能是(　AC　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】 由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－ ＝ .
由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)；
由f'(x)≤0，可得0＜x≤3，则函数f(x)的单调递减区间为(0，3].
∵f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，∴ 或m－1≥3，
解得1＜m≤2，或m≥4，结合选项可得A，C符合题意.
AC
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9. (多选)函数f(x)＝ ax2－(a＋2)x＋2ln x在定义域上单调递增的必要
不充分条件可以是(　AC　)
A. a≥2 B. a＝2 C. a≥1 D. a＞2
AC
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【解析】 由函数f(x)＝ ax2－(a＋2)x＋2ln x在定义域(0，＋∞)上单调
递增，得f'(x)＝ax－(a＋2)＋ ＝ ≥0对任意x∈(0，＋∞)
恒成立，即ax2－(a＋2)x＋2≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立.
当a＝0时，可得－2x＋2≥0，则0＜x≤1，不满足题意；当a≠0时，
可得a＞0，且Δ＝(a＋2)2－8a＝(a－2)2≤0，则a＝2.综上，函数
f(x)＝ ax2－(a＋2)x＋2ln x在定义域上单调递增的充要条件为a＝2.分析
选项可知只有A，C符合题意.
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10. 设函数f(x)＝x3＋ (a为常数)，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a
的一个可能值为 .
【解析】 由函数f(x)＝x3＋ ，可得f'(x)＝3x2－ ，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴当x∈(0，＋∞)时，f'(x)≥0恒成立，即当x∈(0，＋∞)时，a≤3x4恒成立，∴a≤0，故a的一个可能值为0.
0(答案不唯一， a≤0即可)　
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11. 已知函数f(x)＝ x3－x的值域为[－ ， ]，则f(x)的定义域可以
是 (写出一个即可).
【解析】 f'(x)＝x2－1，令f'(x)＝0可得x＝－1，1，
∴当x＜－1，或x＞1时，f'(x)＞0，当－1＜x＜1时，f'(x)＜0，
故f(x)在(－∞， －1)和(1，＋∞)上单调递增，
在(－1，1)上单调递减，且f(－1)＝ ，f(1)＝－ ，
由此可知定义域可以是[－1， 1](答案不唯一).
[－1， 1] (答案不唯一)　
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12. 已知函数f(x)＝ex－ ＋ sin x，其中e是自然对数的底数，若
f(2a)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是 .
【解析】 易知f(－x)＝e－x－ ＋ sin (－x)＝－ex＋ － sin x＝－f(x)，且x∈R，即f(x)为奇函数，又f'(x)＝ex＋ ＋ cos x≥2 ＋ cos x＝
2＋ cos x＞0，当且仅当x＝0时取等号，故f(x)为增函数，对于f(2a)＋f(a2)≤0 f(2a) ≤－f(a2)＝f(－a2)，∴2a≤－a2 a∈[－2， 0].
[－2， 0]　
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关键能力练
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13. 已知函数f(x)＝2x3－mx2＋2(m＞0)的单调递减区间为(a，b)，若
b－a≤2，则m的最大值是 .
【解析】 由f(x)＝2x3－mx2＋2(m＞0)，得f'(x)＝6x2－2mx(m＞0).
令f'(x)＜0，即6x2－2mx＜0，解得0＜x＜ ，
∴函数f(x)＝2x3－mx2＋2(m＞0)的单调递减区间为 ，
∴b－a＝ ≤2，解得m≤6，∴m的最大值是6.
6　
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14. 设函数f(x)＝ (k≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1， 1)内单调递增，求k的取值范围.
解： (1)f'(x)＝ ＝ ，令f'(x)＝0，得x＝ .
若k＞0，则当x＜ 时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞ 时，
f'(x)＜0，f(x)单调递减；若k＜0，则当x＜ 时，f'(x)＜0，
f(x)单调递减，当x＞ 时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.
综上，当k＞0时，函数f(x)的单调递增区间是 ，
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单调递减区间是 ；当k＜0时，函数f(x)的单调递减区间是
，单调递增区间是 .
(2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递增，
∴由(1)可知，当k＞0时， ≥1，即0＜k≤1，当k＜0时，
≤－1，即－1≤k＜0，故k的取值范围是[－1，0)∪(0，1].
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15. 已知f(x)＝x2＋x＋aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
解： 由已知，f(x)＝x2＋x＋aln x(a∈R)的定义域为(0， ＋∞)，
f'(x)＝2x＋1＋ ＝ ，
①当a≥0时，f'(x)＞0在区间(0， ＋∞)上恒成立，
f(x)在区间(0， ＋∞)上单调递增；
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②当a＜0时，令f'(x)＝0，则2x2＋x＋a＝0，Δ＝1－8a＞0，
解得x1＝ ＜0(舍去)，x2＝ ＞0，
∴当x∈ 时，2x2＋x＋a＜0，
∴f '(x)＜0，∴f(x)在区间(0， )上单调递减；
当x∈ 时，2x2＋x＋a＞0，
∴f '(x)＞0，∴f(x)在区间(， ＋∞)上单调递增.
综上，当a≥0时，f(x)在区间(0， ＋∞)上单调递增；当a＜0时，f(x)在区间(0， )上单调递减，在区间(， ＋∞)上单调递增.
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16. (2025·陕西西安高二期末)已知函数f(x)＝xln x.
(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
解： (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝ln x＋1.
曲线f(x)在x＝1处的切线的斜率为k＝ f'(1)＝1.
把x＝1代入f(x)＝xln x中得f(1)＝0，即切点坐标为(1， 0)，
∴曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1.
(2)讨论函数f(x)在区间(0， t](t＞0)上的单调性.
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(2)令f '(x)＝ln x＋1＝0，得x＝ .
①当0＜t≤ 时，在区间(0，t]上，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减.
②当t＞ 时，在区间(0， )上，f '(x)＜0，f(x)单调递减；在区间
(， t]上，f '(x)＞0，f(x)单调递增.综上，当0＜t≤ 时，f(x)单调递减；当t＞ 时，在区间(0， )上，f(x)单调递减，在区间(， t]上，f(x)单调递增.
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165.3 练习2　函数的单调性的综合问题
1. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是(　 　)
A. (－∞，2] B. [0，3]
C. [1，4] D. [2，＋∞)
2. 函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　 　)
A. a≤0 B. a＜1 C. a＜2 D. a≤
3. 已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为(， 1)，则实数a的值为(　 　)
A. －1 B. －3 C. 3 D. 1
4. 已知f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　 　)
5. 如图所示，阴影部分的面积S是关于h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图象是(　 　)
6. 若函数f(x)＝ax3＋x在定义域R上恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，0) B. (0，＋∞)
C. (－∞，0] D. [0，＋∞)
7. 已知函数的定义域为R，f(1)＝5，对任意x∈R，f'(x)＜2，则f(x)＞3＋2x的解集为(　 　)
A. (－1， 1) B. (2， ＋∞)
C. (1， 2) D. (－∞， 1)
8. (多选)若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可能是(　 　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. (多选)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x在定义域上单调递增的必要不充分条件可以是(　 　)
A. a≥2 B. a＝2 C. a≥1 D. a＞2
10. 设函数f(x)＝x3＋(a为常数)，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a的一个可能值为 .
11. 已知函数f(x)＝x3－x的值域为－， ，则f(x)的定义域可以是 (写出一个即可).
12. 已知函数f(x)＝ex－＋sin x，其中e是自然对数的底数，若f(2a)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是 .
13. 已知函数f(x)＝2x3－mx2＋2(m＞0)的单调递减区间为(a，b)，若b－a≤2，则m的最大值是 .
14. 设函数f(x)＝(k≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1， 1)内单调递增，求k的取值范围.
15. 已知f(x)＝x2＋x＋aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
16. (2025·陕西西安高二期末)已知函数f(x)＝xln x.
(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)在区间(0， t](t＞0)上的单调性.5.3 练习2　函数的单调性的综合问题
1. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是(　A　)
A. (－∞，2] B. [0，3]
C. [1，4] D. [2，＋∞)
【解析】 由f(x)＝(x－3)ex，得f'(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f'(x)＜0得(x－2)ex＜0，即x＜2，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2].
2. 函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　A　)
A. a≤0 B. a＜1 C. a＜2 D. a≤
【解析】 f'(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
3. 已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为(， 1)，则实数a的值为(　B　)
A. －1 B. －3 C. 3 D. 1
【解析】 由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝＋2x＋a＝＜0的解集为(，1)，
∴不等式2x2＋ax＋1＜0的解集为(，1)，
∴＋1＝－，∴a＝－3.
4. 已知f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　D　)
【解析】 由f'(x)的图象可以看出，在区间内，导函数f'(x)单调递增，在区间内，导函数f'(x)单调递减，
∴函数f(x)的图象在内越来越陡峭，
在内越来越平缓.
5. 如图所示，阴影部分的面积S是关于h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图象是(　A　)
【解析】 由题图可知，阴影部分的面积S随h的增大而减小，排除B，C；∵图形上窄下宽，S'＜0，∴S'随h的增大而增大，排除D.
6. 若函数f(x)＝ax3＋x在定义域R上恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　A　)
A. (－∞，0) B. (0，＋∞)
C. (－∞，0] D. [0，＋∞)
【解析】 ∵函数f(x)＝ax3＋x在定义域R上恰有三个单调区间，∴其导函数在定义域R上有两个不同的变号零点，又f'(x)＝3ax2＋1，∴a＜0.
7. 已知函数的定义域为R，f(1)＝5，对任意x∈R，f'(x)＜2，则f(x)＞3＋2x的解集为(　D　)
A. (－1， 1) B. (2， ＋∞)
C. (1， 2) D. (－∞， 1)
【解析】 设g(x)＝f(x)－2x－3，则g'(x)＝ f'(x)－2，
∵对任意x∈R，f'(x)＜2，∴对任意x∈R，g'(x)＜0，
∴g(x)在R上单调递减，∵f(1)＝5，
∴g(1)＝f(1)－2－3＝0，由g(x)＞ g(1)＝0，得x＜1，
∴f(x)＞3＋2x的解集为(－∞， 1).
8. (多选)若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可能是(　AC　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】 由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝x－＝.由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，
＋∞)；由f'(x)≤0，可得0＜x≤3，则函数f(x)的单调递减区间为(0，3].∵f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，∴或m－1≥3，解得1＜m≤2，或m≥4，结合选项可得A，C符合题意.
9. (多选)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x在定义域上单调递增的必要不充分条件可以是(　AC　)
A. a≥2 B. a＝2 C. a≥1 D. a＞2
【解析】 由函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，得f'(x)＝ax－(a＋2)＋＝≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，即ax2－(a＋2)x＋2≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立.
当a＝0时，可得－2x＋2≥0，则0＜x≤1，不满足题意；当a≠0时，可得a＞0，且Δ＝(a＋2)2－8a＝(a－2)2≤0，则a＝2.综上，函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x在定义域上单调递增的充要条件为a＝2.分析选项可知只有A，C符合题意.
10. 设函数f(x)＝x3＋(a为常数)，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a的一个可能值为　　0(答案不唯一， a≤0即可)　.
【解析】 由函数f(x)＝x3＋，可得f'(x)＝3x2－，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴当x∈(0，＋∞)时，f'(x)≥0恒成立，即当x∈(0，＋∞)时，a≤3x4恒成立，∴a≤0，故a的一个可能值为0.
11. 已知函数f(x)＝x3－x的值域为－， ，则f(x)的定义域可以是　　[－1， 1] (答案不唯一)　(写出一个即可).
【解析】 f'(x)＝x2－1，令f'(x)＝0可得x＝－1，1，
∴当x＜－1，或x＞1时，f'(x)＞0，当－1＜x＜1时，f'(x)＜0，
故f(x)在(－∞， －1)和(1，＋∞)上单调递增，
在(－1，1)上单调递减，且f(－1)＝，f(1)＝－，
由此可知定义域可以是[－1， 1](答案不唯一).
12. 已知函数f(x)＝ex－＋sin x，其中e是自然对数的底数，若f(2a)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是　　[－2， 0]　.
【解析】 易知f(－x)＝e－x－＋sin(－x)＝－ex＋－sin x＝－f(x)，且x∈R，即f(x)为奇函数，又f'(x)＝ex＋＋cos x≥2＋cos x＝2＋cos x＞0，当且仅当
x＝0时取等号，故f(x)为增函数，对于f(2a)＋f(a2)≤0 f(2a) ≤－f(a2)＝f(－a2)，∴2a≤－a2 a∈[－2， 0].
13. 已知函数f(x)＝2x3－mx2＋2(m＞0)的单调递减区间为(a，b)，若b－a≤2，则m的最大值是　　6　.
【解析】 由f(x)＝2x3－mx2＋2(m＞0)，得f'(x)＝6x2－2mx(m＞0).
令f'(x)＜0，即6x2－2mx＜0，解得0＜x＜，
∴函数f(x)＝2x3－mx2＋2(m＞0)的单调递减区间为，
∴b－a＝≤2，解得m≤6，∴m的最大值是6.
14. 设函数f(x)＝(k≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1， 1)内单调递增，求k的取值范围.
解： (1)f'(x)＝＝，令f'(x)＝0，得x＝.
若k＞0，则当x＜时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞时，
f'(x)＜0，f(x)单调递减；若k＜0，则当x＜时，f'(x)＜0，
f(x)单调递减，当x＞时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.
综上，当k＞0时，函数f(x)的单调递增区间是，
单调递减区间是；
当k＜0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递增，
∴由(1)可知，当k＞0时，≥1，即0＜k≤1，当k＜0时，
≤－1，即－1≤k＜0，故k的取值范围是[－1，0)∪(0，1].
15. 已知f(x)＝x2＋x＋aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
解： 由已知，f(x)＝x2＋x＋aln x(a∈R)的定义域为(0， ＋∞)，f'(x)＝2x＋1＋＝，
①当a≥0时，f'(x)＞0在区间(0， ＋∞)上恒成立，f(x)在区间(0， ＋∞)上单调递增；
②当a＜0时，令f'(x)＝0，则2x2＋x＋a＝0，Δ＝1－8a＞0，解得x1＝＜0(舍去)，x2＝＞0，
∴当x∈时，2x2＋x＋a＜0，
∴f '(x)＜0，∴f(x)在区间(0， )上单调递减；
当x∈时，2x2＋x＋a＞0，
∴f '(x)＞0，∴f(x)在区间(， ＋∞)上单调递增.综上，当a≥0时，f(x)在区间(0， ＋∞)上单调递增；当a＜0时，f(x)在区间(0， )上单调递减，在区间(， ＋∞)上单调递增.
16. (2025·陕西西安高二期末)已知函数f(x)＝xln x.
(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)在区间(0， t](t＞0)上的单调性.
解： (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝ln x＋1.
曲线f(x)在x＝1处的切线的斜率为k＝ f'(1)＝1.
把x＝1代入f(x)＝xln x中得f(1)＝0，即切点坐标为(1， 0)，
∴曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1.
(2)令f '(x)＝ln x＋1＝0，得x＝.
①当0＜t≤时，在区间(0，t]上，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减.
②当t＞时，在区间(0，)上，f '(x)＜0，f(x)单调递减；在区间(， t]上，f '(x)＞0，f(x)单调递增.综上，当0＜t≤时，f(x)单调递减；当t＞时，在区间(0， )上，f(x)单调递减，在区间(， t]上，f(x)单调递增.

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