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5.3 练习3　函数的极值与导数
1. 若函数y＝f(x)可导，则“f '(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的(　A　)
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 f'(x)＝0，当f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时，f(x)在零点处无极值，当f(x)有极值时，f'(x)在极值处一定等于0，∴“f'(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件.
2. (2024·江苏徐州高二期末)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值点的个数为(　A　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 根据导函数f'(x)的图象可知，f'(x)有3个变号零点，
则可得函数f(x)在(a，b)上的单调性为先增再减，再增又减，
∴函数f(x)的极小值点的个数为1.
3. (2025·陕西榆林高二期末)已知函数f (x)＝xex的极小值为(　D　)
A. e B. －1 C. －e D. －
【解析】 ∵f(x)＝xex，∴f'(x)＝(x＋1)ex，令f'(x)＝0得x＝－1，令f'(x)＞0得x＞－1，令f'(x)＜0得x＜－1，
∴函数f (x)＝xex在(－1，＋∞)上单调递增，
在(－∞， －1)上单调递减，
∴f(x)＝xex的极小值为f(－1)＝－e－1＝－.
4. 若函数f(x)＝x3－x2＋2ax＋3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是(　B　)
A. (－∞， －6) B. (－∞， 6)
C. (6， ＋∞) D. (－6， ＋∞)
【解析】 f'(x)＝3x2－(a＋6)x＋2a＝(3x－a)(x－2)，
f'(x)＝0有两个根，2，若函数f(x)在x＝2处取得极小值，
则＜2，解得a∈(－∞， 6).
5. 若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是(　B　)
A. B. C. D. (0，1)
【解析】 由y＝ex－2mx，得y'＝ex－2m.
∵函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，
∴ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ex有小于零的实根，
∵x＜0，∴0＜ex＜，∴0＜m＜.
6. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　B　)
A. 等于0 B. 大于0
C. 小于0 D. 小于或等于0
【解析】 f'(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f'(x)＝0，则x0和2是该方程的根，∴x0＋2＝
－＜0，即＞0.由题图知，f'(x)＜0的解集为(x0，2)，∴3a＞0，则b＞0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)＞0.
7. 已知f'(x)是函数f(x)的导函数，若函数y＝ef'(x)的大致图象如图所示，则f(x)的极大值点为(　D　)
A. a B. b C. c D. d
【解析】 由y＝ef'(x)的图象知，当x∈(－∞，a)时，ef'(x)＜1，
则f'(x)＜0；当x∈(a，d)时，ef'(x)≥1，则f'(x)≥0，
且f'(x)不恒为0；当x∈(d，＋∞)时，ef'(x)＜1，则f'(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间为(a，d)，单调递减区间为(－∞，a)和(d，＋∞)，故f(x)的极大值点为d.
8. (多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)·x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是(　AD　)
A. －4 B. －3 C. 6 D. 8
【解析】 由题意知f'(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，∴Δ＝
4a2－12(a＋6)＞0，解得a＞6，或a＜－3.
9. (多选)(2024·福建南平高二月考)已知函数f(x)的导函数为f'(x)＝ax2－2ax(a≠0)，则函数f(x)的图象可能是(　BD　)
【解析】 由f'(x)＝ax2－2ax＝ax(x－2)＝0(a≠0)，得x＝0，
或x＝2，∴函数f(x)有两个极值点，分别是x＝0和x＝2，
分析选项可知只有B，D符合题意.
10. 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝　　
－　.
【解析】 ∵f'(x)＝＋2bx＋1，由题意得
∴a＝－.经检验，符合题意.
11. 若函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是　　[0，2]　.
【解析】 由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1，
得f'(x)＝x2＋2(a－1)x＋1，∵函数f(x)没有极值，
∴f'(x)≥0恒成立，则Δ＝4(a－1)2－4≤0，解得0≤a≤2，
故a的取值范围是[0，2].
12. 若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是　　[1，5)　.
【解析】 ∵f'(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1， 1)上恰有一个极值点，即f'(x)＝0在(－1， 1)内恰有一个根.又函数f'(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴∴1≤a＜5.
13. 已知函数f(x)＝(x2－ax－a)ex的图象在点(0，f(0))处的切线平行于直线2x＋y＋
3＝0.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的极值.
解： (1)由已知可得f'(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax－a)ex＝(x2＋2x－ax－2a)ex，∵直线2x＋y＋3＝0的斜率为－2，
∴f'(0)＝－2a＝－2，解得a＝1.
(2)由(1)得f(x)＝(x2－x－1)·ex，f'(x)＝ex·(x2＋x－2)＝ex·(x－1)(x＋2).
当x∈(－∞，－2)时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－2，1)时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增.
故f(x)的极大值为f(－2)＝，极小值为f(1)＝－e.
14. 已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a＜2，x∈R).
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解： (1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
f'(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.
当f'(x)＞0时，解得x＜－2，或x＞－1；
当f'(x)＜0时，解得－2＜x＜－1.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；
单调递减区间为(－2，－1).
(2)令f'(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(2＋a)·x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，解得x＝－a，或x＝－2.
∵a＜2，∴－a＞－2. 列表如下所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，－a) －a (－a，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可知f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2＜2，∴存在实数a＜2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2.
15. 若函数f(x)＝x2ex在区间(a，a＋1)上不存在极值点，则实数a的取值范围是　　(－∞，－3]∪[－2，－1]∪[0，＋∞)　.
【解析】 由f(x)＝x2ex得f'(x)＝(x2＋2x)ex.令f'(x)＞0，解得x＜－2，或x＞0，令f'(x)＜0，解得－2＜x＜0，∴函数f(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，
在(－2，0)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝－2处有极大值，在x＝0处有极小值.又函数f(x)在区间(a，a＋1)上不存在极值点，∴a＋1≤－2，或a≥0，
或解得a≤－3，或a≥0，或－2≤a≤－1，
故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[－2，－1]∪[0，＋∞).
16. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数y＝xx(x＞0)，我们可以作变形： y＝xx＝(eln x)x＝ex·ln x＝et(t＝xln x)，所以y＝xx(x＞0)可看作是由函数y＝et和t＝xln x复合而成的，即y＝xx(x＞0)为初等函数.
(1)直接写出初等函数y＝xx(x＞0)的极值点；
(2)求初等函数h(x)＝(x＞0)的极值.
解： (1)极小值点为x＝，无极大值点.
(2)h(x)＝＝(eln x＝(x＞0)，
∴h'(x)＝·(ln x)'＝·(－lnx＋)＝(1－ln x)，令h'(x)＝0得x＝e.当0＜x＜e时，h'(x)＞0，
函数h(x)单调递增；当x＞e时，h'(x)＜0，函数h(x)单调递减，
∴h(x)有极大值，且极大值为h(e)＝，无极小值.5.3 练习3　函数的极值与导数
1. 若函数y＝f(x)可导，则“f '(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的(　 　)
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. (2024·江苏徐州高二期末)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值点的个数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (2025·陕西榆林高二期末)已知函数f (x)＝xex的极小值为(　 　)
A. e B. －1 C. －e D. －
4. 若函数f(x)＝x3－x2＋2ax＋3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (－∞， －6) B. (－∞， 6)
C. (6， ＋∞) D. (－6， ＋∞)
5. 若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是(　 　)
A. B. C. D. (0，1)
6. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　 　)
A. 等于0 B. 大于0
C. 小于0 D. 小于或等于0
7. 已知f'(x)是函数f(x)的导函数，若函数y＝ef'(x)的大致图象如图所示，则f(x)的极大值点为(　 　)
A. a B. b C. c D. d
8. (多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)·x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是(　 　)
A. －4 B. －3 C. 6 D. 8
9. (多选)(2024·福建南平高二月考)已知函数f(x)的导函数为f'(x)＝ax2－2ax(a≠0)，则函数f(x)的图象可能是(　 　)
10. 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝ .
11. 若函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是 .
12. 若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是 .
13. 已知函数f(x)＝(x2－ax－a)ex的图象在点(0，f(0))处的切线平行于直线2x＋y＋
3＝0.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的极值.
14. 已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a＜2，x∈R).
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
15. 若函数f(x)＝x2ex在区间(a，a＋1)上不存在极值点，则实数a的取值范围是 .
16. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数y＝xx(x＞0)，我们可以作变形： y＝xx＝(eln x)x＝ex·ln x＝et(t＝xln x)，所以y＝xx(x＞0)可看作是由函数y＝et和t＝xln x复合而成的，即y＝xx(x＞0)为初等函数.
(1)直接写出初等函数y＝xx(x＞0)的极值点；
(2)求初等函数h(x)＝(x＞0)的极值.(共24张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
练习3　函数的极值与导数
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 若函数y＝f(x)可导，则“f '(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”
的(　A　)
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 f'(x)＝0，当f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零
时，f(x)在零点处无极值，当f(x)有极值时，f'(x)在极值处一定等于0，
∴“f'(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件.
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2. (2024·江苏徐州高二期末)已知函数f(x)的定义域
为(a，b)，导函数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)
的极小值点的个数为(　A　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 根据导函数f'(x)的图象可知，f'(x)有3个变号零点，
则可得函数f(x)在(a，b)上的单调性为先增再减，再增又减，
∴函数f(x)的极小值点的个数为1.
A
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3. (2025·陕西榆林高二期末)已知函数f (x)＝xex的极小值为(　D　)
A. e B. －1 C. －e D. －
【解析】 ∵f(x)＝xex，∴f'(x)＝(x＋1)ex，令f'(x)＝0得x＝－1，
令f'(x)＞0得x＞－1，令f'(x)＜0得x＜－1，
∴函数f (x)＝xex在(－1，＋∞)上单调递增，在(－∞， －1)上单调递减，
∴f(x)＝xex的极小值为f(－1)＝－e－1＝－ .
D
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4. 若函数f(x)＝x3－ x2＋2ax＋3在x＝2处取得极小值，则实数
a的取值范围是(　B　)
A. (－∞， －6) B. (－∞， 6)
C. (6， ＋∞) D. (－6， ＋∞)
【解析】 f'(x)＝3x2－(a＋6)x＋2a＝(3x－a)(x－2)，f'(x)＝0有两个根 ，
2，若函数f(x)在x＝2处取得极小值，则 ＜2，解得a∈(－∞， 6).
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5. 若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围
是(　B　)
A. B. C. D. (0，1)
【解析】 由y＝ex－2mx，得y'＝ex－2m.
∵函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，
∴ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ ex有小于零的实根，
∵x＜0，∴0＜ ex＜ ，∴0＜m＜ .
B
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6. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与
x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　B　)
A. 等于0 B. 大于0
C. 小于0 D. 小于或等于0
【解析】 f'(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f'(x)＝0，则x0和2是该方程的根，
∴x0＋2＝－ ＜0，即 ＞0.由题图知，f'(x)＜0的解集为(x0，2)，
∴3a＞0，则b＞0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)＞0.
B
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7. 已知f'(x)是函数f(x)的导函数，若函数y＝ef'(x)的大致
图象如图所示，则f(x)的极大值点为(　D　)
A. a B. b C. c D. d
D
【解析】 由y＝ef'(x)的图象知，当x∈(－∞，a)时，
ef'(x)＜1，则f'(x)＜0；当x∈(a，d)时，ef'(x)≥1，则f'(x)≥0，
且f'(x)不恒为0；当x∈(d，＋∞)时，ef'(x)＜1，则f'(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间为(a，d)，单调递减区间为(－∞，a)和(d，＋∞)，故f(x)的极大值点为d.
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8. (多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)·x＋1有极大值和极小值，则
实数a的值可以是(　AD　)
A. －4 B. －3 C. 6 D. 8
【解析】 由题意知f'(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，解得a＞6，或a＜－3.
AD
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9. (多选)(2024·福建南平高二月考)已知函数f(x)的导函数为f'(x)＝ax2－
2ax(a≠0)，则函数f(x)的图象可能是(　BD　)
BD
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【解析】 由f'(x)＝ax2－2ax＝ax(x－2)＝0(a≠0)，得x＝0，
或x＝2，∴函数f(x)有两个极值点，分别是x＝0和x＝2，
分析选项可知只有B，D符合题意.
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10. 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数
a＝ .
【解析】 ∵f'(x)＝ ＋2bx＋1，由题意得
∴a＝－ .经检验，符合题意.
－ 　
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11. 若函数f(x)＝ x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围
是 .
【解析】 由f(x)＝ x3＋(a－1)x2＋x＋1，
得f'(x)＝x2＋2(a－1)x＋1，∵函数f(x)没有极值，
∴f'(x)≥0恒成立，则Δ＝4(a－1)2－4≤0，解得0≤a≤2，
故a的取值范围是[0，2].
[0，2]　
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12. 若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则
实数a的取值范围是 .
【解析】 ∵f'(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1， 1)上恰有一个
极值点，即f'(x)＝0在(－1， 1)内恰有一个根.又函数f'(x)＝3x2＋2x－a
的对称轴为x＝－ .
∴应满足 ∴ ∴1≤a＜5.
[1，5)　
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
关键能力练
13. 已知函数f(x)＝(x2－ax－a)ex的图象在点(0，f(0))处的切线平行于
直线2x＋y＋3＝0.
(1)求a的值；
解： (1)由已知可得f'(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax－a)ex＝(x2＋2x－ax－
2a)ex，∵直线2x＋y＋3＝0的斜率为－2，
∴f'(0)＝－2a＝－2，解得a＝1.
(2)求f(x)的极值.
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(2)由(1)得f(x)＝(x2－x－1)·ex，f'(x)＝ex·(x2＋x－2)＝ex·(x－1)(x＋2).
当x∈(－∞，－2)时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－2，1)时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增.
故f(x)的极大值为f(－2)＝ ，极小值为f(1)＝－e.
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14. 已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a＜2，x∈R).
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间.
解： (1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
f'(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.
当f'(x)＞0时，解得x＜－2，或x＞－1；
当f'(x)＜0时，解得－2＜x＜－1.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；
单调递减区间为(－2，－1).
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存
在，请说明理由.
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(2)令f'(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(2＋a)·x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，解得x＝－a，或x＝－2.
∵a＜2，∴－a＞－2. 列表如下所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，－a) －a (－a，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可知f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，解得a＝4－3e2＜2，
∴存在实数a＜2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2.
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
拓展突破练
15. 若函数f(x)＝x2ex在区间(a，a＋1)上不存在极值点，则实数a的取
值范围是 .
【解析】 由f(x)＝x2ex得f'(x)＝(x2＋2x)ex.令f'(x)＞0，解得x＜－2，
或x＞0，令f'(x)＜0，解得－2＜x＜0，∴函数f(x)在(－∞，－2)和
(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝－2处有极大值，在x＝0处有极小值.又函数f(x)在
区间(a，a＋1)上不存在极值点，∴a＋1≤－2，或a≥0，
或 解得a≤－3，或a≥0，或－2≤a≤－1，
故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[－2，－1]∪[0，＋∞).
(－∞，－3]∪[－2，－1]∪[0，＋∞)　
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16. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学
与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基
本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能
用一个式子表示的，如函数y＝xx(x＞0)，我们可以作变形： y＝xx＝
(eln x)x＝ex·ln x＝et(t＝xln x)，所以y＝xx(x＞0)可看作是由函数y＝et
和t＝xln x复合而成的，即y＝xx(x＞0)为初等函数.
(1)直接写出初等函数y＝xx(x＞0)的极值点；
解： (1)极小值点为x＝ ，无极大值点.
(2)求初等函数h(x)＝ (x＞0)的极值.
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(2)h(x)＝ ＝(eln x ＝ (x＞0)，
∴h'(x)＝ ·(ln x)'＝ ·(－ lnx＋ )＝ (1－ln x)，
令h'(x)＝0得x＝e.当0＜x＜e时，h'(x)＞0，
函数h(x)单调递增；当x＞e时，h'(x)＜0，函数h(x)单调递减，
∴h(x)有极大值，且极大值为h(e)＝ ，无极小值.
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