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5.3 练习4　函数的最大(小)值与导数
1. 设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'(x)(　A　)
A. 等于0 B. 小于0 C. 等于1 D. 不确定
【解析】 ∵M＝m，∴f(x)为常函数，故f'(x)＝0.
2. 函数f(x)＝x4－4x(｜x｜＜1)(　D　)
A. 有最大值，无最小值
B. 既有最大值，又有最小值
C. 无最大值，有最小值
D. 既无最大值，又无最小值
【解析】 f'(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)，令f'(x)＝0，解得x＝1.又x∈(－1，1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1， 1)上既无极值又无最值.
3. 函数y＝的最大值是(　A　)
A. e－1 B. e C. e2 D.
【解析】 定义域为(0，＋∞)，又y'＝＝0，则x＝e.
当x∈(0，e)时，y'＞0；当x∈(e，＋∞)时，y'＜0.
函数y＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴当x＝e时，y取最大值，即e－1.
4. 函数f(x)＝x－sin x，x∈[0， π]的最大值、最小值分别是(　C　)
A. π，0 B. －，0
C. π，－1 D. 0，－1
【解析】 由题意，f'(x)＝1－cos x，x∈[0，π]，令f'(x)＞0，
得＜x≤π，令f'(x)＜0，得0≤x＜，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)min＝f＝－×＝－1，f(x)max＝max{f(0)，f(π)}＝
max{0，π}＝π.
5. 已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)＜g'(x)，则f(x)－g(x)的最大值是(　A　)
A. f(a)－g(a) B. f(b)－g(b)
C. f(a)－g(b) D. f(b)－g(a)
【解析】 令F(x)＝f(x)－g(x)，∴F'(x)＝f'(x)－g'(x)＜0，
∴F'(x)＜0，∴F(x)在[a， b]上单调递减，
∴F(x)max＝f(a)－g(a).
6. 设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当｜MN｜达到最小值时t的值是(　D　)
A. 1 B. C. D.
【解析】 ∵f(x)的图象始终在g(x)的上方，
∴｜MN｜＝f(x)－g(x)＝x2－ln x.
设h(x)＝x2－ln x，则h'(x)＝2x－＝.
令h'(x)＝＝0，得x＝，
∴h(x)在(0， )上单调递减，在(， ＋∞)上单调递增，
∴当x＝时有最小值，故t＝.
7. 已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤t，则实数t的最小值是(　A　)
A. 20 B. 18 C. 3 D. 0
【解析】 ∵f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.
f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
∴在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，
又由题设知在[－3，2]上｜f(x1)－f(x2)｜≤f(x)max－f(x)min＝20，
∴t≥20.
8. (多选)若函数f(x)＝ex－2x＋3，则(　CD　)
A. 函数f(x)只有极大值，没有极小值
B. 函数f(x)只有最大值，没有最小值
C. 函数f(x)只有极小值，没有极大值
D. 函数f(x)只有最小值，没有最大值
【解析】 由题意得f'(x)＝ex－2，令f'(x)＝0，得x＝ln 2，当x∈(－∞，ln 2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(ln 2，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，∴函数f(x)有唯一极小值，即最小值，没有极大值和最大值.
9. (多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断，正确的是(　ABD　)
A. f(x)＞0的解集为{x｜0＜x＜2}
B. f(－)是极小值，f()是极大值
C. f(x)没有最小值，也没有最大值
D. f(x)有最大值，没有最小值
【解析】 由f(x)＞0得0＜x＜2，A正确；f'(x)＝(2－x2)ex，
令f'(x)＝0，得x＝±，当x＜－，或x＞时，f'(x)＜0，当－＜x＜时，f'(x)＞0，∴当x＝－时，
f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，B正确；
当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，
且f()＞0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
C错误，D正确.
10. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2， 2]上有最大值3，那么此函数在[－2， 2]上的最小值是　－37　.
【解析】 ∵f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，
∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3.
∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值是－37.
11. (2025·吉林长春高二阶段检测)已知函数f(x)＝ln x－x＋k在[1，e]上的最大值是2，则f(k)＝　ln 3　.
【解析】 ∵f(x)＝ln x－x＋k，∴f'(x)＝－1＝，又x∈[1，e]，
∴f'(x)≤0在[1，e]上恒成立，即f(x)在区间[1，e]上单调递减，∴f(1)＝ln 1－1＋
k＝2，得到k＝3，故f(x)＝ln x－x＋3，
∴f(k)＝f(3)＝ln 3.
12. 若函数f(x)＝xex的图象都不在直线y＝f(x0)的下方，则f(x0)＝　－　.
【解析】 由题意知当x＝x0时，函数f(x)＝xex取得最小值.
∵f(x)＝xex，∴f'(x)＝ex(x＋1)，令f'(x)＞0，得x＞－1，
令f'(x)＜0，得x＜－1，
∴函数f(x)＝xex在区间(－∞，－1)上单调递减，
在区间(－1，＋∞)上单调递增，
∴f(x0)＝f(－1)＝－e－1＝－.
13. 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1， f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
解： (1)当a＝0时，f(x)＝，则f'(x)＝＝.
当x＝1时，f(1)＝1，f'(1)＝－4，
故y＝f(x)在(1， f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，
整理得y＝－4x＋5.
(2)已知函数f(x)＝，则f'(x)＝＝.
若函数f(x)在x＝－1处取得极值，令f'(－1)＝0，则＝0，解得a＝4.经检验，当a＝4时，f(x)在x＝－1处取得极大值，符合题意.
此时f(x)＝，函数定义域为R，f'(x)＝，
令f'(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
f'(x)，f(x)随x的变化趋势如下表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1，4) 4 (4，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，
单调递减区间为(－1， 4).极大值为f(－1)＝1，
极小值为f(4)＝－.又x＜时，f(x)＞0；x＞时，f(x)＜0，
∴函数f(x)的最大值是f(－1)＝1，最小值是f(4)＝－.
14. 已知f(x)＝，证明：f(x)＜1＋e－2.
解： 令g(x)＝1－x－xln x，∴g'(x)＝－1－(ln x＋1)＝－ln x－2，由g'(x)＞0得0＜x＜e－2；由g'(x)＜0得x＞e－2，
∴函数g(x)的单调递增区间为(0，e－2)，
单调递减区间为(e－2，＋∞)，∴g(x)≤g(x)max＝1＋e－2.
由题设h(x)＝ex－x－1，h'(x)＝ex－1，x＞0，h'(x)＝ex－1＞0，函数h(x)在(0，
＋∞)上单调递增，∴h(x)＝ex－x－1＞h(0)＝0，∴ex＞x＋1，
∴＞1，∴·(e－2＋1)＞e－2＋1≥g(x)，
∴1－x－xln x＜·(e－2＋1)，
∴＜e－2＋1得证.
15. 已知f(x)＝ex，g(x)＝，若存在实数x1，x2满足f(x1)＝g(x2)，则的最大值是　　.　
【解析】 ∵g(x2)＝＝＝f(2ln x2－x2)＝f(x1)，
且f(x)＝ex在R上单调递增，
∴x1＝2ln x2－x2，＝－1.
设h(x)＝，则h'(x)＝(x＞0)，当x∈(0，e)时，h'(x)＞0；当x∈(e，＋∞)时，h'(x)＜0，∴h(x)在(0，e)上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(e)＝，
∴＝.
16. 已知函数f(x)＝x3－3ln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)设g(x)＝x3＋－3，证明：f(x)≤g(x).
解： (1)∵f(x)＝x3－3ln x，x＞0，∴f'(x)＝3x2－＝.令f'(x)＜0，得0＜x＜1；令f'(x)＞0，得x＞1.
∴f(x)在(0， 1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1－3ln 1＝1.
(2)∵f(x)＝x3－3ln x，g(x)＝x3＋－3，∴由f(x)≤g(x)，
得x3－3ln x≤x3＋－3，即ln x＋－1≥0.设h(x)＝ln x＋－1，
x＞0，则h'(x)＝－＝.
令h'(x)＜0，得0＜x＜1；令h'(x)＞0，得x＞1.
∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
则h(x)≥h(1)＝ln 1＋1－1＝0，即ln x＋－1≥0恒成立，∴f(x)≤g(x).(共26张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
练习4　函数的最大(小)值与导数
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'(x)(　A　)
A. 等于0 B. 小于0 C. 等于1 D. 不确定
【解析】 ∵M＝m，∴f(x)为常函数，故f'(x)＝0.
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2. 函数f(x)＝x4－4x(｜x｜＜1)(　D　)
A. 有最大值，无最小值
B. 既有最大值，又有最小值
C. 无最大值，有最小值
D. 既无最大值，又无最小值
【解析】 f'(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)，令f'(x)＝0，解得x＝1.又x∈(－1，1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1， 1)上既无极值又无最值.
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3. 函数y＝ 的最大值是(　A　)
A. e－1 B. e C. e2 D.
【解析】 定义域为(0，＋∞)，又y'＝ ＝0，则x＝e.
当x∈(0，e)时，y'＞0；当x∈(e，＋∞)时，y'＜0.
函数y＝ 在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴当x＝e时，y取最大值 ，即e－1.
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4. 函数f(x)＝x－ sin x，x∈[0， π]的最大值、最小值分别是(　C　)
A. π，0 B. － ，0
C. π， －1 D. 0， －1
C
【解析】 由题意，f'(x)＝1－ cos x，x∈[0，π]，令f'(x)＞0，
得 ＜x≤π，令f'(x)＜0，得0≤x＜ ，∴f(x)在 上单调递减，
在 上单调递增，∴f(x)min＝f ＝ － × ＝ －1，
f(x)max＝max{f(0)，f(π)}＝max{0，π}＝π.
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5. 已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且
f'(x)＜g'(x)，则f(x)－g(x)的最大值是(　A　)
A. f(a)－g(a) B. f(b)－g(b)
C. f(a)－g(b) D. f(b)－g(a)
【解析】 令F(x)＝f(x)－g(x)，∴F'(x)＝f'(x)－g'(x)＜0，
∴F'(x)＜0，∴F(x)在[a， b]上单调递减，
∴F(x)max＝f(a)－g(a).
A
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6. 设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，
则当｜MN｜达到最小值时t的值是(　D　)
A. 1 B. C. D.
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【解析】 ∵f(x)的图象始终在g(x)的上方，
∴｜MN｜＝f(x)－g(x)＝x2－ln x.
设h(x)＝x2－ln x，则h'(x)＝2x－ ＝ .
令h'(x)＝ ＝0，得x＝ ，
∴h(x)在(0， )上单调递减，在(， ＋∞)上单调递增，
∴当x＝ 时有最小值，故t＝ .
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7. 已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，
都有｜f(x1)－f(x2)｜≤t，则实数t的最小值是(　A　)
A. 20 B. 18 C. 3 D. 0
【解析】 ∵f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.
f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
∴在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，
又由题设知在[－3，2]上｜f(x1)－f(x2)｜≤f(x)max－f(x)min＝20，
∴t≥20.
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8. (多选)若函数f(x)＝ex－2x＋3，则(　CD　)
A. 函数f(x)只有极大值，没有极小值
B. 函数f(x)只有最大值，没有最小值
C. 函数f(x)只有极小值，没有极大值
D. 函数f(x)只有最小值，没有最大值
【解析】 由题意得f'(x)＝ex－2，令f'(x)＝0，得x＝ln 2，当x∈(－∞，
ln 2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(ln 2，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，∴函数f(x)有唯一极小值，即最小值，没有极大值和最大值.
CD
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9. (多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断，正确的是(　ABD　)
A. f(x)＞0的解集为{x｜0＜x＜2}
B. f(－ )是极小值，f()是极大值
C. f(x)没有最小值，也没有最大值
D. f(x)有最大值，没有最小值
ABD
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【解析】 由f(x)＞0得0＜x＜2，A正确；f'(x)＝(2－x2)ex，
令f'(x)＝0，得x＝± ，当x＜－ ，或x＞ 时，f'(x)＜0，当－
＜x＜ 时，f'(x)＞0，∴当x＝－ 时，
f(x)取得极小值，当x＝ 时，f(x)取得极大值，B正确；
当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，
且f()＞0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，C
错误，D正确.
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10. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2， 2]上有最大值3，那么
此函数在[－2， 2]上的最小值是 .
【解析】 ∵f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，
∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3.
∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值是－37.
－37　
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11. (2025·吉林长春高二阶段检测)已知函数f(x)＝ln x－x＋k在[1，e]
上的最大值是2，则f(k)＝ .
【解析】 ∵f(x)＝ln x－x＋k，∴f'(x)＝ －1＝ ，又x∈[1，e]，
∴f'(x)≤0在[1，e]上恒成立，即f(x)在区间[1，e]上单调递减，
∴f(1)＝ln 1－1＋k＝2，得到k＝3，故f(x)＝ln x－x＋3，
∴f(k)＝f(3)＝ln 3.
ln 3　
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12. 若函数f(x)＝xex的图象都不在直线y＝f(x0)的下方，
则f(x0)＝ .
【解析】 由题意知当x＝x0时，函数f(x)＝xex取得最小值.
∵f(x)＝xex，∴f'(x)＝ex(x＋1)，令f'(x)＞0，得x＞－1，
令f'(x)＜0，得x＜－1，
∴函数f(x)＝xex在区间(－∞，－1)上单调递减，
在区间(－1，＋∞)上单调递增，
∴f(x0)＝f(－1)＝－e－1＝－ .
－ 　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 已知函数f(x)＝ .
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1， f(1))处的切线方程；
解： (1)当a＝0时，f(x)＝ ，则f'(x)＝ ＝ .
当x＝1时，f(1)＝1，f'(1)＝－4，
故y＝f(x)在(1， f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，
整理得y＝－4x＋5.
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和
最小值.
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(2)已知函数f(x)＝ ，则f'(x)＝ ＝ .
若函数f(x)在x＝－1处取得极值，令f'(－1)＝0，则 ＝0，解得a＝4.经检验，当a＝4时，f(x)在x＝－1处取得极大值，符合题意.
此时f(x)＝ ，函数定义域为R，f'(x)＝ ，
令f'(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
f'(x)，f(x)随x的变化趋势如下表所示：
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x (－∞，－1) －1 (－1，4) 4 (4，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，
单调递减区间为(－1， 4).极大值为f(－1)＝1，
极小值为f(4)＝－ .又x＜ 时，f(x)＞0；x＞ 时，f(x)＜0，
∴函数f(x)的最大值是f(－1)＝1，最小值是f(4)＝－ .
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14. 已知f(x)＝ ，证明：f(x)＜1＋e－2.
解： 令g(x)＝1－x－xln x，∴g'(x)＝－1－(ln x＋1)＝－ln x－2，
由g'(x)＞0得0＜x＜e－2；由g'(x)＜0得x＞e－2，
∴函数g(x)的单调递增区间为(0，e－2)，
单调递减区间为(e－2，＋∞)，∴g(x)≤g(x)max＝1＋e－2.
由题设h(x)＝ex－x－1，h'(x)＝ex－1，x＞0，h'(x)＝ex－1＞0，
函数h(x)在(0， ＋∞)上单调递增，∴h(x)＝ex－x－1＞h(0)＝0，
∴ex＞x＋1，
∴ ＞1，∴ ·(e－2＋1)＞e－2＋1≥g(x)，
∴1－x－xln x＜ ·(e－2＋1)，
∴ ＜e－2＋1得证.
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. 已知f(x)＝ex，g(x)＝ ，若存在实数x1，x2满足f(x1)＝g(x2)，则
的最大值是 　 　.　
　
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【解析】 ∵g(x2)＝ ＝ ＝f(2ln x2－x2)＝f(x1)，
且f(x)＝ex在R上单调递增，
∴x1＝2ln x2－x2， ＝ －1.
设h(x)＝ ，则h'(x)＝ (x＞0)，当x∈(0，e)时，h'(x)＞0；
当x∈(e，＋∞)时，h'(x)＜0，∴h(x)在(0，e)上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(e)＝ ，
∴ ＝ .
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16. 已知函数f(x)＝x3－3ln x.
(1)求f(x)的最小值；
解： (1)∵f(x)＝x3－3ln x，x＞0，∴f'(x)＝3x2－ ＝ .
令f'(x)＜0，得0＜x＜1；令f'(x)＞0，得x＞1.
∴f(x)在(0， 1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1－3ln 1＝1.
(2)设g(x)＝x3＋ －3，证明：f(x)≤g(x).
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(2)∵f(x)＝x3－3ln x，g(x)＝x3＋ －3，∴由f(x)≤g(x)，
得x3－3ln x≤x3＋ －3，即ln x＋ －1≥0.设h(x)＝ln x＋ －1，
x＞0，则h'(x)＝ － ＝ .
令h'(x)＜0，得0＜x＜1；令h'(x)＞0，得x＞1.
∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
则h(x)≥h(1)＝ln 1＋1－1＝0，即ln x＋ －1≥0恒成立，
∴f(x)≤g(x).
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165.3 练习4　函数的最大(小)值与导数
1. 设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'(x)(　 　)
A. 等于0 B. 小于0 C. 等于1 D. 不确定
2. 函数f(x)＝x4－4x(｜x｜＜1)(　 　)
A. 有最大值，无最小值
B. 既有最大值，又有最小值
C. 无最大值，有最小值
D. 既无最大值，又无最小值
3. 函数y＝的最大值是(　 　)
A. e－1 B. e C. e2 D.
4. 函数f(x)＝x－sin x，x∈[0， π]的最大值、最小值分别是(　 　)
A. π，0 B. －，0
C. π，－1 D. 0，－1
5. 已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)＜g'(x)，则f(x)－g(x)的最大值是(　 　)
A. f(a)－g(a) B. f(b)－g(b)
C. f(a)－g(b) D. f(b)－g(a)
6. 设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当｜MN｜达到最小值时t的值是(　 　)
A. 1 B. C. D.
7. 已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤t，则实数t的最小值是(　 　)
A. 20 B. 18 C. 3 D. 0
8. (多选)若函数f(x)＝ex－2x＋3，则(　 　)
A. 函数f(x)只有极大值，没有极小值
B. 函数f(x)只有最大值，没有最小值
C. 函数f(x)只有极小值，没有极大值
D. 函数f(x)只有最小值，没有最大值
9. (多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断，正确的是(　 　)
A. f(x)＞0的解集为{x｜0＜x＜2}
B. f(－)是极小值，f()是极大值
C. f(x)没有最小值，也没有最大值
D. f(x)有最大值，没有最小值
10. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2， 2]上有最大值3，那么此函数在[－2， 2]上的最小值是 .
11. (2025·吉林长春高二阶段检测)已知函数f(x)＝ln x－x＋k在[1，e]上的最大值是2，则f(k)＝ .
12. 若函数f(x)＝xex的图象都不在直线y＝f(x0)的下方，则f(x0)＝ .
13. 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1， f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
14. 已知f(x)＝，证明：f(x)＜1＋e－2.
15. 已知f(x)＝ex，g(x)＝，若存在实数x1，x2满足f(x1)＝g(x2)，则的最大值是 .　
16. 已知函数f(x)＝x3－3ln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)设g(x)＝x3＋－3，证明：f(x)≤g(x).

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