资源简介

5.3 练习6　导数与函数的零点与实际应用
1. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　C　)
A. B. C. D. 2
【解析】 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x＞0)，
∴S'＝(x3－4V).令S'＝0，得x＝.
2. (2025·广东江门高二期末)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数y＝f(x)在闭区间[a， b]上连续，在开区间(a， b)内可导，则(a， b)内至少存在一个点x0∈(a， b)，使得f(b)－ f(a)＝f'(x0)(b－a)，其中x＝x0称为函数y＝f(x)在闭区间[a， b]上的“中值点”.函数f(x)＝5x3－3x在区间[－1， 1]上的“中值点”的个数为(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 由拉格朗日中值定理，f(－1)＝－2，f(1)＝2，
f'(x)＝15x2－3，则f(1)－f(－1)＝f'(x0)×2，
∴f'(x0)＝2 ，则15－3＝2，x0＝±，共2个解.
3. 已知函数f(x)＝ln x与g(x)＝，则它们的图象交点个数为(　B　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【解析】 令h(x)＝ln x－，则h'(x)＝－，
∴当0＜x＜e时，h'(x)＞0，当x＞e时，h'(x)＜0，
∴当x＝e时，h(x)取得最大值h(e)＝0，
∴h(x)＝ln x－只有一个零点，即f(x)与g(x)的图象只有1个交点.
4. 函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是(　B　)
A. [－4， 4] B. (－4， 4)
C. (－∞， －4]∪[4， ＋∞) D. (－∞， －4)∪(4， ＋∞)
【解析】 由题意可得f'(x)＝6x2－6，当x＜－1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，
当－1＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，
据此可得函数在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值，结合题意可得解得－4＜m＜4，
∴实数m的取值范围是(－4， 4).
5. 已知函数f(x)＝－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　C　)
A. (0，e) B. (－∞，e)
C. D.
【解析】 若函数f(x)＝－a有两个不同的零点，
则y＝a和g(x)＝的图象有2个交点，由g'(x)＝＞0，
解得0＜x＜e，g'(x)＝＜0，解得x＞e，
故g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
故g(x)max＝g(e)＝，x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0，
故a的取值范围是(0，).
6. 若函数f(x)＝ln x＋－a在区间(1，e)上只有一个零点，则常数a的取值范围是(　C　)
A. (－∞，1] B. (e，＋∞) C. D.
【解析】 令f(x)＝ln x＋－a＝0，则ln x＋＝a，
∵函数f(x)＝ln x＋－a在区间(1，e)上只有一个零点，
则函数g(x)＝ln x＋与函数h(x)＝a的图象只有一个交点，
又g'(x)＝－＝＞0，x∈(1，e)，
g(x)＝ln x＋在(1，e)上单调递增，则g(x)∈(1， 1＋)，
∴1＜a＜＋1.
7. 如图所示，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k＞0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为(　C　)
A. B. C. d D. d
【解析】 设断面高为h，则h2＝d2－x2.
设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，0＜x＜d.
令f '(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝d(舍去负值).
当0＜x＜d时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当d＜x＜d时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.
∴函数f(x)在定义域(0， d)内只有一个极大值点x＝d，
∴x＝d时，f(x)有最大值.
8. (多选)已知函数f(x)＝，则下列结论中，正确的是(　ABC　)
A. 函数f(x)存在两个不同的零点
B. 函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C. 当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D. 若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值是2
【解析】 由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝，
∴A正确；f'(x)＝－＝－，
当f'(x)＞0时，－1＜x＜2；
当f'(x)＜0时，x＜－1，或x＞2，
∴函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数的单调递增区间为(－1，2)，∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，∴B正确；
当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，∴C正确；
由图象可知，t的最大值是2，∴D错误.
9. (多选)通常，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些.高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分(不考虑瓶子的成本的前提下)，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm.下列结论中，正确的是(注：利润可为负数)(　BCD　)
A. 每瓶饮料的利润随着瓶子半径的增大而增大
B. 当半径为6 cm时，每瓶饮料的利润最大
C. 当半径为2 cm时，每瓶饮料的利润最小
D. 当半径为3 cm时，每瓶饮料的利润为0
【解析】 由已知得，每瓶饮料获得的利润为f(r)＝0.2×r3－0.8πr2＝，r∈(0，6]，则f'(r)＝·(r2－2r)＝r(r－2)，∴当r∈(0， 2)时，
f'(r)＜0，函数f(r)单调递减，A错误；当r∈(2，6]时，f'(r)＞0，函数f(r)单调递增，又f(0)＝0，f(6)＝，则当r＝6时，函数f(r)取得最大值，B正确；
当r＝2时，函数f(r)取得最小值，C正确；当r＝3时，f(3)＝×＝0，D正确.
10. 函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为　　1　.　
【解析】 ∵f'(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(1＋x)2ex≥0，
∴f(x)单调递增，又f(0)＝0，∴f(x)有且仅有1个零点.
11. 某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产　6　千台.
【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y'＝
－6x2＋36x＝－6x(x－6).
令y'＝0，解得x＝0，或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.
12. (2025·陕西西安高二检测)已知函数f(x)＝ln x－ax有一个零点，则a的取值范围是　　(－∞， 0]∪{}　.
【解析】 f(x)＝ln x－ax＝0，则a＝，设g(x)＝，
函数有一个零点，转化为y＝a与函数g(x)的图象有一个交点，
g'(x)＝，当0＜x＜e时，g'(x)＞0，g(x)单调递增，
当x＞e时，g'(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)max＝g(e)＝，
且g(1)＝0，当x∈(0，1)，g(x)＜0，当x∈(0，＋∞)，
g(x)＞0，作出g(x)的大致图象如图所示，
由图可知，当a≤0，或a＝时，y＝a与函数g(x)的图象有一个交点.
13. 将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)当x取何值时，水箱的容积最大？
解： (1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(2－2x) m，
长为＝(3－x) m.故水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0＜x＜1).
(2)由(1)得y'＝6x2－16x＋6，令y'＝0，
解得x＝(舍去)，或x＝，
∴y＝2x3－8x2＋6x(0＜x＜1)在(0，)上单调递增，
在(，1)上单调递减，∴当x＝时，水箱的容积最大.
14. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若方程f(x)＝2c有三个实数根，求实数c的取值范围.
解： (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f'(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得解得
验证：此时f'(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x＜－，或x＞1时，f'(x)＞0，当－＜x＜1时，f'(x)＜0，
∴x＝－，x＝1是函数f(x)的极值点，∴a＝－，b＝－2.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，令g(x)＝f(x)－2c＝x3－x2－2x－c，则g'(x)＝(3x＋2)(x－1)，
故g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
∴当x＝－时，g(x)取得极大值g＝－c，当x＝1时，
g(x)取得极小值g(1)＝－－c.
∵方程f(x)＝2c有三个实数根，
∴函数g(x)＝x3－x2－2x－c有三个零点，
又当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
故只需解得－＜c＜，
∴实数c的取值范围是(－，).
15. (2025·四川成都七中开学考试)已知函数f(x)＝4ln x－3[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f(x)的零点个数是(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 f(x)＝4ln x－3[x]＋3＝0，则ln x＝[x]－1，
故函数f(x)的零点问题转化为y＝ln x与y＝[x]－1的交点问题，
且e3＞16，即＞2，如图所示：
由图可得，当0＜x＜5时，y＝ln x与y＝[x]－1有3个交点，即当0＜x＜5时，f(x)有3个零点；当x≥5时，则f(x)＝4ln x－3[x]＋3≤4ln x－3(x－1)＋3＝4ln x－3x＋6，构建g(x)＝4ln x－3x＋6(x≥5)，则g'(x)＝＜0，当x∈[5，＋∞)上恒成立，则g(x)当[5，＋∞)上单调递减，故g(x)≤g(5)＝4ln 5－9＝ln＜0，可得当x≥5时，则f(x)≤g(x)＜0，即当x≥5时，f(x)无零点. 综上，函数f(x)有3个零点.
16. (2025·山西长治高二期末)已知f(x)＝3ln x－k(x－1)，k∈R.
(1)若过点(2，2)作曲线y＝f(x)的切线，切线的斜率为2，求k的值；
(2)当x∈[1，3]时，讨论函数g(x)＝f(x)－cosx的零点个数.
解： (1)由题意可得f'(x)＝－k，设切点坐标为(x0，3ln x0－k(x0－1))，则切线斜率f'(x0)＝－k＝2，
即k＝－2，可得切线方程为y－[3ln x0－k(x0－1)]＝2(x－x0)，将(2，2)，k＝－2代入可得2－［3ln x0－(x0－1)］＝2(2－x0)，整理得ln x0＋－1＝0.
令h(x)＝ln x＋－1，则h'(x)＝－＝，
易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴h(x)min＝h(1)＝0，可得关于x0的方程ln x0＋－1＝0的根为1，即x0＝1，
∴k＝－2＝1.
(2)∵g(x)＝f(x)－cosx＝3ln x－k(x－1)－·cosx，
∴g'(x)＝－k＋sinx，可知y＝在[1，3]内单调递减，
当x∈[1，3]时，x∈，又y＝sin x在内单调递减，可知y＝sinx在[1，3]内单调递减，
∴g'(x)在[1，3]内单调递减，且g'(1)＝4－k，g'(3)＝－k.
①当－k≥0，即k≤0时，g'(x)≥g'(3)≥0在[1，3]内恒成立，
可知g(x)在[1，3]内单调递增，则g(x)≥g(1)＝0，当且仅当
x＝1时，等号成立，∴g(x)在[1，3]内有且仅有1个零点.
②当4－k≤0，即k≥4时，g'(x)≤g'(1)≤0在[1，3]内恒成立，
可知g(x)在[1，3]内单调递减，则g(x)≤g(1)＝0，
当且仅当x＝1时，等号成立，
∴g(x)在[1，3]内有且仅有1个零点.
③当即0＜k＜4时，g'(x)在[1，3]内存在唯一零点m，可知当1≤x＜m时，g'(x)＞0，当m＜x≤3时，g'(x)＜0，
则g(x)在[1，m)内单调递增，在(m，3]内单调递减，且g(1)＝0，可知g(m)＞g(1)＝0，可知g(x)在[1，m)内有且仅有1个零点，
且g(3)＝3ln 3－2k.
(i)当g(3)＝3ln 3－2k≤0，即ln 3≤k＜4时，
g(x)在(m，3]内有且仅有1个零点；
(ii)当g(3)＝3ln 3－2k＞0，即0＜k＜ln 3时，
g(x)在(m，3]内没有零点.
综上，当k∈∪[4，＋∞)时，
g(x)在[1， 3]内有且仅有1个零点；当k∈时，
g(x)在[1，3]内有且仅有2个零点.(共34张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
练习6　导数与函数的零点与实际应用
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底
面边长为(　C　)
A. B. C. D. 2
【解析】 设底面边长为x，则表面积S＝ x2＋ V(x＞0)，
∴S'＝ (x3－4V).令S'＝0，得x＝ .
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. (2025·广东江门高二期末)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数y＝f(x)在闭区间[a， b]上连续，在开区间(a， b)内可导，则(a， b)内至少存在一个点x0∈(a， b)，使得f(b)－ f(a)＝f'(x0)
(b－a)，其中x＝x0称为函数y＝f(x)在闭区间[a， b]上的“中值点”.
函数f(x)＝5x3－3x在区间[－1， 1]上的“中值点”的个数为(　B　)
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 由拉格朗日中值定理，f(－1)＝－2，f(1)＝2，
f'(x)＝15x2－3，则f(1)－f(－1)＝f'(x0)×2，
∴f'(x0)＝2 ，则15 －3＝2，x0＝± ，共2个解.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 已知函数f(x)＝ln x与g(x)＝ ，则它们的图象交点个数为(　B　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【解析】 令h(x)＝ln x－ ，则h'(x)＝ － ，
∴当0＜x＜e时，h'(x)＞0，当x＞e时，h'(x)＜0，
∴当x＝e时，h(x)取得最大值h(e)＝0，
∴h(x)＝ln x－ 只有一个零点，即f(x)与g(x)的图象只有1个交点.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是(　B　)
A. [－4， 4] B. (－4， 4)
C. (－∞， －4]∪[4， ＋∞) D. (－∞， －4)∪(4， ＋∞)
B
【解析】 由题意可得f'(x)＝6x2－6，当x＜－1时，f'(x)＞0，f(x)
单调递增，当－1＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，
f'(x)＞0，f(x)单调递增，据此可得函数在x＝－1处取得极大值，
在x＝1处取得极小值，结合题意可得
解得－4＜m＜4，
∴实数m的取值范围是(－4， 4).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. 已知函数f(x)＝ －a有两个不同的零点，则实数a的取值范围
是(　C　)
A. (0，e) B. (－∞，e) C. D.
【解析】 若函数f(x)＝ －a有两个不同的零点，
则y＝a和g(x)＝ 的图象有2个交点，由g'(x)＝ ＞0，
解得0＜x＜e，g'(x)＝ ＜0，解得x＞e，
故g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
故g(x)max＝g(e)＝ ，x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0，
故a的取值范围是(0， ).
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 若函数f(x)＝ln x＋ －a在区间(1，e)上只有一个零点，则常数a的
取值范围是(　C　)
A. (－∞，1] B. (e，＋∞)
C. D.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 令f(x)＝ln x＋ －a＝0，则ln x＋ ＝a，
∵函数f(x)＝ln x＋ －a在区间(1，e)上只有一个零点，
则函数g(x)＝ln x＋ 与函数h(x)＝a的图象只有一个交点，
又g'(x)＝ － ＝ ＞0，x∈(1，e)，
g(x)＝ln x＋ 在(1，e)上单调递增，则g(x)∈(1， 1＋ )，
∴1＜a＜ ＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图所示，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为
矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强
度系数为k，k＞0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横
梁，断面的宽x应为(　C　)
A. B. C. d D. d
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 设断面高为h，则h2＝d2－x2.
设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，0＜x＜d.
令f '(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝ d(舍去负值).
当0＜x＜ d时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当 d＜x＜d时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.
∴函数f(x)在定义域(0， d)内只有一个极大值点x＝ d，
∴x＝ d时，f(x)有最大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. (多选)已知函数f(x)＝ ，则下列结论中，正确的是(　ABC　)
A. 函数f(x)存在两个不同的零点
B. 函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C. 当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D. 若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝ ，则t的最小值是2
ABC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝ ，
∴A正确；f'(x)＝－ ＝－ ，
当f'(x)＞0时，－1＜x＜2；
当f'(x)＜0时，x＜－1，或x＞2，
∴函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数的单调递增
区间为(－1，2)，∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，
∴B正确；当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，∴C正确；由图象可知，t的最大值是2，∴D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. (多选)通常，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些.高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分(不考虑瓶子的成本的前提下)，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm.下列结论中，正确的是(注：利润可为负数)(　BCD　)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A. 每瓶饮料的利润随着瓶子半径的增大而增大
B. 当半径为6 cm时，每瓶饮料的利润最大
C. 当半径为2 cm时，每瓶饮料的利润最小
D. 当半径为3 cm时，每瓶饮料的利润为0
答案：BCD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 由已知得，每瓶饮料获得的利润为f(r)＝0.2× r3－0.8πr2＝ ，r∈(0，6]，则f'(r)＝ ·(r2－2r)＝ r(r－2)，
∴当r∈(0， 2)时，f'(r)＜0，函数f(r)单调递减，A错误；当r∈(2，6]时，f'(r)＞0，函数f(r)单调递增，又f(0)＝0，f(6)＝ ，则当r＝6时，函数f(r)取得最大值，B正确；当r＝2时，函数f(r)取得最小值，C正确；
当r＝3时，f(3)＝ × ＝0，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为 .　
【解析】 ∵f'(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(1＋x)2ex≥0，
∴f(x)单调递增，又f(0)＝0，∴f(x)有且仅有1个零点.
1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：
y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产 千台.
【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2
(x＞0)，∴y'＝－6x2＋36x＝－6x(x－6).令y'＝0，解得x＝0，或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. (2025·陕西西安高二检测)已知函数f(x)＝ln x－ax有一个零点，则
a的取值范围是 .
【解析】 f(x)＝ln x－ax＝0，则a＝ ，
设g(x)＝ ，函数有一个零点，转化为y＝a
与函数g(x)的图象有一个交点，g'(x)＝ ，
当0＜x＜e时，g'(x)＞0，g(x)单调递增，当x＞e时，g'(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)max＝g(e)＝ ，且g(1)＝0，当x∈(0，1)，g(x)＜0，
当x∈(0，＋∞)，g(x)＞0，作出g(x)的大致图象如图所示，由图可知，
当a≤0，或a＝ 时，y＝a与函数g(x)的图象有一个交点.
(－∞， 0]∪{ }　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
关键能力练
13. 将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全
为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为
盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
解： (1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(2－2x) m，
长为 ＝(3－x) m.故水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x＋6x(0＜x＜1).
(2)当x取何值时，水箱的容积最大？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)由(1)得y'＝6x2－16x＋6，令y'＝0，
解得x＝ (舍去)，或x＝ ，
∴y＝2x3－8x2＋6x(0＜x＜1)在(0， )上单调递增，
在(，1)上单调递减，∴当x＝ 时，水箱的容积最大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1处都取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若方程f(x)＝2c有三个实数根，求实数c的取值范围.
解： (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f'(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得 解得
验证：此时f'(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x＜－ ，或x＞1时，f'(x)＞0，当－ ＜x＜1时，f'(x)＜0，
∴x＝－ ，x＝1是函数f(x)的极值点，∴a＝－ ，b＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)由(1)知，f(x)＝x3－ x2－2x＋c，令g(x)＝f(x)－2c＝x3－ x2－2x－c，则g'(x)＝(3x＋2)(x－1)，
故g(x)在 ，(1，＋∞)上单调递增，
在 上单调递减，
∴当x＝－ 时，g(x)取得极大值g ＝ －c，当x＝1时，
g(x)取得极小值g(1)＝－ －c.
∵方程f(x)＝2c有三个实数根，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴函数g(x)＝x3－ x2－2x－c有三个零点，
又当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
故只需 解得－ ＜c＜ ，
∴实数c的取值范围是(－ ， ).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
拓展突破练
15. (2025·四川成都七中开学考试)已知函数f(x)＝4ln x－3[x]＋3，其中
[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f(x)的
零点个数是(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 f(x)＝4ln x－3[x]＋3＝0，则 ln x＝[x]－1，
故函数f(x)的零点问题转化为y＝ ln x与y＝[x]－1的
交点问题，且e3＞16，即 ＞2，如图所示：
由图可得，当0＜x＜5时，y＝ ln x与y＝[x]－1有3个交点，即当
0＜x＜5时，f(x)有3个零点；当x≥5时，则f(x)＝4ln x－3[x]＋
3≤4ln x－3(x－1)＋3＝4ln x－3x＋6，构建g(x)＝4ln x－3x＋6(x≥5)，
则g'(x)＝ ＜0，当x∈[5，＋∞)上恒成立，则g(x)当[5，＋∞)上单调
递减，故g(x)≤g(5)＝4ln 5－9＝ln ＜0，可得当x≥5时，
则f(x)≤g(x)＜0，即当x≥5时，f(x)无零点. 综上，函数f(x)有3个零点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. (2025·山西长治高二期末)已知f(x)＝3ln x－k(x－1)，k∈R.
(1)若过点(2，2)作曲线y＝f(x)的切线，切线的斜率为2，求k的值；
(2)当x∈[1，3]时，讨论函数g(x)＝f(x)－ cos x的零点个数.
解： (1)由题意可得f'(x)＝ －k，设切点坐标为(x0，3ln x0－k(x0－1))，则切线斜率f'(x0)＝ －k＝2，即k＝ －2，可得切线方程为
y－[3ln x0－k(x0－1)]＝2(x－x0)，将(2，2)，k＝ －2代入可
得2－［3ln x0－ (x0－1)］＝2(2－x0)，整理得ln x0＋ －1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
令h(x)＝ln x＋ －1，则h'(x)＝ － ＝ ，
易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴h(x)min＝h(1)＝0，可得关于x0的方程ln x0＋ －1＝0的根为1，
即x0＝1，∴k＝ －2＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)∵g(x)＝f(x)－ cos x＝3ln x－k(x－1)－ · cos x，
∴g'(x)＝ －k＋ sin x，可知y＝ 在[1，3]内单调递减，
当x∈[1，3]时， x∈ ，又y＝ sin x在 内单调递减，
可知y＝ sin x在[1，3]内单调递减，
∴g'(x)在[1，3]内单调递减，且g'(1)＝4－k，g'(3)＝－k.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
①当－k≥0，即k≤0时，g'(x)≥g'(3)≥0在[1，3]内恒成立，
可知g(x)在[1，3]内单调递增，则g(x)≥g(1)＝0，当且仅当
x＝1时，等号成立，∴g(x)在[1，3]内有且仅有1个零点.
②当4－k≤0，即k≥4时，g'(x)≤g'(1)≤0在[1，3]内恒成立，可知g(x)
在[1，3]内单调递减，则g(x)≤g(1)＝0，当且仅当x＝1时，等号成立，
∴g(x)在[1，3]内有且仅有1个零点.
③当 即0＜k＜4时，g'(x)在[1，3]内存在唯一零点m，
可知当1≤x＜m时，g'(x)＞0，当m＜x≤3时，g'(x)＜0，
则g(x)在[1，m)内单调递增，在(m，3]内单调递减，且g(1)＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
可知g(m)＞g(1)＝0，可知g(x)在[1，m)内有且仅有1个零点，
且g(3)＝3ln 3－2k.
(i)当g(3)＝3ln 3－2k≤0，即 ln 3≤k＜4时，
g(x)在(m，3]内有且仅有1个零点；
(ii)当g(3)＝3ln 3－2k＞0，即0＜k＜ ln 3时，g(x)在(m，3]内没有零点.
综上，当k∈ ∪[4，＋∞)时，
g(x)在[1， 3]内有且仅有1个零点；当k∈ 时，
g(x)在[1，3]内有且仅有2个零点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
165.3 练习6　导数与函数的零点与实际应用
1. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　 　)
A. B. C. D. 2
2. (2025·广东江门高二期末)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数y＝f(x)在闭区间[a， b]上连续，在开区间(a， b)内可导，则(a， b)内至少存在一个点x0∈(a， b)，使得f(b)－ f(a)＝f'(x0)(b－a)，其中x＝x0称为函数y＝f(x)在闭区间[a， b]上的“中值点”.函数f(x)＝5x3－3x在区间[－1， 1]上的“中值点”的个数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知函数f(x)＝ln x与g(x)＝，则它们的图象交点个数为(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
4. 函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是(　 　)
A. [－4， 4] B. (－4， 4)
C. (－∞， －4]∪[4， ＋∞) D. (－∞， －4)∪(4， ＋∞)
5. 已知函数f(x)＝－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (0，e) B. (－∞，e)
C. D.
6. 若函数f(x)＝ln x＋－a在区间(1，e)上只有一个零点，则常数a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，1] B. (e，＋∞) C. D.
7. 如图所示，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k＞0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为(　 　)
A. B. C. d D. d
8. (多选)已知函数f(x)＝，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. 函数f(x)存在两个不同的零点
B. 函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C. 当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D. 若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值是2
9. (多选)通常，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些.高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分(不考虑瓶子的成本的前提下)，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm.下列结论中，正确的是(注：利润可为负数)(　 　)
A. 每瓶饮料的利润随着瓶子半径的增大而增大
B. 当半径为6 cm时，每瓶饮料的利润最大
C. 当半径为2 cm时，每瓶饮料的利润最小
D. 当半径为3 cm时，每瓶饮料的利润为0
10. 函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为 .　
11. 某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产 千台.
12. (2025·陕西西安高二检测)已知函数f(x)＝ln x－ax有一个零点，则a的取值范围是 .
13. 将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)当x取何值时，水箱的容积最大？
14. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若方程f(x)＝2c有三个实数根，求实数c的取值范围.
15. (2025·四川成都七中开学考试)已知函数f(x)＝4ln x－3[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f(x)的零点个数是(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16. (2025·山西长治高二期末)已知f(x)＝3ln x－k(x－1)，k∈R.
(1)若过点(2，2)作曲线y＝f(x)的切线，切线的斜率为2，求k的值；
(2)当x∈[1，3]时，讨论函数g(x)＝f(x)－cosx的零点个数.

展开更多......

收起↑