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提升课
练习1　数列中的构造问题
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则a34等于(　C　)
A. B.
C. D. 100
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【解析】 ∵a1＝1，an＋1＝ ，∴ ＝ ＝3＋ ，
即 － ＝3，∴ 是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴ ＝1＋3 ＝3n－2，则an＝ ，
∴a34＝ ＝ .
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2. 在数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6等于(　C　)
A. 32 B. 62 C. 63 D. 64
【解析】 数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，
∵a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，∴ ＝2，
∴{an＋1}为等比数列，其公比为2，首项为2，
∴an＋1＝2n，即an＝2n－1，故a6＝63.
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3. 已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n，则a4等于(　C　)
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【解析】 方法一　∵an＋1＝2an＋n，
∴an＋1＋n＋2＝2an＋2n＋2＝2(an＋n＋1)，
又a1＋1＋1＝1＋1＋1＝3，即数列{an＋n＋1}是以3为首项，
2为公比的等比数列，即an＋n＋1＝3·2n－1，
即an＝3·2n－1－n－1，故a4＝3×23－4－1＝19.
C
方法二　由an＋1＝2an＋n，a1＝1，故a2＝2a1＋1＝3，
a3＝2a2＋2＝8，a4＝2a3＋3＝19.
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4. (2025·广西阶段练习)若数列{an}与{bn}满足：a1＝a2＝1，
bn＝an＋1－n＋1，bn＋1＝an－n＋3，则数列{an＋bn}的前
50项和为(　C　)
A. 2 500 B. 2 525 C. 2 550 D. 3 000
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【解析】 ∵a2＝1，bn＝an＋1－n＋1，∴b1＝a2－1＋1＝1，
又an＋1＝bn＋n－1，bn＋1＝an－n＋3，则an＋1＋bn＋1＝an＋bn＋2，
∴数列{an＋bn}是首项为a1＋b1＝2，公差为2的等差数列，
∴an＋bn＝2＋(n－1)·2＝2n，则数列{an＋bn}的前50项和
为50×2＋ ×2＝50×(2＋49)＝2 550.
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5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝1，且Sn＋1－2Sn＝2n＋1，
则 等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵Sn＋1－2Sn＝2n＋1，
∴Sn＋1＋2(n＋1)＋3＝2 ，
∴数列{Sn＋2n＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，
∴Sn＋2n＋3＝6×2n－1，即Sn＝3×2n－2n－3，∴ ＝ ＝ .
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6. 已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝ an＋2n－1(n∈N*)，
则{an}中最小的一项是(　B　)
A. a2 B. a3 C. a4 D. a5
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【解析】 由an＋1＝ an＋2n－1 － ＝1，
∴数列 是以 ＝－3为首项，1为公差的等差数列，
即 ＝－3＋(n－1)·1 an＝(2n－3)·(n－4)，
∴a2＝－2，a3＝－3，显然当n≥4，n∈N*时，an≥0，
∴{an}中最小的一项是a3.
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7. 已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＝ Sn＋ ，则S4的值为(　C　)
A. 9 B. 21 C. 45 D. 93
【解析】 由an＝ Sn＋ 得Sn－Sn－1＝ Sn＋ (n≥2)，
整理得Sn＋3＝2 ，由a1＝ S1＋ 得S1＝a1＝3，
故数列{Sn＋3}是以6为首项，2为公比的等比数列，
∴Sn＋3＝6×2n－1，即Sn＝3×2n－3，∴S4＝3×24－3＝45.
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8. (多选)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　ABD　)
A. a2＝7 B. {Sn}是递增数列
C. {an＋3n}是等差数列 D. a10＝220－310
ABD
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【解析】 ∵an＋1＝4an＋3n，则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)，
且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是首项为4，
公比为4的等比数列，∴an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n.
对于A，a2＝42－32＝7，A正确；
对于B，∵an＝4n－3n＞0，∴{Sn}是递增数列，B正确；
对于C，∵数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，
∴{an＋3n}不是等差数列，C错误；
对于D，a10＝410－310 ＝220－310，D正确.
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9. (多选)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an－3anan＋1(n∈N＋)，则下
列说法中，正确的是(　BD　)
A. 为等差数列
B. {an}为递减数列
C. {an}的通项公式为an＝
D. 的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
BD
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【解析】 ∵2an＋1＝an－3anan＋1，∴ ＝ ＋3，
∴ ＋3＝2(＋3)，且 ＋3＝4≠0，∴{ ＋3}是以4为首项，
2为公比的等比数列，即 ＋3＝4×2n－1，可得an＝ ，A，
C错误；∵ ＝2n＋1－3单调递增，∴an＝ ，即{an}为递减数
列，B正确； 的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝
(22＋23＋…＋2n＋1)－3n＝22× －3n＝2n＋2－3n－4，D正确.
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10. 在数列{an}与{bn}中，已知a1＝b1＝2，an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，
an＋1bn＋1＝2anbn，则 ＋ ＝ .
【解析】 由题意知， ＋ ＝ ＝ ＝ ＋ ，
∴{ ＋ }为常数列，即 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝1，
∴ ＋ ＝1.
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11. 已知数列{an}满足：a1＝1，nan＋1－(n＋1)·an＝n(n＋1).若
bn＝ ，则数列{bn}的前n项和Sn＝ 　 　.
【解析】 数列{an}中，由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
得 － ＝1，∴数列 是以 ＝1为首项，
1为公差的等差数列， ＝n，即an＝n2，
∴bn＝ ＝ ＝ － ，
∴Sn＝(1－ )＋(－ )＋(－ )＋(－ )＋…＋(－ )＝1－ ＝ .
　
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12. 已知数列{an}满足an－an＋1＝3anan＋1(n∈N*)，数列{bn}满足
bn＝ ，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则an＝ 　 　.
【解析】 由an－an＋1＝3anan＋1(n∈N*)两边同时除以anan＋1，
得 － ＝3，即bn＋1－bn＝3，∴{bn}是公差为3的等差数列.
∵b1＋b2＋…＋b9＝90，∴ ＝90，即 ＝90，
∴b5＝10，∴b1＝－2，bn＝3n－5，∴an＝ .
　
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13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝(2n＋1)an＋1.
(1)求a1，a2；
解： (1)依题意有4a1＝4S1＝3a1＋1，得a1＝1，
又4(a1＋a2)＝4S2＝5a2＋1，∴a2＝3.
(2)求数列{an}的通项公式.
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(2)∵4Sn＝(2n＋1)an＋1，∴当n≥2时，
4Sn－1＝(2n－1)·an－1＋1，
两式相减得4an＝(2n＋1)an－(2n－1)an－1，
化简得 ＝ (n≥2)，
∴an＝ · ·…· ·a1＝ × ×…× ×1＝2n－1(n≥2)，
又a1＝1满足上式，∴an＝2n－1.
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14. 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝ ，3an＋1＝an＋2.
(1)求{an}的通项公式；
解： (1)已知a1＝ ，3an＋1＝an＋2 3(an＋1－1)＝an－1，
∴{an－1}是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴an－1＝ ×()n－1 an＝ ＋1.
(2)若S2 025＜m，求整数m的最小值.
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(2)由(1)可知，an＝ ＋1，
S2 025＝2 025＋2×(＋ ＋…＋ )＝2 025＋2× ＝2 026－
，∵0＜ ＜1，∴2 025＜2 026－ ＜2 026，由S2 025＜m，
可得m≥2 026， m为整数，∴m的最小值是2 026.
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15. 已知数列{an}满足10nan－9×10n－1an－1＝9n(n≥2)，且a1＝ ，则
{an}的通项公式为an＝ ，{an}中的最大项的值
是 .
　
　
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【解析】 由10nan－9×10n－1an－1＝9n，可得 － ＝1 ，又 ＝2，则 是以2为首项，1为公差的等差数列，则 ＝2＋
n－1＝n＋1，则an＝ ，设an是最大项，则有
即 解得8≤n≤9，又n∈N*，
则n＝8，或n＝9，故an的最大项的值是a8＝a9＝ .
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16. 已知数列{an}，{bn}满足bn＋1＝ ，an＋1＝ ，
且a1＝2，b1＝1.
(1)求a2，b2的值，并证明数列{an－bn}是等比数列；
(2)求数列{an}，{bn}的通项公式.
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解： (1)∵a1＝2，b1＝1，
∴b2＝ ＝ ＝ ，a2＝ ＝ .
∵bn＋1＝ ，∴an＋1＝ ＝ ，
∴an＋1－bn＋1＝ － ＝ (an－bn)，
∴{an－bn}是以a1－b1＝1为首项， 为公比的等比数列.
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(2)由(1)可知an－bn＝ ，∴an＝bn＋ .
∵bn＋1＝ ＝ ，
∴bn＋1－bn＝ × ，
∴当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝1＋
× ＝1＋ × ＝ － × ，
当n＝1时，b1＝1也适合上式，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝ － × ，
数列{an}的通项公式为an＝bn＋ ＝ ＋ × .
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16第四章 提升 练习1　数列中的构造问题
1. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a34等于(　C　)
A. B.
C. D. 100
【解析】 ∵a1＝1，an＋1＝，∴＝＝3＋，
即－＝3，∴是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴＝1＋3＝3n－2，则an＝，
∴a34＝＝.
2. 在数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6等于(　C　)
A. 32 B. 62 C. 63 D. 64
【解析】 数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，
∵a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，∴＝2，
∴{an＋1}为等比数列，其公比为2，首项为2，
∴an＋1＝2n，即an＝2n－1，故a6＝63.
3. 已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n，则a4等于(　C　)
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【解析】 方法一　∵an＋1＝2an＋n，
∴an＋1＋n＋2＝2an＋2n＋2＝2(an＋n＋1)，
又a1＋1＋1＝1＋1＋1＝3，即数列{an＋n＋1}是以3为首项，
2为公比的等比数列，即an＋n＋1＝3·2n－1，
即an＝3·2n－1－n－1，故a4＝3×23－4－1＝19.
方法二　由an＋1＝2an＋n，a1＝1，故a2＝2a1＋1＝3，
a3＝2a2＋2＝8，a4＝2a3＋3＝19.
4. (2025·广西阶段练习)若数列{an}与{bn}满足：a1＝a2＝1，bn＝an＋1－n＋1，bn＋1＝an－n＋3，则数列{an＋bn}的前50项和为(　C　)
A. 2 500 B. 2 525 C. 2 550 D. 3 000
【解析】 ∵a2＝1，bn＝an＋1－n＋1，∴b1＝a2－1＋1＝1，
又an＋1＝bn＋n－1，bn＋1＝an－n＋3，则an＋1＋bn＋1＝an＋bn＋2，
∴数列{an＋bn}是首项为a1＋b1＝2，公差为2的等差数列，
∴an＋bn＝2＋(n－1)·2＝2n，则数列{an＋bn}的前50项和
为50×2＋×2＝50×(2＋49)＝2 550.
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝1，且Sn＋1－2Sn＝2n＋1，则等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵Sn＋1－2Sn＝2n＋1，
∴Sn＋1＋2(n＋1)＋3＝2，
∴数列{Sn＋2n＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，
∴Sn＋2n＋3＝6×2n－1，即Sn＝3×2n－2n－3，∴＝＝.
6. 已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，则{an}中最小的一项是(　B　)
A. a2 B. a3 C. a4 D. a5
【解析】 由an＋1＝an＋2n－1 －＝1，
∴数列是以＝－3为首项，1为公差的等差数列，
即＝－3＋(n－1)·1 an＝(2n－3)·(n－4)，
∴a2＝－2，a3＝－3，显然当n≥4，n∈N*时，an≥0，
∴{an}中最小的一项是a3.
7. 已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＝Sn＋，则S4的值为(　C　)
A. 9 B. 21 C. 45 D. 93
【解析】 由an＝Sn＋得Sn－Sn－1＝Sn＋(n≥2)，
整理得Sn＋3＝2，由a1＝S1＋得S1＝a1＝3，
故数列{Sn＋3}是以6为首项，2为公比的等比数列，
∴Sn＋3＝6×2n－1，即Sn＝3×2n－3，∴S4＝3×24－3＝45.
8. (多选)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　ABD　)
A. a2＝7 B. {Sn}是递增数列
C. {an＋3n}是等差数列 D. a10＝220－310
【解析】 ∵an＋1＝4an＋3n，则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)，
且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是首项为4，
公比为4的等比数列，∴an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n.
对于A，a2＝42－32＝7，A正确；
对于B，∵an＝4n－3n＞0，∴{Sn}是递增数列，B正确；
对于C，∵数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，
∴{an＋3n}不是等差数列，C错误；
对于D，a10＝410－310 ＝220－310，D正确.
9. (多选)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an－3anan＋1(n∈N＋)，则下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 为等差数列
B. {an}为递减数列
C. {an}的通项公式为an＝
D. 的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
【解析】 ∵2an＋1＝an－3anan＋1，∴＝＋3，
∴＋3＝2(＋3)，且＋3＝4≠0，∴{＋3}是以4为首项，
2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n－1，可得an＝，A，
C错误；∵＝2n＋1－3单调递增，∴an＝，即{an}为递减数列，B正确；的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n＝22×－3n＝2n＋2－3n－4，D正确.
10. 在数列{an}与{bn}中，已知a1＝b1＝2，an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，an＋1bn＋1＝2anbn，则＋＝　　1　.
【解析】 由题意知，＋＝＝＝＋，∴{＋}为常数列，即＋＝＋＝＋＝1，
∴＋＝1.
11. 已知数列{an}满足：a1＝1，nan＋1－(n＋1)·an＝n(n＋1).若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝　　.
【解析】 数列{an}中，由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
得－＝1，∴数列是以＝1为首项，
1为公差的等差数列，＝n，即an＝n2，
∴bn＝＝＝－，
∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
12. 已知数列{an}满足an－an＋1＝3anan＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，且b1＋
b2＋…＋b9＝90，则an＝　　.
【解析】 由an－an＋1＝3anan＋1(n∈N*)两边同时除以anan＋1，
得－＝3，即bn＋1－bn＝3，∴{bn}是公差为3的等差数列.
∵b1＋b2＋…＋b9＝90，∴＝90，即＝90，
∴b5＝10，∴b1＝－2，bn＝3n－5，∴an＝.
13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝(2n＋1)an＋1.
(1)求a1，a2；
(2)求数列{an}的通项公式.
解： (1)依题意有4a1＝4S1＝3a1＋1，得a1＝1，
又4(a1＋a2)＝4S2＝5a2＋1，∴a2＝3.
(2)∵4Sn＝(2n＋1)an＋1，∴当n≥2时，
4Sn－1＝(2n－1)·an－1＋1，
两式相减得4an＝(2n＋1)an－(2n－1)an－1，
化简得＝(n≥2)，
∴an＝··…··a1＝××…××1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1满足上式，∴an＝2n－1.
14. 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，3an＋1＝an＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若S2 025＜m，求整数m的最小值.
解： (1)已知a1＝，3an＋1＝an＋2 3(an＋1－1)＝an－1，
∴{an－1}是以为首项，为公比的等比数列，
∴an－1＝×()n－1 an＝＋1.
(2)由(1)可知，an＝＋1，
S2 025＝2 025＋2×(＋＋…＋)＝2 025＋2×＝2 026－，∵0＜＜1，∴2 025＜2 026－＜2 026，由S2 025＜m，可得m≥2 026， m为整数，∴m的最小值是2 026.
15. 已知数列{an}满足10nan－9×10n－1an－1＝9n(n≥2)，且a1＝，则{an}的通项公式为an＝　　，{an}中的最大项的值是　　.
【解析】 由10nan－9×10n－1an－1＝9n，可得－＝1，又＝2，则是以2为首项，1为公差的等差数列，则＝2＋n－1＝n＋1，则an＝，设an是最大项，则有即解得8≤n≤9，又n∈N*，则n＝8，或n＝9，故an的最大项的值是a8＝a9＝.
16. 已知数列{an}，{bn}满足bn＋1＝，an＋1＝，且a1＝2，b1＝1.
(1)求a2，b2的值，并证明数列{an－bn}是等比数列；
(2)求数列{an}，{bn}的通项公式.
解： (1)∵a1＝2，b1＝1，
∴b2＝＝＝，a2＝＝.
∵bn＋1＝，∴an＋1＝＝，
∴an＋1－bn＋1＝－＝(an－bn)，
∴{an－bn}是以a1－b1＝1为首项，为公比的等比数列.
(2)由(1)可知an－bn＝，∴an＝bn＋.
∵bn＋1＝＝，
∴bn＋1－bn＝×，
∴当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝1＋×＝1＋×＝－×，
当n＝1时，b1＝1也适合上式，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝－×，
数列{an}的通项公式为an＝bn＋＝＋×.第四章 提升 练习1　数列中的构造问题
1. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a34等于(　 　)
A. B.
C. D. 100
2. 在数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6等于(　 　)
A. 32 B. 62 C. 63 D. 64
3. 已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n，则a4等于(　 　)
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
4. (2025·广西阶段练习)若数列{an}与{bn}满足：a1＝a2＝1，bn＝an＋1－n＋1，bn＋1＝an－n＋3，则数列{an＋bn}的前50项和为(　 　)
A. 2 500 B. 2 525 C. 2 550 D. 3 000
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝1，且Sn＋1－2Sn＝2n＋1，则等于(　 　)
A. B. C. D.
6. 已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，则{an}中最小的一项是(　 　)
A. a2 B. a3 C. a4 D. a5
7. 已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＝Sn＋，则S4的值为(　 　)
A. 9 B. 21 C. 45 D. 93
8. (多选)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　 　)
A. a2＝7 B. {Sn}是递增数列
C. {an＋3n}是等差数列 D. a10＝220－310
9. (多选)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an－3anan＋1(n∈N＋)，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 为等差数列
B. {an}为递减数列
C. {an}的通项公式为an＝
D. 的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
10. 在数列{an}与{bn}中，已知a1＝b1＝2，an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，an＋1bn＋1＝2anbn，则＋＝ .
11. 已知数列{an}满足：a1＝1，nan＋1－(n＋1)·an＝n(n＋1).若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝ .
12. 已知数列{an}满足an－an＋1＝3anan＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，且b1＋
b2＋…＋b9＝90，则an＝ .
13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝(2n＋1)an＋1.
(1)求a1，a2；
(2)求数列{an}的通项公式.
14. 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，3an＋1＝an＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若S2 025＜m，求整数m的最小值.
15. 已知数列{an}满足10nan－9×10n－1an－1＝9n(n≥2)，且a1＝，则{an}的通项公式为an＝ ，{an}中的最大项的值是 .
16. 已知数列{an}，{bn}满足bn＋1＝，an＋1＝，且a1＝2，b1＝1.
(1)求a2，b2的值，并证明数列{an－bn}是等比数列；
(2)求数列{an}，{bn}的通项公式.

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