资源简介

第五章 强化训练(四)
(时间：45分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1. (2025·山西大同高二期末)函数f(x)＝＋ln x的单调递减区间是(　B　)
A. (－∞，e) B. (0，e) C. (1，e) D. (0，1)
【解析】 由函数f(x)＝＋ln x，可得其定义域为(0，＋∞)，
且f'(x)＝＋＝，令f'(x)＜0，得0＜x＜e，
∴函数f(x)的单调递减区间是(0，e).
2. 若函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　B　)
A. (－∞， 2)∪(2， ＋∞) B. (0， 2)∪(2， ＋∞)
C. (2，＋∞) D. {2}
【解析】 ∵f(x)既有极大值又有极小值，
且f'(x)＝2x－a－2＋＝＝(x＞0)，
∴f'(x)＝0有两个不相等的正实数解，
∴＞0，且≠1，解得a＞0，且a≠2.
3. 若函数f(x)＝ln x－ax在区间(0，＋∞)上的最大值是0，则f(e)为(　A　)
A. 0 B. C. 1 D. e
【解析】 f'(x)＝－a，当a≤0时，
f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值；
当a＞0时，当x∈时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，
∴当a＞0时，f(x)有最大值，最大值是f＝ln－1＝0，
∴a＝，∴f(e)＝0.
4. 已知函数f(x)＝cos x＋ex，且a＝f(2)，b＝f()，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系为(　D　)
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜b＜a D. b＜c＜a
【解析】 由f(x)＝cos x＋ex可得f'(x)＝－sin x＋ex，当x＞0时，f'(x)＝－sin x＋
ex＞－sin x＋1≥0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又－ln 2＝＝＜0，
∴＜ln 2，即＜ln 2＜2，则f＜f(ln 2)＜f(2)，∴b＜c＜a.
5. (2025·河北高三阶段练习)已知f'(x)是f(x)定义在(0，＋∞)上的导函数，同时
f'(x)＜，对任意a＞b＞0，则必有(　D　)
A. af(b)＋a＜bf(a)＋b B. bf(b)－b＜af(a)－a
C. bf(a)－a＜af(b)－b D. af(a)＋b＜bf(b)＋a
【解析】 由于f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f'(x)＜，
故xf'(x)＋f(x)－1＜0，∴[xf(x)－x]'＝xf'(x)＋f(x)－1＜0，
∴y＝xf(x)－x为减函数，由于a＞b＞0，
∴af(a)－a＜bf(b)－b，即af(a)＋b＜bf(b)＋a.
6. (2025·云南高三阶段练习)若ex＋x－ln y－ey＝1，则xy的最小值是(　B　)
A. － B. － C. － D. 0
【解析】 ∵ex＋x－ln y－ey＝1，故ln(ex)＋ex＝ln(ey)＋ey，
而y＝x＋ln x为(0，＋∞)上的增函数，故ex＝ey即ex－1＝y，
故xy＝xex－1，设s(x)＝xex－1，x∈R，则s'(x)＝(x＋1)ex－1，
当x＜－1时，s'(x)＜0，故s(x)在(－∞，－1)上单调递减，
当x＞－1时，s'(x)＞0，故s(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
故s(x)min＝s(－1)＝－e－2.
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)
7. 已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列说法中，正确的是(　ACD　)
A. 函数f(x)在x＝－2处取得极大值
B. 函数f(x)在x＝1处取得极值
C. f(x)在区间(－2，3)上单调递减
D. f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零
【解析】 由图可得，当x＜－2时，f'(x)＞0，当－2＜x＜3时，f'(x)≤0，故函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，
在(－2，3)上单调递减，C正确；
可得函数f(x)在x＝－2处取得极大值，A正确；
∵－2＜x＜1时，f'(x)＜0，且1＜x＜3时，f'(x)＜0，
故f(x)在x＝1处没有取得极值，B错误；又f'(0)＜0，
即f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零，D正确.
8. 已知函数f(x)＝x2ln x，则(　BCD　)
A. f(x)≥0恒成立
B. f(x)在(，＋∞)上单调递增
C. f(x)在x＝处取得极小值－
D. f(x)只有一个零点
【解析】 ∵f(x)＝x2ln x，∴该函数的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)，可得当0＜x＜时，
f'(x)＜0，此时函数f(x)单调递减，时，f'(x)＞0，
此时函数f(x)单调递增，∴f(x)极小值＝f()＝e－1ln ＝－，
B正确，C正确；当0＜x＜1时，ln x＜0，此时f(x)＝x2ln x＜0，A错误；由f(x)＝x2ln x＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，D正确.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9. 若函数f(x)＝在区间， a上的最小值是2e，则a的取值范围是　　.
【解析】 由f(x)＝，得f'(x)＝，
∴函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
且f()＝2e，
∴∈，即a≥，∴a的取值范围是.
10. 已知函数f(x)＝(a－3x)(x－2)2，当x＝2时，f(x)有极小值，则满足条件的一个a的值为　7(答案不唯一，满足a＞6即可)　.
【解析】 由题意得，f'(x)＝－3(x－2)2＋(a－3x)×2(x－2)＝(x－2)(－3x＋6＋2a－6x)＝－(x－2)(9x－2a－6)，令f'(x)＝0，解得x＝2，或x＝，当＞2，即a＞6时，f(x)在(－∞，2)上单调递减，在上单调递增，∴f(x)在x＝2处取极小值，∴a的一个取值可以为7.
11. 已知函数f(x)＝2x－sin 2x，则不等式f(x2)＋f(3x－4)＜0的解集为　(－4， 1)　.
【解析】 由f(x)＝2x－sin 2x得f'(x)＝2－2cos 2x＝2(1－cos 2x)≥0，∴函数f(x)＝2x－sin 2x是R上的增函数，
又由f(－x)＝－2x－sin(－2x)＝－(2x－sin 2x)＝－f(x)得函数f(x)是奇函数，则由f(x2)＋f(3x－4)＜0得f(x2)＜－f(3x－4)＝f(4－3x)，
∴x2＜4－3x x2＋3x－4＜0 (x－1)(x＋4)＜0，解得－4＜x＜1.
12. (2024·北京房山区高二期末)如图所示，将一张16 cm×10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得经过折叠剩余部分能得到一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为　　2　cm时，这个纸盒的容积最大，且最大容积是　144　cm3.
【解析】 设剪下的四个小正方形的边长为x cm，x∈(0，5)，
则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒的底面矩形长为(16－2x) cm，宽为(10－2x) cm，则长方体纸盒的底面积为(16－2x)(10－2x) cm2，而长方体纸盒的高为x cm，于是长方体纸盒的体积V(x)＝x(16－2x)(10－2x)＝4x3－52x2＋160x，0＜x＜5，求导得V'(x)＝12(x－2)，当x∈(0，2)时，V'(x)＞0，函数V(x)单调递增，当x∈(2，5)时，V'(x)＜0，函数V(x)单调递减，
∴当x＝2时，V(x)max＝144.
四、解答题(本大题共3小题，共38分)
13. (10分)已知函数f(x)＝2x＋1－4ln x.
(1)证明：f(x)≥－2x＋5；
(2)求f(x)在[1， 3]上的最大值与最小值.
解： (1)要证f(x)≥－2x＋5，即证2x＋1－4ln x≥－2x＋5，
即证x－1－ln x≥0，
令g(x)＝ x－1－ln x，则g'(x)＝，
当x∈(0， 1)时，g'(x)＜0；当x∈(1， ＋∞)时，g'(x)＞0，
∴g(x)在(0， 1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0，从而f(x)≥－2x＋5.
(2)∵f(x)＝ 2x＋1－4ln x，x∈[1， 3]，∴f'(x)＝2－＝，x∈[1， 3]，
令f'(x)＞0，则2＜x≤3；令f'(x)≤0，则1≤x＜2，
∴f(x)在[1， 2)上单调递减，在(2， 3]上单调递增，∴f(x)min＝f(2)＝5－4ln 2，
又f(1)＝3，f(3)＝7－4ln 3，f(1)－f(3)＝4(ln 3－1)＞0，∴f(x)max＝3，
∴f(x)在[1， 3]上的最大值与最小值分别是3与5－4ln 2.
14. (13分)已知函数f(x)＝ex＋2f'(0)x－cos x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在R上的零点个数.
解： (1)f'(x)＝ex＋2f'(0)＋sin x.令x＝0，
可得f'(0)＝e0＋2f'(0)＋sin 0＝1＋2f'(0)，解得f'(0)＝－1，
∴f(x)＝ex－2x－cos x.
(2)由(1)得f(x)＝ex－2x－cos x，f'(x)＝ex＋sin x－2.
①当x≤0时，有ex≤1，sin x≤1，
∴f'(x)＝ex＋sin x－2≤0恒成立，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，则f(x)≥f(0)＝0，
可得0是f(x)的一个零点.
②当x＞0时，设g(x)＝ex＋sin x－2，则g'(x)＝ex＋cos x＞1＋cos x≥0恒成立，即f'(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又f'(0)＝－1＜0，f'(1)＝e＋sin 1－2＞0，∴根据函数零点存在定理可知，存在x1∈(0，1)，使得f'(x1)＝0.
当0＜x＜x1时，f'(x)＜0，∴f(x)在(0，x1)上单调递减；当x＞x1时，f'(x)＞0，∴f(x)在(x1，＋∞)上单调递增.
又f(0)＝0，∴f(x1)＜0，又f(2)＝e2－4－cos 2＞e2－4＞0，∴根据函数零点存在定理可知，存在x2∈(x1，2)，使得f(x2)＝0.综上，f(x)在R上的零点个数为2.
15. (15分) (2025·山东临沂高二期末)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数).
(1)若不等式f(x)＞恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若不等式f(x)＜ax＋－aln 2在x∈(ln 2，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围.
解： (1)f(x)＝＝1－，
由复合函数的单调性原理得f(x)在R上单调递增，
由f(x)＞得＞，即f(x)＞f(1)，
∴x＞1，∴x∈(1，＋∞).
(2)－ax＋aln 2－＜0对 x∈(ln 2，＋∞)恒成立，
令g(x)＝－ax＋aln 2－，g'(x)＝－a，
g″(x)＝＜0，∴g'(x)在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g'(x)＜g'(ln 2)＝－a，
若－a≤0，即a≥时，g'(x)＜0在x∈(ln 2，＋∞)上恒成立，
则g(x)在(ln 2，＋∞)上单调递减，g(x)＜g(ln 2)＝0符合题意；
若－a＞0，即a＜时，
(i)若a≤0，则g'(x)＞0，g(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，
g(x)＞g(ln 2)＝0这与题设矛盾，舍去.
(ii)若0＜a＜，则存在x0使g'(x0)＝0，且当x∈(ln 2，x0)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增，此时g(x)＞g(ln 2)＝0这与题设也矛盾，舍去.
综上，实数a的取值范围是.(共27张PPT)
强化训练(四)
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1. (2025·山西大同高二期末)函数f(x)＝ ＋ln x的单调递减区间是(　B　)
A. (－∞，e) B. (0，e)
C. (1，e) D. (0，1)
【解析】 由函数f(x)＝ ＋ln x，可得其定义域为(0，＋∞)，
且f'(x)＝ ＋ ＝ ，令f'(x)＜0，得0＜x＜e，
∴函数f(x)的单调递减区间是(0，e).
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 若函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x既有极大值又有极小值，则实数a
的取值范围是(　B　)
A. (－∞， 2)∪(2， ＋∞) B. (0， 2)∪(2， ＋∞)
C. (2，＋∞) D. {2}
【解析】 ∵f(x)既有极大值又有极小值，
且f'(x)＝2x－a－2＋ ＝ ＝ (x＞0)，
∴f'(x)＝0有两个不相等的正实数解，
∴ ＞0，且 ≠1，解得a＞0，且a≠2.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 若函数f(x)＝ln x－ax在区间(0，＋∞)上的最大值是0，则f(e)
为(　A　)
A. 0 B. C. 1 D. e
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解析】 f'(x)＝ －a，当a≤0时，f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递
增，无最大值；当a＞0时，当x∈ 时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈ 时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，
∴当a＞0时，f(x)有最大值，最大值是f ＝ln －1＝0，
∴a＝ ，∴f(e)＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知函数f(x)＝ cos x＋ex，且a＝f(2)，b＝f()，c＝f(ln 2)，则
a，b，c的大小关系为(　D　)
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜b＜a D. b＜c＜a
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解析】 由f(x)＝ cos x＋ex可得f'(x)＝－ sin x＋ex，当x＞0时，
f'(x)＝－ sin x＋ex＞－ sin x＋1≥0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又 －ln 2＝ ＝ ＜0，
∴ ＜ln 2，即 ＜ln 2＜2，则f ＜f(ln 2)＜f(2)，∴b＜c＜a.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. (2025·河北高三阶段练习)已知f'(x)是f(x)定义在(0，＋∞)上的导函
数，同时f'(x)＜ ，对任意a＞b＞0，则必有(　D　)
A. af(b)＋a＜bf(a)＋b B. bf(b)－b＜af(a)－a
C. bf(a)－a＜af(b)－b D. af(a)＋b＜bf(b)＋a
【解析】 由于f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f'(x)＜ ，
故xf'(x)＋f(x)－1＜0，∴[xf(x)－x]'＝xf'(x)＋f(x)－1＜0，
∴y＝xf(x)－x为减函数，由于a＞b＞0，
∴af(a)－a＜bf(b)－b，即af(a)＋b＜bf(b)＋a.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. (2025·云南高三阶段练习)若ex＋x－ln y－ey＝1，则xy的最小值
是(　B　)
A. － B. － C. － D. 0
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解析】 ∵ex＋x－ln y－ey＝1，故ln(ex)＋ex＝ln(ey)＋ey，
而y＝x＋ln x为(0，＋∞)上的增函数，故ex＝ey即ex－1＝y，
故xy＝xex－1，设s(x)＝xex－1，x∈R，则s'(x)＝(x＋1)ex－1，
当x＜－1时，s'(x)＜0，故s(x)在(－∞，－1)上单调递减，
当x＞－1时，s'(x)＞0，故s(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
故s(x)min＝s(－1)＝－e－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)
7. 已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列说法中，正确的
是(　ACD　)
A. 函数f(x)在x＝－2处取得极大值
B. 函数f(x)在x＝1处取得极值
C. f(x)在区间(－2，3)上单调递减
D. f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零
ACD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解析】 由图可得，当x＜－2时，f'(x)＞0，当－2＜x＜3时，
f'(x)≤0，故函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，
在(－2，3)上单调递减，C正确；
可得函数f(x)在x＝－2处取得极大值，A正确；
∵－2＜x＜1时，f'(x)＜0，且1＜x＜3时，f'(x)＜0，
故f(x)在x＝1处没有取得极值，B错误；又f'(0)＜0，
即f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知函数f(x)＝x2ln x，则(　BCD　)
A. f(x)≥0恒成立
B. f(x)在(，＋∞)上单调递增
C. f(x)在x＝ 处取得极小值－
D. f(x)只有一个零点
BCD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解析】 ∵f(x)＝x2ln x，∴该函数的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2xln x＋x2· ＝x(2ln x＋1)，可得当0＜x＜ 时，
f'(x)＜0，此时函数f(x)单调递减， 时，f'(x)＞0，
此时函数f(x)单调递增，∴f(x)极小值＝f()＝e－1ln ＝－ ，
B正确，C正确；当0＜x＜1时，ln x＜0，此时f(x)＝x2ln x＜0，
A错误；由f(x)＝x2ln x＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9. 若函数f(x)＝ 在区间[ ， a ] 上的最小值是2e，则a的取值范围
是 .
　
【解析】 由f(x)＝ ，得f'(x)＝ ，
∴函数f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，且f()＝2e，
∴ ∈ ，即a≥ ，∴a的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知函数f(x)＝(a－3x)(x－2)2，当x＝2时，f(x)有极小值，则满足
条件的一个a的值为 .
【解析】 由题意得，f'(x)＝－3(x－2)2＋(a－3x)×2(x－2)＝(x－2)
(－3x＋6＋2a－6x)＝－(x－2)(9x－2a－6)，令f'(x)＝0，解得x＝2，
或x＝ ，当 ＞2，即a＞6时，f(x)在(－∞，2)上单调递减，
在 上单调递增，∴f(x)在x＝2处取极小值，
∴a的一个取值可以为7.
7(答案不唯一，满足a＞6即可)　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知函数f(x)＝2x－ sin 2x，则不等式f(x2)＋f(3x－4)＜0的解集
为 .
【解析】 由f(x)＝2x－ sin 2x得f'(x)＝2－2 cos 2x＝2(1－ cos
2x)≥0，∴函数f(x)＝2x－ sin 2x是R上的增函数，
又由f(－x)＝－2x－ sin (－2x)＝－(2x－ sin 2x)＝－f(x)得函数f(x)
是奇函数，则由f(x2)＋f(3x－4)＜0得f(x2)＜－f(3x－4)＝f(4－3x)，
∴x2＜4－3x x2＋3x－4＜0 (x－1)(x＋4)＜0，解得－4＜x＜1.
(－4， 1)　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. (2024·北京房山区高二期末)如图所示，将一张16 cm×10 cm的长方
形纸片剪下四个全等的小正方形，使得经过折叠剩余部分能得到一个无
盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为 cm时，这个纸盒的容积
最大，且最大容积是 cm3.
2　
144　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解析】 设剪下的四个小正方形的边长为x cm，x∈(0，5)，
则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒的底面矩形长为(16－2x) cm，
宽为(10－2x) cm，则长方体纸盒的底面积为(16－2x)(10－2x) cm2，
而长方体纸盒的高为x cm，于是长方体纸盒的体积V(x)＝x(16－2x)
(10－2x)＝4x3－52x2＋160x，0＜x＜5，求导得V'(x)＝12(x－2) ，
当x∈(0，2)时，V'(x)＞0，函数V(x)单调递增，当x∈(2，5)时，
V'(x)＜0，函数V(x)单调递减，
∴当x＝2时，V(x)max＝144.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
四、解答题(本大题共3小题，共38分)
13. (10分)已知函数f(x)＝2x＋1－4ln x.
(1)证明：f(x)≥－2x＋5；
解： (1)要证f(x)≥－2x＋5，即证2x＋1－4ln x≥－2x＋5，
即证x－1－ln x≥0，
令g(x)＝ x－1－ln x，则g'(x)＝ ，
当x∈(0， 1)时，g'(x)＜0；当x∈(1， ＋∞)时，g'(x)＞0，
∴g(x)在(0， 1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(1)＝0，从而f(x)≥－2x＋5.
(2)求f(x)在[1， 3]上的最大值与最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)∵f(x)＝ 2x＋1－4ln x，x∈[1， 3]，∴f'(x)＝2－ ＝ ，
x∈[1， 3]，令f'(x)＞0，则2＜x≤3；令f'(x)≤0，则1≤x＜2，
∴f(x)在[1， 2)上单调递减，在(2， 3]上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝5－4ln 2，
又f(1)＝3，f(3)＝7－4ln 3，f(1)－f(3)＝4(ln 3－1)＞0，
∴f(x)max＝3，
∴f(x)在[1， 3]上的最大值与最小值分别是3与5－4ln 2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. (13分)已知函数f(x)＝ex＋2f'(0)x－ cos x.
(1)求f(x)的解析式；
解： (1)f'(x)＝ex＋2f'(0)＋ sin x.令x＝0，
可得f'(0)＝e0＋2f'(0)＋ sin 0＝1＋2f'(0)，解得f'(0)＝－1，
∴f(x)＝ex－2x－ cos x.
(2)求f(x)在R上的零点个数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)由(1)得f(x)＝ex－2x－ cos x，f'(x)＝ex＋ sin x－2.
①当x≤0时，有ex≤1， sin x≤1，
∴f'(x)＝ex＋ sin x－2≤0恒成立，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，则f(x)≥f(0)＝0，
可得0是f(x)的一个零点.
②当x＞0时，设g(x)＝ex＋ sin x－2，则g'(x)＝ex＋ cos x＞1＋ cos
x≥0恒成立，即f'(x)在(0，＋∞)上单调递增.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
又f'(0)＝－1＜0，f'(1)＝e＋ sin 1－2＞0，
∴根据函数零点存在定理可知，存在x1∈(0，1)，使得f'(x1)＝0.
当0＜x＜x1时，f'(x)＜0，∴f(x)在(0，x1)上单调递减；
当x＞x1时，f'(x)＞0，∴f(x)在(x1，＋∞)上单调递增.
又f(0)＝0，∴f(x1)＜0，又f(2)＝e2－4－ cos 2＞e2－4＞0，
∴根据函数零点存在定理可知，存在x2∈(x1，2)，使得f(x2)＝0.
综上，f(x)在R上的零点个数为2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. (15分) (2025·山东临沂高二期末)已知函数f(x)＝ (e为自然对数
的底数).
(1)若不等式f(x)＞ 恒成立，求实数x的取值范围；
解： (1)f(x)＝ ＝1－ ，
由复合函数的单调性原理得f(x)在R上单调递增，
由f(x)＞ 得 ＞ ，即f(x)＞f(1)，
∴x＞1，∴x∈(1，＋∞).
(2)若不等式f(x)＜ax＋ －aln 2在x∈(ln 2，＋∞)上恒成立，求实数a
的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2) －ax＋aln 2－ ＜0对 x∈(ln 2，＋∞)恒成立
令g(x)＝ －ax＋aln 2－ ，g'(x)＝ －a，
g″(x)＝ ＜0，∴g'(x)在(ln 2，＋∞)上单调递减，
∴g'(x)＜g'(ln 2)＝ －a，若 －a≤0，即a≥时，
g'(x)＜0在x∈(ln 2，＋∞)上恒成立，
则g(x)在(ln 2，＋∞)上单调递减，g(x)＜g(ln 2)＝0符合题意；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
若－a＞0，即a＜时，
(i)若a≤0，则g'(x)＞0，g(x)在(ln 2，＋∞)
上单调递增，g(x)＞g(ln 2)＝0这与题设矛盾，舍去.
(ii)若0＜a＜ ，则存在x0使g'(x0)＝0，且当x∈(ln 2，x0)时，
g'(x)＞0，g(x)单调递增，此时g(x)＞g(ln 2)＝0这与题设也矛盾，舍去.
综上，实数a的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15第五章 强化训练(四)
(时间：45分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1. (2025·山西大同高二期末)函数f(x)＝＋ln x的单调递减区间是(　 　)
A. (－∞，e) B. (0，e) C. (1，e) D. (0，1)
2. 若函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (－∞， 2)∪(2， ＋∞) B. (0， 2)∪(2， ＋∞)
C. (2，＋∞) D. {2}
3. 若函数f(x)＝ln x－ax在区间(0，＋∞)上的最大值是0，则f(e)为(　 　)
A. 0 B. C. 1 D. e
4. 已知函数f(x)＝cos x＋ex，且a＝f(2)，b＝f()，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系为(　 　)
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜b＜a D. b＜c＜a
5. (2025·河北高三阶段练习)已知f'(x)是f(x)定义在(0，＋∞)上的导函数，同时
f'(x)＜，对任意a＞b＞0，则必有(　 　)
A. af(b)＋a＜bf(a)＋b B. bf(b)－b＜af(a)－a
C. bf(a)－a＜af(b)－b D. af(a)＋b＜bf(b)＋a
6. (2025·云南高三阶段练习)若ex＋x－ln y－ey＝1，则xy的最小值是(　 　)
A. － B. － C. － D. 0
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)
7. 已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 函数f(x)在x＝－2处取得极大值
B. 函数f(x)在x＝1处取得极值
C. f(x)在区间(－2，3)上单调递减
D. f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零
8. 已知函数f(x)＝x2ln x，则(　 　)
A. f(x)≥0恒成立
B. f(x)在(，＋∞)上单调递增
C. f(x)在x＝处取得极小值－
D. f(x)只有一个零点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9. 若函数f(x)＝在区间， a上的最小值是2e，则a的取值范围是 .
10. 已知函数f(x)＝(a－3x)(x－2)2，当x＝2时，f(x)有极小值，则满足条件的一个a的值为 .
11. 已知函数f(x)＝2x－sin 2x，则不等式f(x2)＋f(3x－4)＜0的解集为 .
12. (2024·北京房山区高二期末)如图所示，将一张16 cm×10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得经过折叠剩余部分能得到一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为 cm时，这个纸盒的容积最大，且最大容积是 cm3.
四、解答题(本大题共3小题，共38分)
13. (10分)已知函数f(x)＝2x＋1－4ln x.
(1)证明：f(x)≥－2x＋5；
(2)求f(x)在[1， 3]上的最大值与最小值.
14. (13分)已知函数f(x)＝ex＋2f'(0)x－cos x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在R上的零点个数.
15. (15分) (2025·山东临沂高二期末)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数).
(1)若不等式f(x)＞恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若不等式f(x)＜ax＋－aln 2在x∈(ln 2，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

展开更多......

收起↑