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提升课
练习1　导数中的函数构造问题
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. (2025·广东广州高二期末)函数的定义域为R，f(2)＝－1，对任意
x∈R，f'(x)＜－1，则f(x)＞1－x的解集为(　A　)
A. (－∞， 2) B. (2， ＋∞)
C. (－1，1) D. (1， ＋∞)
A
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【解析】 令g(x)＝f(x)＋x，∵对任意x∈R，f'(x)＜－1，
∴g'(x)＝f'(x)＋1＜0，即g(x)在R上单调递减， 又f(2)＝－1，
∴g(2)＝f(2)＋2＝1， 由f(x)＞1－x，
可得f(x)＋x＞1，即g(x)＞g(2)，
∴x＜2，即不等式f(x)＞1－x的解集为x∈(－∞，2).
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2. 已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足
xf'(x)＋f(x)≤0，对任意的0＜a＜b，则必有(　A　)
A. af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b)
C. af(a)≤f(b) D. bf(b)≤f(a)
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【解析】 ∵xf'(x)≤－f(x)，f(x)≥0，
∴[ ] '＝ ≤ ≤0，
则函数 在(0，＋∞)上单调递减.由于0＜a＜b，
则 ≥ ，即af(b)≤bf(a).
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3. (2025·重庆沙坪坝期末)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，
若f(x)＋f'(x)＞0，f(1)＝1，则不等式f(x)＞e1－x的解集为(　B　)
A. (0，＋∞) B. (1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (0， 1)
【解析】 构造函数g(x)＝f(x)·ex，
则g'(x)＝[f'(x)＋f(x)]·ex＞0，故g(x)在R上单调递增，
g(1)＝e，f(x)＞e1－x可化为g(x)＞e＝g(1)，
故原不等式的解集为(1，＋∞).
B
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4. 已知函数f(x)＝xln x＋x(x－a)2(a∈R).若存在x∈(，2)，使得
f(x)＞xf'(x)成立，则实数a的取值范围是(　C　)
A. (，＋∞) B. (，＋∞)
C. (，＋∞) D. (3，＋∞)
C
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【解析】 由f(x)＞xf'(x)成立，可得[ ]'＝ ＜0.
设g(x)＝ ＝ln x＋(x－a)2，则存在x∈(，2)，
使得g'(x)＝ ＋2(x－a)＜0成立，即a＞ .
又x＋ ≥2 ＝ ，当且仅当x＝ ，即x＝ 时取等号，
∴a＞ .
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5. 设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)＞0，
f(0)＝1，则不等式f(x)＞ 的解集为(　A　)
A. (0，＋∞) B. (1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (0，1)
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【解析】 令g(x)＝e3xf(x)，则g'(x)＝3e3xf(x)＋e3xf'(x)，
∵3f(x)＋f'(x)＞0，∴3e3xf(x)＋e3xf'(x)＞0，
∴g'(x)＞0，∴函数g(x)＝e3xf(x)在R上是增函数，
又f(x)＞e－3x可化为e3xf(x)＞1，且g(0)＝e3×0f(0)＝1，
∴g(x)＞g(0)，解得x＞0，
∴不等式f(x)＞e－3x的解集为(0，＋∞).
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6. 函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x都有2f(x)＞xf'(x)成立，
则(　A　)
A. 9f(2)＞4f(3) B. 9f(2)＜4f(3)
C. 9f(2)＝4f(3) D. 9f(2)与4f(3)的大小不确定
A
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【解析】 由2f(x)＞xf'(x)，得xf'(x)－2f(x)＜0，设g(x)＝ ，
则g'(x)＝ ＝ ，∵x是正数，∴x3＞0，
又xf'(x)－2f(x)＜0，∴g'(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴g(2)＞g(3)，即 ＞ ，即9f(2)＞4f(3).
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7. (2025·黑龙江齐齐哈尔期末)已知函数f(x)的定义域为(0， π)，其导函
数是f'(x).若对任意的x∈(0， π)有f'(x) sin x－f(x) cos x＜0，则关于x
的不等式f(x)＞2f() sin x的解集为(　B　)
A. (0， ) B. (0， )
C. (，π) D. (，π)
B
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【解析】 令函数g(x)＝ ，x∈(0，π)，
求导得g'(x)＝ ＜0，
∴函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)＞2f() sin x ＞ ，即g(x)＞g()，解得0＜x＜ ，∴原不等式的解集为(0， ).
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8. (多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f'(x)＞f(x)，则
下列不等式中，一定成立的是(　BD　)
A. 3f(4)＜4f(3) B. 4f(4)＞5f(3)
C. 3f(3)＜4f(2) D. 3f(3)＞4f(2)
BD
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【解析】 由(x＋1)f'(x)＞f(x)，得(x＋1)f'(x)－f(x)＞0，
令g(x)＝ ，则g'(x)＝ ＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(2)＜g(3)＜g(4)，
则 ＜ ＜ ，即4f(2)＜3f(3)，5f(3)＜4f(4).
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9. (多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＜f(x)对任意的x∈R恒
成立，则(　AB　)
A. f(ln 2)＜2f(0) B. f(2)＜e2f(0)
C. f(ln 2)＞2f(0) D. f(2)＞e2f(0)
【解析】 令g(x)＝ ，则g'(x)＝ ＜0，
∴g(x)在R上单调递减，又ln 2＞0，2＞0，
∴g(ln 2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即 ＜ ， ＜ ，
∴f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0).
AB
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10. 设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x) cos x－
f(x) sin x＞0，若a＝ f()，b＝0，c＝－ f()，则a，b，c的大小
关系是 .
a＜b＜c　
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【解析】 设函数g(x)＝f(x) cos x，则g'(x)＝f'(x) cos x－f(x) sin x，
∵f'(x) cos x－f(x) sin x＞0，
∴g'(x)＞0，∴g(x)在(0，π)上单调递增，
a＝ f()＝f() cos ()＝g()，b＝0＝f() cos ()＝g()，
c＝－ f()＝() cos f ()＝g()，∴a＜b＜c.
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11. 若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)＋2f(x)＞0，且f(0)＝1，则不等
式f(x)＞ 的解集为 .
【解析】 构造F(x)＝f(x)·e2x，
∴F'(x)＝f'(x)·e2x＋f(x)·2e2x＝e2x[f'(x)＋2f(x)]＞0，
∴F(x)在R上单调递增，且F(0)＝f(0)·e0＝1，
∵不等式f(x)＞ 可化为f(x)e2x＞1，即F(x)＞F(0)，
∴x＞0，∴原不等式的解集为(0，＋∞).
(0，＋∞)　
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12. 已知f(x)是定义在(0， )上的函数，其导函数为f'(x)，f()＝2 ，
且当x∈(0， )时，f'(x) sin x＋f(x) cos x＞0，则不等式f(x) sin x＜3的
解集为 .
{x｜0＜x＜ }　
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【解析】 ∵当x∈(0， )时，f'(x) sin x＋f(x) cos x＞0，
∴[f(x) sin x]'＞0，x∈(0， )，令g(x)＝f(x) sin x，则当x∈(0， )
时，g'(x)＞0，g(x)在(0， )上单调递增，∵f()＝2 ，
∴g()＝f()· sin ＝3，不等式f(x) sin x＜3，即g(x)＜g()，
∵g(x)在(0， )上单调递增，∴原不等式的解集为{x｜0＜x＜ }.
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13. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)＞ f(x)且
y＝f(x＋1)是偶函数，f(0)＝2e2，求不等式f(x)＜2ex的解集.
解： 设g(x)＝ ，∵f'(x)＞ f(x)，
∴g'(x)＝ ＞0，∴g(x)在R上单调递增.
∵y＝f(x＋1)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝2e2，
∵f(x)＜2ex等价于 ＜2，∴g(x)＜g(2)，
∵g(x)在R上单调递增，∴x＜2.
故不等式f(x)＜2ex的解集为(－∞， 2).
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14. 已知函数f(x)＝(x2＋ax)ln x，a∈R.
(1)若f(x)的图象在x＝1处的切线经过点(0， －2)，求a的值；
解： (1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞).
又f'(x)＝(2x＋a)lnx＋x＋a，则f'(1)＝1＋a.
又f(1)＝0，∴切点为(1， 0)，∴ ＝1＋a，解得a＝1.
(2)当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，求a的取值范围.
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(2)当1＜x＜e2时，0＜ln x＜2.
当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，即不等式a＜ －x，
x∈(1，e2)恒成立.设g(x)＝ －x，x ∈(1，e2)，
则g'(x)＝ －1＝－ .
∵(ln x)2－ln x＋1＝ ＋ ＞0，∴g'(x)＜0.
∴g(x)在(1，e2)上单调递减，从而g(x)＞g(e2)＝－ .
要使原不等式恒成立，即a＜g(x)恒成立，故a≤－ ，
即a的取值范围是 .
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拓展突破练
15. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x＞0时，有
＞0，则不等式x2f(x)＞0的解集为 .
(－1，0)∪(1，＋∞)　
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【解析】 令g(x)＝ (x≠0)，则g'(x)＝ .
∵当x＞0时， ＞0，即g'(x)＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(1)＝0，
∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g(x)＞0的解集为(1，＋∞)，
g(x)＜0的解集为(0，1).
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴在(－∞，0)上，g(x)＞0的解集为(－∞，－1)，g(x)＜0的解集
为(－1，0).由x2f(x)＞0，得f(x)＞0(x≠0).又f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞).
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16. 已知函数f(x)＝ x2－2aln x＋(a－2)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值.
(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有
＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说
明理由.
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解： (1)当a＝1时，f(x)＝ x2－2ln x－x.
则f'(x)＝x－ －1＝ ＝ ，x∈[1，e]，
∴当x∈[1，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，e]时，f'(x)＞0，
∴f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，e]上单调递增，
∴当x＝2时，f(x)取得最小值，其最小值是f(2)＝－2ln 2.
又f(1)＝－ ，f(e)＝ －e－2，
f(e)－f(1)＝ －e－2＋ ＝ ＜0，
∴f(e)＜f(1)，∴f(x)max＝f(1)＝－ .
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(2)假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
都有 ＞a恒成立，不妨设0＜x1＜x2，
∵ ＞a，∴f(x2)－ax2＞f(x1)－ax1.
令g(x)＝f(x)－ax，则由此可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(x)＝ x2－2aln x＋(a－2)x－ax＝ x2－2aln x－2x，
则g'(x)＝x－ －2＝ ，
由此可得g'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即Δ≤0，－1－2a≥0，
解得a≤－ .即a的取值范围是(－∞，－ ].
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16第五章 提升 练习1　导数中的函数构造问题
1. (2025·广东广州高二期末)函数的定义域为R，f(2)＝－1，对任意x∈R，f'(x)＜－1，则f(x)＞1－x的解集为(　 　)
A. (－∞， 2) B. (2， ＋∞)
C. (－1，1) D. (1， ＋∞)
2. 已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf'(x)＋f(x)≤0，对任意的0＜a＜b，则必有(　 　)
A. af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b)
C. af(a)≤f(b) D. bf(b)≤f(a)
3. (2025·重庆沙坪坝期末)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若f(x)＋
f'(x)＞0，f(1)＝1，则不等式f(x)＞e1－x的解集为(　 　)
A. (0，＋∞) B. (1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (0， 1)
4. 已知函数f(x)＝xln x＋x(x－a)2(a∈R).若存在x∈(，2)，使得f(x)＞xf'(x)成立，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (，＋∞) B. (，＋∞) C. (，＋∞) D. (3，＋∞)
5. 设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞的解集为(　 　)
A. (0，＋∞) B. (1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (0，1)
6. 函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x都有2f(x)＞xf'(x)成立，则(　 　)
A. 9f(2)＞4f(3) B. 9f(2)＜4f(3)
C. 9f(2)＝4f(3) D. 9f(2)与4f(3)的大小不确定
7. (2025·黑龙江齐齐哈尔期末)已知函数f(x)的定义域为(0， π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0， π)有f'(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＞2f()sin x的解集为(　 　)
A. (0， ) B. (0， ) C. (，π) D. (，π)
8. (多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f'(x)＞f(x)，则下列不等式中，一定成立的是(　 　)
A. 3f(4)＜4f(3) B. 4f(4)＞5f(3)
C. 3f(3)＜4f(2) D. 3f(3)＞4f(2)
9. (多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＜f(x)对任意的x∈R恒成立，则(　 　)
A. f(ln 2)＜2f(0) B. f(2)＜e2f(0)
C. f(ln 2)＞2f(0) D. f(2)＞e2f(0)
10. 设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，若a＝f()，b＝0，c＝－f()，则a，b，c的大小关系是 .
11. 若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)＋2f(x)＞0，且f(0)＝1，则不等式f(x)＞的解集为 .
12. 已知f(x)是定义在(0，)上的函数，其导函数为f'(x)，f()＝2，且当x∈(0，)时，f'(x)sin x＋f(x)cos x＞0，则不等式f(x)sin x＜3的解集为 .
13. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)＞ f(x)且y＝f(x＋1)是偶函数，f(0)＝2e2，求不等式f(x)＜2ex的解集.
14. 已知函数f(x)＝(x2＋ax)ln x，a∈R.
(1)若f(x)的图象在x＝1处的切线经过点(0， －2)，求a的值；
(2)当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，求a的取值范围.
15. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x＞0时，有＞0，则不等式x2f(x)＞0的解集为 .
16. 已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值.
(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.第五章 提升 练习1　导数中的函数构造问题
1. (2025·广东广州高二期末)函数的定义域为R，f(2)＝－1，对任意x∈R，f'(x)＜－1，则f(x)＞1－x的解集为(　A　)
A. (－∞， 2) B. (2， ＋∞)
C. (－1，1) D. (1， ＋∞)
【解析】 令g(x)＝f(x)＋x，∵对任意x∈R，f'(x)＜－1，
∴g'(x)＝f'(x)＋1＜0，即g(x)在R上单调递减， 又f(2)＝－1，
∴g(2)＝f(2)＋2＝1， 由f(x)＞1－x，
可得f(x)＋x＞1，即g(x)＞g(2)，
∴x＜2，即不等式f(x)＞1－x的解集为x∈(－∞，2).
2. 已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf'(x)＋f(x)≤0，对任意的0＜a＜b，则必有(　A　)
A. af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b)
C. af(a)≤f(b) D. bf(b)≤f(a)
【解析】 ∵xf'(x)≤－f(x)，f(x)≥0，
∴[]'＝≤≤0，
则函数在(0，＋∞)上单调递减.由于0＜a＜b，
则≥，即af(b)≤bf(a).
3. (2025·重庆沙坪坝期末)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若f(x)＋
f'(x)＞0，f(1)＝1，则不等式f(x)＞e1－x的解集为(　B　)
A. (0，＋∞) B. (1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (0， 1)
【解析】 构造函数g(x)＝f(x)·ex，
则g'(x)＝[f'(x)＋f(x)]·ex＞0，故g(x)在R上单调递增，
g(1)＝e，f(x)＞e1－x可化为g(x)＞e＝g(1)，
故原不等式的解集为(1，＋∞).
4. 已知函数f(x)＝xln x＋x(x－a)2(a∈R).若存在x∈(，2)，使得f(x)＞xf'(x)成立，则实数a的取值范围是(　C　)
A. (，＋∞) B. (，＋∞) C. (，＋∞) D. (3，＋∞)
【解析】 由f(x)＞xf'(x)成立，可得'＝＜0.
设g(x)＝＝ln x＋(x－a)2，则存在x∈(，2)，
使得g'(x)＝＋2(x－a)＜0成立，即a＞.
又x＋≥2＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，∴a＞.
5. 设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞的解集为(　A　)
A. (0，＋∞) B. (1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (0，1)
【解析】 令g(x)＝e3xf(x)，则g'(x)＝3e3xf(x)＋e3xf'(x)，
∵3f(x)＋f'(x)＞0，∴3e3xf(x)＋e3xf'(x)＞0，
∴g'(x)＞0，∴函数g(x)＝e3xf(x)在R上是增函数，
又f(x)＞e－3x可化为e3xf(x)＞1，且g(0)＝e3×0f(0)＝1，
∴g(x)＞g(0)，解得x＞0，
∴不等式f(x)＞e－3x的解集为(0，＋∞).
6. 函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x都有2f(x)＞xf'(x)成立，则(　A　)
A. 9f(2)＞4f(3) B. 9f(2)＜4f(3)
C. 9f(2)＝4f(3) D. 9f(2)与4f(3)的大小不确定
【解析】 由2f(x)＞xf'(x)，得xf'(x)－2f(x)＜0，设g(x)＝，
则g'(x)＝＝，∵x是正数，∴x3＞0，
又xf'(x)－2f(x)＜0，∴g'(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴g(2)＞g(3)，
即＞，即9f(2)＞4f(3).
7. (2025·黑龙江齐齐哈尔期末)已知函数f(x)的定义域为(0， π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0， π)有f'(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＞2f()sin x的解集为(　B　)
A. (0， ) B. (0， ) C. (，π) D. (，π)
【解析】 令函数g(x)＝，x∈(0，π)，
求导得g'(x)＝＜0，
∴函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)＞2f()sin x ＞，
即g(x)＞g()，解得0＜x＜，∴原不等式的解集为(0，).
8. (多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f'(x)＞f(x)，则下列不等式中，一定成立的是(　BD　)
A. 3f(4)＜4f(3) B. 4f(4)＞5f(3)
C. 3f(3)＜4f(2) D. 3f(3)＞4f(2)
【解析】 由(x＋1)f'(x)＞f(x)，得(x＋1)f'(x)－f(x)＞0，
令g(x)＝，则g'(x)＝＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(2)＜g(3)＜g(4)，
则＜＜，即4f(2)＜3f(3)，5f(3)＜4f(4).
9. (多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＜f(x)对任意的x∈R恒成立，则(　AB　)
A. f(ln 2)＜2f(0) B. f(2)＜e2f(0)
C. f(ln 2)＞2f(0) D. f(2)＞e2f(0)
【解析】 令g(x)＝，则g'(x)＝＜0，
∴g(x)在R上单调递减，又ln 2＞0，2＞0，
∴g(ln 2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即＜，＜，
∴f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0).
10. 设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，若a＝f()，b＝0，c＝－f()，则a，b，c的大小关系是　a＜b＜c　.
【解析】 设函数g(x)＝f(x)cos x，则g'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x，∵f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，
∴g'(x)＞0，∴g(x)在(0，π)上单调递增，
a＝f()＝f()cos ()＝g()，b＝0＝f()cos ()＝g()，
c＝－f()＝()cosf ()＝g()，∴a＜b＜c.
11. 若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)＋2f(x)＞0，且f(0)＝1，则不等式f(x)＞的解集为　　(0，＋∞)　.
【解析】 构造F(x)＝f(x)·e2x，
∴F'(x)＝f'(x)·e2x＋f(x)·2e2x＝e2x[f'(x)＋2f(x)]＞0，
∴F(x)在R上单调递增，且F(0)＝f(0)·e0＝1，
∵不等式f(x)＞可化为f(x)e2x＞1，即F(x)＞F(0)，
∴x＞0，∴原不等式的解集为(0，＋∞).
12. 已知f(x)是定义在(0，)上的函数，其导函数为f'(x)，f()＝2，且当x∈(0，)时，f'(x)sin x＋f(x)cos x＞0，则不等式f(x)sin x＜3的解集为　　{x｜0＜x＜}　.
【解析】 ∵当x∈(0，)时，f'(x)sin x＋f(x)cos x＞0，
∴[f(x)sin x]'＞0，x∈(0，)，令g(x)＝f(x)sin x，则当x∈(0，)时，g'(x)＞0，g(x)在(0，)上单调递增，∵f()＝2，
∴g()＝f()·sin ＝3，不等式f(x)sin x＜3，即g(x)＜g()，
∵g(x)在(0，)上单调递增，∴原不等式的解集为{x｜0＜x＜}.
13. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)＞ f(x)且y＝f(x＋1)是偶函数，f(0)＝2e2，求不等式f(x)＜2ex的解集.
解： 设g(x)＝，∵f'(x)＞ f(x)，
∴g'(x)＝＞0，∴g(x)在R上单调递增.
∵y＝f(x＋1)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝2e2，
∵f(x)＜2ex等价于＜2，∴g(x)＜g(2)，
∵g(x)在R上单调递增，∴x＜2.
故不等式f(x)＜2ex的解集为(－∞， 2).
14. 已知函数f(x)＝(x2＋ax)ln x，a∈R.
(1)若f(x)的图象在x＝1处的切线经过点(0， －2)，求a的值；
(2)当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，求a的取值范围.
解： (1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞).
又f'(x)＝(2x＋a)lnx＋x＋a，则f'(1)＝1＋a.
又f(1)＝0，∴切点为(1， 0)，∴＝1＋a，解得a＝1.
(2)当1＜x＜e2时，0＜ln x＜2.
当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，即不等式a＜－x，x∈(1，e2)恒成立.设g(x)＝－x，x ∈(1，e2)，
则g'(x)＝－1＝－.
∵(ln x)2－ln x＋1＝＋＞0，∴g'(x)＜0.
∴g(x)在(1，e2)上单调递减，从而g(x)＞g(e2)＝－.
要使原不等式恒成立，即a＜g(x)恒成立，故a≤－，
即a的取值范围是.
15. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x＞0时，有＞0，则不等式x2f(x)＞0的解集为　(－1，0)∪(1，＋∞)　.
【解析】 令g(x)＝(x≠0)，则g'(x)＝.
∵当x＞0时，＞0，即g'(x)＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(1)＝0，
∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g(x)＞0的解集为(1，＋∞)，g(x)＜0的解集为(0，1).
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴在(－∞，0)上，g(x)＞0的解集为(－∞，－1)，g(x)＜0的解集为(－1，0).
由x2f(x)＞0，得f(x)＞0(x≠0).又f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，
∴不等式x2f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞).
16. 已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值.
(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
解： (1)当a＝1时，f(x)＝x2－2ln x－x.
则f'(x)＝x－－1＝＝，x∈[1，e]，
∴当x∈[1，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，e]时，f'(x)＞0，
∴f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，e]上单调递增，
∴当x＝2时，f(x)取得最小值，其最小值是f(2)＝－2ln 2.
又f(1)＝－，f(e)＝－e－2，f(e)－f(1)＝－e－2＋＝＜0，
∴f(e)＜f(1)，∴f(x)max＝f(1)＝－.
(2)假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
都有＞a恒成立，不妨设0＜x1＜x2，
∵＞a，∴f(x2)－ax2＞f(x1)－ax1.
令g(x)＝f(x)－ax，则由此可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x－ax＝x2－2aln x－2x，
则g'(x)＝x－－2＝，
由此可得g'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即Δ≤0，－1－2a≥0，解得a≤－.即a的取值范围是(－∞，－].

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