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第二课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
一、基础巩固
1.一条直线过点A(－1,0)和B(2,3),则该直线的倾斜角为(　　)
A.30° B.45°
C.135° D.150°
2.过点M(－2,a)和N(a,4)的直线的方向向量为(1,1),则a的值为(　　)
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
3.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)
A.k1C.k14.已知直线l的一个方向向量为(,1),则直线l的倾斜角为(　　)
A.120° B.60°
C.30° D.150°
5.已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.(－1,0] B.[0,1]
C.[1,2] D.[0,2]
6.(多选)如图所示,有四条直线,则下列说法正确的是(　　)
A.>0
B.<0
C.<0
D.>0
7.一个方向向量为(,2)的直线过(3,5),(a,7),(－1,b)三点,则a＋b＝　　　　.
8.若直线l的斜率k的取值范围是[0,),则该直线的倾斜角α的取值范围是　　　　.
9.已知直线l的斜率为－,则直线l的倾斜角为　　　　；l的一个方向向量的坐标为　　　　.
10.已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5),N(2m－1,1).
(1)若直线的倾斜角为锐角,求m的取值范围；
(2)若直线的方向向量为a＝(0,－2 026),求m的值.
二、综合运用
11.(多选)以下四个命题错误的是(　　)
A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应
B.若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应
C.坐标平面上的所有直线都有倾斜角
D.坐标平面上的所有直线都有斜率
12.已知直线l过点P(0,－1)且与线段AB有交点,其中A(2,1),B(1,－2),则直线l的斜率k的取值范围是　　　　,倾斜角α的取值范围是　　　　.
13.已知坐标平面内三点A(－1,1),B(1,1),C(2,＋1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率k的取值范围.
三、拓展提高
14.已知实数x,y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1),试求的最大值和最小值.
第二课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
一、基础巩固
1.一条直线过点A(－1,0)和B(2,3),则该直线的倾斜角为(　　)
A.30° B.45°
C.135° D.150°
答案　B
解析　设直线AB的倾斜角为α,则tan α＝＝1,∵0°≤α<180°,∴α＝45°,故选B.
2.过点M(－2,a)和N(a,4)的直线的方向向量为(1,1),则a的值为(　　)
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
答案　A
解析　由题意得＝1,解得a＝1.
3.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)
A.k1C.k1答案　A
解析　设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°,故tan α1<0,tan α2>tan α3>0,即k1<0,k2>k3>0,故选A.
4.已知直线l的一个方向向量为(,1),则直线l的倾斜角为(　　)
A.120° B.60°
C.30° D.150°
答案　C
解析　由题得,直线l的斜率tan α＝,又倾斜角α∈[0°,180°),所以α＝30°.
5.已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.(－1,0] B.[0,1]
C.[1,2] D.[0,2]
答案　D
解析　由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内(包括边界)时,满足题意,所以直线l的斜率满足0≤k≤2,故选D.
6.(多选)如图所示,有四条直线,则下列说法正确的是(　　)
A.>0
B.<0
C.<0
D.>0
答案　ACD
解析　由题图可知,直线l1,l4的倾斜角为锐角,且l4的倾斜角大于l1的倾斜角,则>>0,直线l2的倾斜角为0,斜率为0,直线l3的倾斜角为钝角,<0,故选ACD.
7.一个方向向量为(,2)的直线过(3,5),(a,7),(－1,b)三点,则a＋b＝　　　　.
答案　1
解析　由题意∵k＝＝2,则2＝,∴a＝4,b＝－3,∴a＋b＝1.
8.若直线l的斜率k的取值范围是[0,),则该直线的倾斜角α的取值范围是　　　　.
答案　
解析　当0≤k<时,即0≤tan α<,
又α∈[0,π),所以α∈.
9.已知直线l的斜率为－,则直线l的倾斜角为　　　　；l的一个方向向量的坐标为　　　　.
答案　　(1,－)(答案不唯一)
解析　设直线l的倾斜角为α,则tan α＝－,又∵α∈[0,π),∴α＝.方向向量可以为(1,－),(－1,)等,答案不唯一.
10.已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5),N(2m－1,1).
(1)若直线的倾斜角为锐角,求m的取值范围；
(2)若直线的方向向量为a＝(0,－2 026),求m的值.
解　(1)倾斜角θ为锐角,则k＝tan θ>0,
又k＝>0,
即(m＋2)(m－4)<0,解得－2故m的取值范围为(－2,4).
(2)∵直线的方向向量为a＝(0,－2 026),
∴直线的斜率不存在,
故过M,N两点的直线垂直于x轴,
∴m＋3＝2m－1,即m＝4.
二、综合运用
11.(多选)以下四个命题错误的是(　　)
A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应
B.若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应
C.坐标平面上的所有直线都有倾斜角
D.坐标平面上的所有直线都有斜率
答案　BD
解析　任何一条直线都有倾斜角,但不是任何一条直线都有斜率,当倾斜角为90°,斜率不存在.
12.已知直线l过点P(0,－1)且与线段AB有交点,其中A(2,1),B(1,－2),则直线l的斜率k的取值范围是　　　　,倾斜角α的取值范围是　　　　.
答案　[－1,1]　∪
解析　kPA＝＝1,kPB＝＝－1,
∵直线l与连接A(2,1),B(1,－2)的线段总有公共点,
∴kPB≤kl≤kPA,∴－1≤k≤1.
∴直线l的斜率k的取值范围是[－1,1].
∵k＝tan α,∴－1≤tan α≤1,
∴≤α<π或0≤α≤,
∴倾斜角α的取值范围是∪.
13.已知坐标平面内三点A(－1,1),B(1,1),C(2,＋1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率k的取值范围.
解　(1)由斜率公式得kAB＝＝0,
kBC＝,
kAC＝.
∵tan 0°＝0,∴直线AB的倾斜角为0°.
∵tan 60°＝,∴直线BC的倾斜角为60°.
∵tan 30°＝,∴直线AC的倾斜角为30°.
(2)如图所示,当直线CD绕点C旋转时,斜率k变化,当直线CD由CA按逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即点D在线段AB上,
此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为.
三、拓展提高
14.已知实数x,y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1),试求的最大值和最小值.
解　如图,由的几何意义可知,它表示经过定点P(－2,－3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,1),B(－1,5).
则kPA＝,kPB＝＝8,
∴≤k≤8,
∴的最大值为8,最小值为.

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