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第二课时　直线方程的两点式
一、基础巩固
1.若直线过点(,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为(　　)
A.y＝x－4 B.y＝x＋4
C.y＝x－6 D.y＝x＋2
2.在x轴,y轴上的截距分别是5,－3的直线的截距式方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝0
3.两条直线l1:＝1和l2:＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
4.直线l过A(－1,－1),B(2,5)两点,点C(1 012,b)在直线l上,则b的值为(　　)
A.2 023 B.2 024
C.2 025 D.2 026
5.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.经过定点P(x0,y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0)
B.经过定点A(0,b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b
C.不经过原点的直线的方程都可以表示为＝1
D.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)
6.(多选)经过点A(3,4)且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为(　　)
A.x＋y－7＝0 B.x－y＋1＝0
C.4x－3y＝0 D.3x－4y＝0
7.已知直线l的方程为＝1,则直线l的倾斜角α＝　　　　.
8.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(0,2)两点的直线上,则4x·8y的值是　　　　.
9.已知直线l:＝1与x轴,y轴分别交于A,B两点,直线m过AB的中点和坐标原点,则直线m的方程为　　　　　　　　.
10.在△ABC中,已知点A(1,－4),B(6,6),C(－2,0).
(1)若AB,AC的中点分别为M,N,求直线MN的方程；
(2)求边BC上的中线所在直线的截距式方程.
二、综合运用
11.(多选)经过点(2,1)且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　)
A.x＋y－3＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0
12.已知A(3,0),B(0,4),P(m,n)是直线AB上一动点,则mn的最大值是　　　　.
13.直线l过定点A(－2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程.
三、拓展提高
14.过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0),与y轴正半轴相交于点B(0,b),当2|OA|＋|OB|取最小值时,求直线的截距式方程.
第二课时　直线方程的两点式
一、基础巩固
1.若直线过点(,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为(　　)
A.y＝x－4 B.y＝x＋4
C.y＝x－6 D.y＝x＋2
答案　A
解析　因为直线过点(,－3)和点(0,－4),所以直线的方程为,整理得y＝x－4.
2.在x轴,y轴上的截距分别是5,－3的直线的截距式方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝0
答案　B
解析　由方程的截距式易知直线方程为＝1,即＝1,故选B.
3.两条直线l1:＝1和l2:＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
答案　A
解析　将两方程化为截距式l1:＝1,l2:＝1.假定l1的位置,判断a,b的正负,从而确定l2的位置,知A项符合.
4.直线l过A(－1,－1),B(2,5)两点,点C(1 012,b)在直线l上,则b的值为(　　)
A.2 023 B.2 024
C.2 025 D.2 026
答案　C
解析　因为直线l过A(－1,－1),B(2,5)两点,则直线方程为,整理得2x－y＋1＝0,将C(1 012,b)代入可得2×1 012－b＋1＝0,解得b＝2 025.
5.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.经过定点P(x0,y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0)
B.经过定点A(0,b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b
C.不经过原点的直线的方程都可以表示为＝1
D.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)
答案　ABD
解析　经过定点P(x0,y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0),故A正确；经过定点A(0,b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b,故B正确；不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为＝1,比如x＝a或y＝b,故C错误；经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1),故D正确.
6.(多选)经过点A(3,4)且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为(　　)
A.x＋y－7＝0 B.x－y＋1＝0
C.4x－3y＝0 D.3x－4y＝0
答案　ABC
解析　①当直线经过原点时,斜率k＝,所以直线方程为y＝x,即4x－3y＝0.
②当直线在两坐标轴上的截距相等时,设直线方程为＝1,将点A(3,4)代入,得＝1,解得a＝7,所以直线方程为＝1,即x＋y－7＝0；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时,设直线方程为＝1,将点A(3,4)代入,得＝1,解得a＝－1,所以直线方程为＝1,即x－y＋1＝0.综上所述,直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0或x－y＋1＝0,故选ABC.
7.已知直线l的方程为＝1,则直线l的倾斜角α＝　　　　.
答案　135°
解析　直线l的方程为x＋y＝2,即y＝－x＋2,直线的斜率为－1＝tan α,α∈[0°,180°),则直线的倾斜角为135°.
8.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(0,2)两点的直线上,则4x·8y的值是　　　　.
答案　64
解析　由截距式得直线方程为＝1,即2x＋3y＝6,所以4x·8y＝22x·23y＝22x＋3y＝26＝64.
9.已知直线l:＝1与x轴,y轴分别交于A,B两点,直线m过AB的中点和坐标原点,则直线m的方程为　　　　　　　　.
答案　2x－3y＝0
解析　由题意知:A(6,0),B(0,4),所以AB中点为P(3,2),又因为直线m过坐标原点,所以由两点式求得直线m的方程为2x－3y＝0.
10.在△ABC中,已知点A(1,－4),B(6,6),C(－2,0).
(1)若AB,AC的中点分别为M,N,求直线MN的方程；
(2)求边BC上的中线所在直线的截距式方程.
解　(1)由题设可求得,M,
N,
故直线MN的方程为,
可化为6x－8y－13＝0.
(2)设BC中点P(x0,y0),则P(2,3),
BC边上的中线AP的方程为,
化为截距式为＝1.
二、综合运用
11.(多选)经过点(2,1)且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　)
A.x＋y－3＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0
答案　AC
解析　由题意可知,所求直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数,且不经过原点.
(1)若所求直线在两坐标轴上的截距相等且不经过原点,可设所求直线的方程为＝1,将点(2,1)的坐标代入直线＝1的方程,得＝1,解得a＝3,此时,所求直线的方程为x＋y－3＝0.
(2)若所求直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不经过原点,可设所求直线的方程为＝1,将点(2,1)的坐标代入直线＝1的方程,得＝1,解得a＝1,此时,所求直线的方程为x－y－1＝0.综上所述,所求直线的方程为x＋y－3＝0或x－y－1＝0,故选AC.
12.已知A(3,0),B(0,4),P(m,n)是直线AB上一动点,则mn的最大值是　　　　.
答案　3
解析　由于直线AB过点A(3,0),B(0,4),因此直线AB的截距式方程为＝1.
因为P(m,n)在直线AB上,所以＝1,则m＝3－n,所以mn＝3n－n2＝(－n2＋4n)＝[－(n－2)2＋4]≤3,当n＝2时,mn取得最大值3.
13.直线l过定点A(－2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程.
解　设直线l的方程为＝1.
因为点A(－2,3)在直线l上,
所以＝1. ①
又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4,
所以×|a|·|b|＝4. ②
由①②可知
解得
故直线l的方程为＝1或＝1,
即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.
三、拓展提高
14.过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0),与y轴正半轴相交于点B(0,b),当2|OA|＋|OB|取最小值时,求直线的截距式方程.
解　由题意设所求直线的方程为
＝1(a>0,b>0),
因为所求直线过点P(1,1),所以＝1,
2|OA|＋|OB|＝2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2(当且仅当a＝1＋,b＝＋1时等号成立).
故2|OA|＋|OB|有最小值3＋2,
此时所求直线的截距式方程为＝1.

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