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第三课时　直线方程的一般式
一、基础巩固
1.直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　)
A., B.－,－
C.－,－ D.,
2.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.直线的一个方向向量为a＝(1,－3),且经过点(0,2),则直线的一般式方程为 (　　)
A.3x－y＋2＝0 B.3x＋y－2＝0
C.3x＋y＋2＝0 D.3x－y－2＝0
4.已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0,直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0),则下列各图中,正确的是(　　)
5.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A,B不同时为0)表示
B.当C＝0时,方程Ax＋By＋C＝0(A,B不同时为0)表示的直线过原点
C.当A＝0,B≠0,C≠0时,方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行
D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
6.(多选)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足(　　)
A.ab>0 B.bc<0
C.ab<0 D.bc>0
7.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是　　　　.
8.已知直线l:(m2＋1)x－2y＋1＝0(m为常数),若直线l的斜率为,则m＝　　　　,若m＝－1,则直线l在y轴上的截距为　　　　.
9.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为　　　　　　.(结果写成直线的一般式方程)
10.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
二、综合运用
11.(多选)已知直线l的方程是Ax＋By＋C＝0,则下列说法中正确的是(　　)
A.若A·B·C≠0,则直线l不过原点
B.若A·B>0,则直线l必过第四象限
C.若直线l不过第四象限,则一定有A·B<0
D.若A·B<0且A·C>0,则直线l不过第四象限
12.已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5,且A－2B＋3C＝0,则直线的方程是　　　　.
13.已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0,求△ABC各边所在直线的方程.
三、拓展提高
14.已知直线l过点P(0,－1),
(1)试从以下三个条件中任选一个条件,写出直线l的一般式方程.
①l的倾斜角为,②l的一个方向向量为(1,),③点A(,2)在直线l上.
(2)在(1)的条件下,画出直线l,并在直线l外取若干点,将这些点的坐标代入式子x－y－1,求它的值；观察有什么规律,并把这个规律表示出来.
(3)试利用(2)中的结论,若过P(0,－1)的直线l1与连接C(1,－2),B(2,1)两点的线段总有公共点,求直线l1的斜率k的取值范围.
第三课时　直线方程的一般式
一、基础巩固
1.直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　)
A., B.－,－
C.－,－ D.,
答案　C
解析　直线3x＋4y＋5＝0可化为y＝－x－.所以直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为－,－,故选C.
2.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　由AB>0且BC<0,可得A,B同号,B,C异号,所以A,C也是异号；令x＝0,得y＝－>0；令y＝0,得x＝－>0,所以直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限,故选C.
3.直线的一个方向向量为a＝(1,－3),且经过点(0,2),则直线的一般式方程为 (　　)
A.3x－y＋2＝0 B.3x＋y－2＝0
C.3x＋y＋2＝0 D.3x－y－2＝0
答案　B
解析　∵直线的方向向量为a＝(1,－3),
∴k＝－3,
∴直线的方程为y＝－3x＋2,
即3x＋y－2＝0.
4.已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0,直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0),则下列各图中,正确的是(　　)
答案　A
解析　由直线l1的方程是ax－y＋b＝0,直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0),
可得l1:y＝ax＋b,l2:y＝－x＋.
对于A,l1中的a>0,b>0,l2中的a>0,b>0,A正确；
对于B,l1中的a>0,b>0,l2中的a>0,b<0,矛盾,B错误；
对于C,l1中的a<0,b>0,l2中的a>0,b>0,矛盾,C错误；
对于D,l1中的a<0,b>0,l2中的a<0,b<0,矛盾,D错误.
5.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A,B不同时为0)表示
B.当C＝0时,方程Ax＋By＋C＝0(A,B不同时为0)表示的直线过原点
C.当A＝0,B≠0,C≠0时,方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行
D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
答案　ABC
解析　A说法正确,因为在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当α≠90°时,直线的斜率k存在,其方程可写成y＝kx＋b,它可变形为kx－y＋b＝0,与Ax＋By＋C＝0比较,A＝k,B＝－1,C＝b；当α＝90°时,直线的斜率不存在,其方程可写成x－x1＝0,与Ax＋By＋C＝0比较,A＝1,B＝0,C＝－x1,显然A,B不同时为0,所以此说法是正确的；B说法正确,当C＝0时,方程Ax＋By＋C＝0(A,B不同时为0),即Ax＋By＝0,显然有A·0＋B·0＝0,即直线过原点O(0,0)；C说法正确,当A＝0,B≠0,C≠0时,方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－,它表示的直线与x轴平行；D说法显然错误.
6.(多选)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足(　　)
A.ab>0 B.bc<0
C.ab<0 D.bc>0
答案　AB
解析　易知直线的斜率存在,则直线方程可化为y＝－x－,由题意知所以ab>0,bc<0,故选AB.
7.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是　　　　.
答案　
解析　∵k＝－,
∴－1≤k<0,
∴倾斜角的取值范围是.
8.已知直线l:(m2＋1)x－2y＋1＝0(m为常数),若直线l的斜率为,则m＝　　　　,若m＝－1,则直线l在y轴上的截距为　　　　.
答案　0　
解析　由题意得,所以m＝0.
若m＝－1,则直线l的方程为2x－2y＋1＝0,可变形为y＝x＋,所以直线l在y轴上的截距为.
9.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为　　　　　　.(结果写成直线的一般式方程)
答案　3x－4y＝0
解析　由题设知,△ABC是直角三角形,则其垂心为直角顶点A(0,0),其外心为斜边BC的中点M(4,3),故其重心在直线AM上,故其“欧拉线”的方程即直线AM的方程,为y＝x,即3x－4y＝0.
10.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
解　(1)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y＝－x＋2,
由题意得－＝－1,
解得k＝5.
(2)直线l的方程可化为＝1,
由题意得k－3＋2＝0,
解得k＝1.
二、综合运用
11.(多选)已知直线l的方程是Ax＋By＋C＝0,则下列说法中正确的是(　　)
A.若A·B·C≠0,则直线l不过原点
B.若A·B>0,则直线l必过第四象限
C.若直线l不过第四象限,则一定有A·B<0
D.若A·B<0且A·C>0,则直线l不过第四象限
答案　ABD
解析　对于A,若A·B·C≠0,则A,B,C都不等于0,当x＝y＝0时,A·0＋B·0＋C≠0,所以直线l不过原点,故A正确；对于B,若A·B>0,则直线斜率－<0,则直线一定过第二、四象限,故B正确；对于C,若直线l不过第四象限,当直线只过第一、二象限时,A＝0,则A·B＝0,故C错误；对于D,若A·B<0且A·C>0,则－>0,－<0,所以直线的斜率大于0,在x轴上的截距小于0,所以直线经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故D正确,故选ABD.
12.已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5,且A－2B＋3C＝0,则直线的方程是　　　　.
答案　15x－3y－7＝0
解析　直线的斜截式为y＝－x－,
所以－＝5,即A＝－5B,
代入A－2B＋3C＝0,可得C＝B.
将直线方程中参数全部化为关于B的式子为－5Bx＋By＋B＝0.
消去B,化简可得15x－3y－7＝0.
13.已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0,求△ABC各边所在直线的方程.
解　设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E分别为AB,AC的中点,
∵点B在中线y－1＝0上,
∴设B点坐标为(x,1).
又∵A点坐标为(1,3),D为AB的中点,
∴由中点坐标公式得D点坐标为.
又∵点D在中线x－2y＋1＝0上,
∴－2×2＋1＝0,
解得x＝5,
∴B点坐标为(5,1).
同理可求出C点的坐标是(－3,－1).
故可求出△ABC三边AB,BC,AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0,x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
三、拓展提高
14.已知直线l过点P(0,－1),
(1)试从以下三个条件中任选一个条件,写出直线l的一般式方程.
①l的倾斜角为,②l的一个方向向量为(1,),③点A(,2)在直线l上.
(2)在(1)的条件下,画出直线l,并在直线l外取若干点,将这些点的坐标代入式子x－y－1,求它的值；观察有什么规律,并把这个规律表示出来.
(3)试利用(2)中的结论,若过P(0,－1)的直线l1与连接C(1,－2),B(2,1)两点的线段总有公共点,求直线l1的斜率k的取值范围.
解　(1)若选①,可得l的斜率k＝,
则l的方程为y＋1＝x,
即x－y－1＝0.
若选②,可得l的斜率k＝,方程同①,
若选③,可得l的斜率k＝,方程同①.
(2)l的图象如图,取点O(0,0),(1,6),(3,－1),(,2),把点代入x－y－1可得如下规律:在直线左边的点,坐标代入x－y－1,值小于0；在直线右边的点,坐标代入x－y－1,值大于0；在直线上的点,坐标代入x－y－1,值等于0.
(3)设l1的方程为y＋1＝k(x－0),
即kx－y－1＝0,利用(2)的结论可知点C,B分别在直线l1的两侧或其中一点在直线上,则(k＋1)(2k－2)≤0,
所以k的取值范围是[－1,1].

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