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1.4　两条直线的平行与垂直
一、基础巩固
1.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.重合 D.以上都不对
2.(多选)如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能为(　　)
A. B.a C.－ D.不存在
3.(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)
A.若l1∥l2,则斜率k1＝k2
B.若斜率k1＝k2,则l1∥l2
C.若倾斜角α1＝α2,则l1∥l2
D.若l1∥l2,则倾斜角α1＝α2
4.直线l1:(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2:x＋(a－1)y＋4＝0垂直,则直线l1在x轴上的截距是(　　)
A.－4 B.2
C.－2 D.4
5.已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行,则a的值为(　　)
A.0或3或－1 B.0或3
C.3或－1 D.0或－1
6.(多选)已知直线l:x－ay＋1＝0(a∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.直线l过点(－1,0)
B.直线l一定不与坐标轴垂直
C.直线l与直线l':－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行
D.直线l与直线l':ax＋y＋m(m∈R)一定垂直
7.经过点(cos θ,sin θ)且平行于直线xcos θ＋ysin θ＋2＝0(θ∈R)的直线方程是　　　　　　.
8.若直线l1:2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2:ax－y＋2a＝0的法向量,则实数a的值等于　　　　.
9.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直,垂足坐标为(1,p),则m－n＋p＝　　　　.
10.已知A(－m－3,2),B(－2m－4,4),C(－m,m),D(3,3m＋2),若直线AB⊥CD,求m的值.
二、综合运用
11.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1∥l2的是(　　)
A.l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8)
B.l1经过点P(3,3),Q(－5,3),l2平行于x轴,且不经过点P
C.l1经过点M(－1,0),N(－5,－2),l2经过点R(－4,3),S(0,5)
D.l1的一个方向向量为(1,1),l2的倾斜角为
12.直线l1的斜率k1＝,直线l2经过点A(1,2),B(a－1,3).
(1)若l1∥l2,则a的值为　　　　.
(2)若l1⊥l2,则a的值为　　　　.
13.已知M(1,－1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP＝∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
三、拓展提高
14.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1－2t,2＋t),R(－2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
1.4　两条直线的平行与垂直
一、基础巩固
1.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.重合 D.以上都不对
答案　B
解析　斜率都为0且不重合,所以平行.
2.(多选)如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能为(　　)
A. B.a C.－ D.不存在
答案　CD
解析　当a≠0时,由l1⊥l2,得＝－,当a＝0时,由l1⊥l2,得l2的斜率不存在.
3.(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)
A.若l1∥l2,则斜率k1＝k2
B.若斜率k1＝k2,则l1∥l2
C.若倾斜角α1＝α2,则l1∥l2
D.若l1∥l2,则倾斜角α1＝α2
答案　BCD
解析　直线l1与l2为两条不重合的直线,因为两条直线的倾斜角为90°时,没有斜率,所以A不正确；BCD正确.
4.直线l1:(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2:x＋(a－1)y＋4＝0垂直,则直线l1在x轴上的截距是(　　)
A.－4 B.2
C.－2 D.4
答案　C
解析　∵直线l1:(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2:x＋(a－1)y＋4＝0垂直,∴a＋3＋a－1＝0,∴a＝－1,∴直线l1:2x＋y＋4＝0,∴直线l1在x轴上的截距是－2.
5.已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行,则a的值为(　　)
A.0或3或－1 B.0或3
C.3或－1 D.0或－1
答案　D
解析　因为直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行,所以1·3a－a2(a－2)＝0,即a(a2－2a－3)＝0,所以a＝0或a＝－1或a＝3.经验证,当a＝3时,两直线重合,舍去.
6.(多选)已知直线l:x－ay＋1＝0(a∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.直线l过点(－1,0)
B.直线l一定不与坐标轴垂直
C.直线l与直线l':－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行
D.直线l与直线l':ax＋y＋m(m∈R)一定垂直
答案　AD
解析　对于A,把(－1,0)代入直线方程成立,故A正确；
当a＝0时,直线l与x轴垂直,故B错误；
当m＝－1时,两直线重合,故C错误；
当a＝0时,l:x＝－1,l':y＝－m,故l⊥l'；
当a≠0时,l的斜率k＝,l'的斜率k'＝－a,
k·k'＝－1,故l⊥l',故D正确,故选AD.
7.经过点(cos θ,sin θ)且平行于直线xcos θ＋ysin θ＋2＝0(θ∈R)的直线方程是　　　　　　.
答案　xcos θ＋ysin θ－1＝0
解析　设所求直线方程为xcos θ＋ysin θ＋m＝0(m≠2),又经过点(cos θ,sin θ),则cos 2θ＋sin 2θ＋m＝0,m＝－1,故所求直线方程为xcos θ＋ysin θ－1＝0.
8.若直线l1:2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2:ax－y＋2a＝0的法向量,则实数a的值等于　　　　.
答案　
解析　由题意得l1⊥l2,故a·＝－1
即2a－3＝0,解得a＝.
9.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直,垂足坐标为(1,p),则m－n＋p＝　　　　.
答案　20
解析　因两直线垂直,故有2m－20＝0,m＝10,又垂足为(1,p),故10＋4p－2＝0,p＝－2,2－5p＋n＝0,n＝－12,则m－n＋p＝10＋12－2＝20.
10.已知A(－m－3,2),B(－2m－4,4),C(－m,m),D(3,3m＋2),若直线AB⊥CD,求m的值.
解　因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行.
因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,－m≠3,即m≠－3.
①当AB与x轴垂直时,－m－3＝－2m－4,解得m＝－1.而m＝－1时,C,D纵坐标均为－1,
所以CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.
②当AB与x轴不垂直时,由斜率公式
kAB＝(m≠－1),
kCD＝(m≠－3).
因为AB⊥CD,所以kAB·kCD＝－1,
即·＝－1,
解得m＝1,
综上m的值为1或－1.
二、综合运用
11.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1∥l2的是(　　)
A.l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8)
B.l1经过点P(3,3),Q(－5,3),l2平行于x轴,且不经过点P
C.l1经过点M(－1,0),N(－5,－2),l2经过点R(－4,3),S(0,5)
D.l1的一个方向向量为(1,1),l2的倾斜角为
答案　BC
解析　对于A,由题意得kAB＝＝2,
所以l1与l2平行或重合,故A错误；
对于B,由题意得kPQ＝＝0,因为l2平行于x轴,且不经过点P,所以l1∥l2,故B正确；
对于C,由题意得kMN＝,kRS＝,kMR＝＝－1,
所以l1∥l2,故C正确；
对于D,直线l1的斜率为1,直线l2的斜率为tan ,所以l1与l2不平行,故D错误.
12.直线l1的斜率k1＝,直线l2经过点A(1,2),B(a－1,3).
(1)若l1∥l2,则a的值为　　　　.
(2)若l1⊥l2,则a的值为　　　　.
答案　(1)　(2)
解析　(1)直线l2的斜率k2＝,由l1∥l2,得k1＝k2,
所以,所以a＝.
(2)由l1⊥l2,得k1·k2＝－1,
所以×＝－1,所以a＝.
13.已知M(1,－1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP＝∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
解　(1)设Q(x,y),由已知得kMN＝3,
由PQ⊥MN,可得kPQ·kMN＝－1,
即×3＝－1. ①
由已知得kPN＝－2,由PN∥MQ,可得kPN＝kMQ,即＝－2. ②
联立①②,解得x＝0,y＝1,即Q(0,1).
(2)设Q(x,0),∵∠NQP＝∠NPQ,
∴kNQ＝－kNP,
又∵kNQ＝,kNP＝－2,
∴＝2,即x＝1,∴Q(1,0).
又∵M(1,－1),∴MQ⊥x轴,
故直线MQ的倾斜角为90°.
三、拓展提高
14.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1－2t,2＋t),R(－2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
解　由斜率公式得kOP＝＝t,
同理,kQR＝t,kOR＝－,kPQ＝－.
所以kOP＝kQR,kOR＝kPQ.
所以OP∥QR,OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
因为kOP·kOR＝－1,
所以OP⊥OR.又|OP|≠|OR|,
故四边形OPQR为矩形.

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