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1.5　两条直线的交点坐标
一、基础巩固
1.直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.重合 D.不确定
2.直线l1:3x－4y＋5＝0与l2:4x－3y－＝0的交点坐标为(　　)
A.(2,3) B.
C. D.
3.两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|－2C.{a|a>2} D.{a|a<－2或a>2}
4.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直,垂足为(1,c),则a＋b＋c＝(　　)
A.－4 B.20
C.0 D.24
5.若三条直线y＝2x,x＋y＝3,mx＋2y＋5＝0相交于同一点,则m的值为(　　)
A.－9 B.9
C.－6 D.6
6.(多选)若三条直线l1:ax＋y＋1＝0,l2:x＋ay＋1＝0,l3:x＋y＋a＝0不能围成三角形,则a的取值可以为(　　)
A.1 B.－1
C.－2 D.2
7.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点,则实数a的值为　　　　.
8.已知点P(0,－1),点Q在直线x－y＋1＝0上,若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0,则点Q的坐标是　　　　.
9.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　.
10.已知直线l1:2x－y＝0,l2:x－2y＋3＝0,且l1,l2的交点为P.
(1)求点P的坐标；
(2)若直线l过点P,且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积为,求直线l的方程.
二、综合运用
11.已知实数a,b满足a＋2b＝1,则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　)
A. B.
C. D.
12.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,－1),则直线l的斜率等于　　　　.
13.如图,已知在△ABC中,A(－8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0,求直线BC的方程.
三、拓展提高
14.已知两直线l1:x－2y＋4＝0,l2:4x＋3y＋5＝0.
(1)求直线l1与l2的交点P的坐标；
(2)求过l1,l2交点P,且在两坐标轴截距相等的直线方程；
(3)若直线l3:ax＋2y－6＝0与l1,l2不能构成三角形,求实数a的值.
1.5　两条直线的交点坐标
一、基础巩固
1.直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.重合 D.不确定
答案　B
解析　∵k1＝,k2＝－<0,∴k1≠k2的两直线相交.
2.直线l1:3x－4y＋5＝0与l2:4x－3y－＝0的交点坐标为(　　)
A.(2,3) B.
C. D.
答案　B
解析　由本题也可代入选项验证.
3.两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|－2C.{a|a>2} D.{a|a<－2或a>2}
答案　C
解析　联立方程,得
解得由交点在第一象限,
得解得a>2.
所以实数a的取值范围是{a|a>2}.
4.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直,垂足为(1,c),则a＋b＋c＝(　　)
A.－4 B.20
C.0 D.24
答案　A
解析　由两直线垂直得－×＝－1,故a＝10,将垂足代入ax＋4y－2＝0,得c＝－2,再代入2x－5y＋b＝0,得b＝－12,所以a＋b＋c＝－4.
5.若三条直线y＝2x,x＋y＝3,mx＋2y＋5＝0相交于同一点,则m的值为(　　)
A.－9 B.9
C.－6 D.6
答案　A
解析　由∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0,即m×1＋2×2＋5＝0,∴m＝－9.
6.(多选)若三条直线l1:ax＋y＋1＝0,l2:x＋ay＋1＝0,l3:x＋y＋a＝0不能围成三角形,则a的取值可以为(　　)
A.1 B.－1
C.－2 D.2
答案　ABC
解析　三条直线不能围成三角形,有可能三条直线互相平行或有其中两条平行,还可能有共同交点.若l1和l3平行,则,求得a＝1,此时l1,l2,l3重合；若l2和l3平行,则,求得a＝1,此时l1,l2,l3重合；若l1和l2平行,则,求得a＝±1,故当a＝1时,l1,l2,l3重合；当a＝－1时,l1∥l2；若三条直线交于一点,则交点为(1,－1－a),代入l2:x＋ay＋1＝0得,1－a(1＋a)＋1＝0,∴a＝－2或1(舍去).综上可得,实数a所有可能的值为－1,1,－2,故选ABC.
7.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点,则实数a的值为　　　　.
答案　－1
解析　由
把(4,－2)代入直线ax＋2y＋8＝0,可得4a－4＋8＝0,解得a＝－1.
8.已知点P(0,－1),点Q在直线x－y＋1＝0上,若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0,则点Q的坐标是　　　　.
答案　(2,3)
解析　由题意得kPQ＝2,直线PQ的方程为y＋1＝2x,又点Q在直线x－y＋1＝0上,联立解得Q(2,3).
9.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　.
答案　x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
解析　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0,即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
令x＝0,得y＝,
令y＝0,得x＝.
由,得λ＝或λ＝.
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
10.已知直线l1:2x－y＝0,l2:x－2y＋3＝0,且l1,l2的交点为P.
(1)求点P的坐标；
(2)若直线l过点P,且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积为,求直线l的方程.
解　(1)由
所以点P的坐标为(1,2).
(2)易知直线l与坐标轴不平行,设直线l:y－2＝k(x－1),k≠0.
当x＝0时,y＝2－k；当y＝0时,x＝1－,
因此可得
解得k＝－1或k＝－4,
故直线l的方程为y－2＝－(x－1)或
y－2＝－4(x－1),
即x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0.
综上,直线l的方程为x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0.
二、综合运用
11.已知实数a,b满足a＋2b＝1,则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由a＋2b＝1,得a＝1－2b,则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0,整理得x＋3y－b(2x－1)＝0,所以.
12.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,－1),则直线l的斜率等于　　　　.
答案　－
解析　设A(xA,1),B(xB,xB－7),则有＝－1,故xB＝4,则B(4,－3),故直线l的斜率为＝－.
13.如图,已知在△ABC中,A(－8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0,求直线BC的方程.
解　设B(x0,y0),
则AB的中点E的坐标为,
由条件可得
得即B(6,4).
同理可求得C点的坐标为(5,0).
故所求直线BC的方程为,
即4x－y－20＝0.
三、拓展提高
14.已知两直线l1:x－2y＋4＝0,l2:4x＋3y＋5＝0.
(1)求直线l1与l2的交点P的坐标；
(2)求过l1,l2交点P,且在两坐标轴截距相等的直线方程；
(3)若直线l3:ax＋2y－6＝0与l1,l2不能构成三角形,求实数a的值.
解　(1)由
所以点P的坐标为(－2,1).
(2)设所求直线为l,
①当直线l在两坐标轴截距不为零时,
设直线方程为:＝1,
则＝1,解得t＝－1,所以直线l的方程为:＝1,即x＋y＋1＝0.
②当直线l在两坐标轴截距为零时,设直线方程为:y＝kx,则1＝k×(－2),解得k＝－,所以直线l的方程为y＝－x,即x＋2y＝0.
综上,直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋2y＝0.
(3)①当l3与l1平行时不能构成三角形,此时:a×(－2)－2×1＝0,解得a＝－1；
②当l3与l2平行时不能构成三角形,此时:a×3－2×4＝0,解得a＝；
③当l3过l1,l2的交点时不能构成三角形,此时:a×(－2)＋2×1－6＝0,解得a＝－2.
综上,当a＝－1或或－2时,不能构成三角形.

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