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浙教版新版八上第五单元 新知超前
5.2.2 函数的表示方法（解析版）
一、函数的三种表示方法
1. 解析法：用函数表达式（等式）表示变量间的关系。如y=2x+1，s=60t。能精确表示，便于计算。
2. 列表法：把自变量和函数值的对应值列成表格。直观，不计算直接查表。
3. 图象法：在坐标系中用图象表示函数关系。直观反映变化趋势和增减性。
4. 三种方法各有优缺点：实际问题中常结合使用。
二、求函数表达式与自变量的取值范围
1. 步骤：①找出两个变量；②找到等量关系；③用自变量表示函数→写出关系式。
2. 自变量的取值范围：①使函数式有意义；②符合实际意义（如长度>0、人数为整数等）。
3. 常见题型：三角形周长/面积问题、收费问题、行程问题等→根据实际限制列不等式求范围。
考点一 函数的三种表示方法
例1．某校在定制校服时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表：
尺码 S M L XL 2XL
衣长 67 69 71 73 75
若小明需要定制5XL，则他的衣长是________cm．
【答案】81
【分析】本题主要考查了函数的定义，根据题意当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解．
【详解】解：根据题意，当尺码增加，则衣长增加，
到增加了3个尺码，
，
则他的衣长为；
故答案为：81．
变式1．声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表：
空气温度 0 10 20 30
声音速度 318 324 330 336 342 348
时，声音在空气中的传播速度为 __．
【答案】354
【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加，
由表得空气温度为时，声音速度为，
所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为，
故答案为：354．
变式2．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间的关系图，下列说法错误的是（ ）
A．血药浓度在时达到最高 B．当血药浓度小于时，药物无效
C．每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位时，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
【答案】D
【分析】本题主要考查函数图象．根据函数图象提供的信息逐项判断即可．
【详解】解：A、血药浓度在时达到最高，本选项不符合题意；
B、当血药浓度小于时，此时药物无效，本选项不符合题意；
C、每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用，本选项不符合题意；
D、由图象，首次服用该药物1单位时，血药浓度会增高，又首次服用该药物1单位时，血药浓度高于，故再次服用该药物1单位，血药浓度会高于，则会发生药物中毒，本选项符合题意；
故选：D．
考点二 求函数表达式与自变量的取值范围
例1．一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ．
【答案】
【分析】此题考查列函数关系式，根据“剩余油量现存油量流出油量”的等量关系列函数关系式即可．
【详解】解：根据题意得：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是．
故答案为：
变式1．某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为________．
【答案】
【分析】此题考查了列函数解析式．利用已知批发价为每千克元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，求得解析式，根据批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元，至多可以买，求出自变量的取值范围．
【详解】解：由已知批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果得y与x的函数关系式：，
∵批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元，
∴，
∴至多可以买．
故自变量x的取值范围：．
故答案为：
变式2．等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是_________，自变量x的取值范围是_________．
【答案】 /
【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的三边关系定理、函数，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的周长公式、三角形的三边关系定理即可得．
【详解】由题意得：，
得：，
即y与x之间的函数关系式是；
由三角形的三边关系定理得：，即，
解得，
故答案为：，．
一、选择题
1．（22-23七年级下·山东菏泽·阶段检测）“五一”期间，小亮骑自行车去动物园游玩，开始以正常速度匀速行驶，行驶中途做短暂休息拍照然后以更快的速度匀速行驶去动物园．下面能大致反映小亮离家距离与出发时间的关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据小亮行驶的情况，经历了：慢行、停止、快行三个阶段，行程不断增加．
【详解】解：行进的路程将随着时间的增多而增多，排除B，D；
由于行驶中途做短暂休息拍照，在这段时间内，时间继续增多，而路程没有变化，排除A；
根据小亮行驶的情况，应是慢行、停止、快行，C符合题意．
故选：C．
2．（2023七年级上·全国·专题练习）笑笑从家出发去音乐厅，当走她了大约一半路程时，想起忘了带门票于是她回家取票，然后再去音乐厅，听完音乐后回家，下面（　　）幅图比较准确地反映了笑笑的行为．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】离家的距离是随时间是这样变化的：（1）先离家越来越远，到了最远距离一半的时候返回．（2）然后越来越近直到为0．（3）到家取票有一会时间，所以有一段时间离家的距离为0．（4）然后再离家越来越远，直到音乐厅．（5）在音乐听听音乐还要一段时间，所以离家最远的时候也是一条线段．（6）然后回家直到离家的距离为0．据此解答即可．
【详解】解：首先排除A，图A所描述的走到音乐厅没有停留的时间．
再排除B，图B描述的不是从家出发．
图D，描述的走到音乐厅又返回家中，也不符合题意．
所以只有图C比较准确地反映了笑笑的行为．
故选：C．
3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据所走的路程随时间t的增加而变化情况可得答案．
本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
【详解】解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意；
步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变，
在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少．
故选：B．
4．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明的父亲从家走了到一个离家的书店，在书店看了书后，用返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实际问题中的函数关系所表示的函数图象，熟练掌握函数图象与所表示的实际意义的关系是解题的关键．
【详解】解：依题意，0~20分钟去书店，离家的距离增加到900米，这段是正比例函数；
20~30分钟看书，离家的距离不变，是一段平行与x轴的线段；
30~45分钟返回家，离家的距离减少为0米．
故选：B．
5．（2022七年级下·河南鹤壁·专题练习）某市规定每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元：当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题选择图象，解题的关键是根据用水量是否超过6吨将图象分为两段，再结合已知即可判断出答案．
【详解】解：根据题意，每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元，
即图象分两段，先平缓，再陡峭，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）在一定范围内，弹簧的长度与它所挂物体的质量之间的关系是，如果该弹簧最长可以拉伸到，那么它所挂物体的最大质量是 __．
【答案】/15千克
【分析】本题考查的是函数解析的应用，已知函数值求解自变量的值，把代入即可得到答案．
【详解】解：当时，得，
解得，
∴它所挂物体的最大质量是．
故答案为：．
7．（23-24七年级下·广东清远·期中）素有“岭南古邑”之称的英德，是广东省茶叶主产区．英德某红茶上市后，每千克红茶160元，则购买红茶的费用y（元）与红茶重量x（千克）之间的关系是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，正确理解题意根据费用单价数量求解是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
故答案为：．
8．（23-24八年级下·全国·单元测试）按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是_________
【答案】/
【分析】本题考查的是探究规律，函数的表示方法．根据图中所给出的图形，得出规律是解答本题的关键．
根据所给图形总结规律解答即可，不算左右两侧的椅子，则每张餐桌有4把椅子，再加左右两侧的椅子即可．
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
由此类推，可得出．
故答案为．
三、解答题
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某日某港口从0时到15时的水深变化情况．仔细观察图象，回答下列问题：
(1)图中描述的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？
(2)大约什么时间港口的水最深？深度约为多少米？
(3)说一说这个港口从0时到15时的水深是怎样变化的．
【答案】(1)港口的水深和时间，时间是自变量，港口的水深是因变量．
(2)大约4时，约为8.4m．
(3)随着时间的增加，港口的水深先增加，再减小，后增加．
【分析】本题考查了由图像获取信息，掌握图像的性质是解题的关键；
（1）（2）（3）根据图像的信息回答问题即可.
【详解】（1）解：图中描述的是港口的水深和时间的关系，时间是自变量，港口的水深是因变量．
（2）解：大约时港口的水最深，深度约为；
（3）解：这个港口从时到时的水深是随着时间的增加，港口的水深先增加，再减小，后增加．
10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池会定期换水，某游泳池在一次换水前存水920立方米，换水时关闭进水孔，打开排水孔，以每小时80立方米的速度将水放出，它们的变化情况如表所示：
放水时间/时 1 2 3 4 5 6 …
游泳池的存水/立方米 840 760 680 600 520 440 …
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？自变量是 ，因变量是 ，
(2)设放水时间为时，游泳池的存水量为立方米，写出与之间的关系式．（不要求写自变量的范围）
【答案】(1)上表反映的是放水时间和游泳池的存水之间的关系；放水时间；游泳池的存水
(2)
【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识；理解题意是解题关键．
（1）根据题中表格即可完成；
（2）根据排水孔以每小时80立方米的速度放水，利用关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式．
【详解】（1）解：由题意知，上表反映的是放水时间和游泳池的存水之间的关系；其中，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水，
故答案为：放水时间；游泳池的存水；
（2）解：根据题意得：每小时放水80立方米，
∴与的函数关系式为．
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5.2.2 函数的表示方法（原卷版）
一、函数的三种表示方法
1. ______：用______表示变量间的关系。如y=2x+1，s=60t。能精确表示，便于计算。
2. ______：把自变量和函数值的对应值列成______。直观，不计算直接查表。
3. ______：在坐标系中用______表示函数关系。直观反映变化趋势和增减性。
4. ______：实际问题中常结合使用。
二、求函数表达式与自变量的取值范围
1. ______：①找出两个变量；②找到______；③用自变量表示函数→写出______。
2. ______：①使函数式______；②符合______（如长度>0、人数为整数等）。
3. ______：三角形周长/面积问题、收费问题、行程问题等→根据实际限制列不等式求范围。
考点一 函数的三种表示方法
例1．某校在定制校服时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表：
尺码 S M L XL 2XL
衣长 67 69 71 73 75
若小明需要定制5XL，则他的衣长是________cm．
变式1．声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表：
空气温度 0 10 20 30
声音速度 318 324 330 336 342 348
时，声音在空气中的传播速度为 __．
变式2．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间的关系图，下列说法错误的是（ ）
A．血药浓度在时达到最高 B．当血药浓度小于时，药物无效
C．每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位时，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
考点二 求函数表达式与自变量的取值范围
例2．一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ．
变式1．某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为________．
变式2．等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是_________，自变量x的取值范围是_________．
一、选择题
1．（22-23七年级下·山东菏泽·阶段检测）“五一”期间，小亮骑自行车去动物园游玩，开始以正常速度匀速行驶，行驶中途做短暂休息拍照然后以更快的速度匀速行驶去动物园．下面能大致反映小亮离家距离与出发时间的关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七年级上·全国·专题练习）笑笑从家出发去音乐厅，当走她了大约一半路程时，想起忘了带门票于是她回家取票，然后再去音乐厅，听完音乐后回家，下面（　　）幅图比较准确地反映了笑笑的行为．
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明的父亲从家走了到一个离家的书店，在书店看了书后，用返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022七年级下·河南鹤壁·专题练习）某市规定每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元：当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）在一定范围内，弹簧的长度与它所挂物体的质量之间的关系是，如果该弹簧最长可以拉伸到，那么它所挂物体的最大质量是 __．
7．（23-24七年级下·广东清远·期中）素有“岭南古邑”之称的英德，是广东省茶叶主产区．英德某红茶上市后，每千克红茶160元，则购买红茶的费用y（元）与红茶重量x（千克）之间的关系是________．
8．（23-24八年级下·全国·单元测试）按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是_________
三、解答题
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某日某港口从0时到15时的水深变化情况．仔细观察图象，回答下列问题：
(1)图中描述的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？
(2)大约什么时间港口的水最深？深度约为多少米？
(3)说一说这个港口从0时到15时的水深是怎样变化的．
10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池会定期换水，某游泳池在一次换水前存水920立方米，换水时关闭进水孔，打开排水孔，以每小时80立方米的速度将水放出，它们的变化情况如表所示：
放水时间/时 1 2 3 4 5 6 …
游泳池的存水/立方米 840 760 680 600 520 440 …
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？自变量是 ，因变量是 ，
(2)设放水时间为时，游泳池的存水量为立方米，写出与之间的关系式．（不要求写自变量的范围）
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