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浙教版新版八上第五单元 新知超前
5.5.1 一次函数的简单应用1（原卷版）
一、从实验/实际数据求一次函数表达式
1. ______：①通过实验/测量获得两个变量的______；②在坐标系中______；③观察点的分布→若近似在一条直线上→可用______来刻画。
2. ______：从数据中任取______对应值→用______设y=kx+b→代入→解k,b→写出表达式。
3. ______：这样得到的表达式是______的（经验公式），代入其他点验证会有误差。
二、用一次函数图象解决实际问题
1. ______：看清横轴、纵轴分别表示______→读出起点/终点/特殊点的坐标→解释______。
2. ______：行程问题（路程-时间）、收费问题（分段计费）、电池续航、植物生长、弹簧伸长等。
3. ______：①根据题意或图象建立一次函数模型→②求表达式或关键点坐标→③回答问题。
考点一 从实验/实际数据求一次函数表达式
例1．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表中的数据：
鸭的质量/千克 1 2 …
烤制时间/分钟 40 50 60 70 80 …
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，当千克时，的值为（ ）
A．90 B．100 C．110 D．120
变式1．甘肃省定西市的特色美食——马铃薯制品的销售额（单位：万元）与广告投入（单位：万元）成一次函数关系．已知当广告投入10万元时，销售额为1000万元；当广告投入90万元时，销售额为5000万元．则当广告投入70万元时，销售额为（　　）
A．4000万元 B．4500万元 C．5000万元 D．5500万元
变式2．物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长是弹簧秤所挂重物质量的一次函数，其部分对应值如下表所示：
重物质量
弹簧总长
根据以上信息，表中的的值为（ ）
A． B． C． D．
考点二 用一次函数图象解决实际问题
例2．某航空公司的行李托运费按行李的质量大小收取：以下免费，及以上按如图所示的关系式计算．若某人的行李质量x为，则他需要付托运费y为（ ）
A．60元 B．80元 C．40元 D．0元
变式1．小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　）
A． B． C． D．
变式2．随着环保意识的增强，新能源汽车逐渐普及．某款新能源汽车充满电后初始续航里程为420千米，日常驾驶中平均每小时消耗35千米的续航，行驶 t小时后剩余续航里程为 y千米，求 y与 t的关系式（不考虑续航回收，），则 y与 t的关系式为（ ）
A． B． C． D．
一、选择题
1．（24-25九年级下·全国·二轮复习）一根蜡烛原来长，点燃后燃烧的时间为 min，剩余蜡烛的长为，与之间的函数图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）名教师和若干名学生到某景区春游．该景区成人票每张元，学生票每张元．师生总票款（单位：元）与学生人数之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·全国·期末）荆芥作为佐料常常出现在面条、凉菜等美食里，是河南人夏季餐食中不可或缺的一物，“荆芥放进面条碗，呼呼啦啦吃三碗”的谚语，也体现了河南人吃面离不开荆芥，小明记录大棚中荆芥的生长过程，发现其中一株荆芥的高近似是生长时间x（天）的一次函数，部分数据如表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
生长时间x/天 50 60
高 10 15
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为________cm．
5．（2026·山西太原·一模）为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时．
6．（25-26九年级上·全国·课后作业）温室大棚对于提高草莓产量，生产高品质的草莓发挥了很大的作用．已知草莓生长最适温度是20℃~28℃，草莓基地恒温棚升温过程中，温度与时间成一次函数关系．已知升温时间为2min时，棚内温度为15℃，升温时间为5min时，棚内温度为27℃，则棚内温度y（℃）与升温时间x（min）之间的一次函数关系式为________．
三、解答题
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）科学研究发现，空气含氧量与海拔之间近似的满足一次函数关系．经测量，当海拔为时，空气含氧量约为；当海拔为时，空气含氧量约为．
（1）空气含氧量与海拔之间的关系式为______；
（2）已知某山的海拔为，则该山顶处的空气含氧量约为______．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x（）与双层部分的长度y（）满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据：
单层部分的长度 … 20 30 40 50 60 70 …
双层部分的长度 … 55 50 45 40 35 30 …

(1)请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式及自变量取值范围，并画出这个函数的图象；
(2)根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度．
(3)结合人体工学与前两问的结论，小泉计划为身高的同学设计一款适配挎包．已知人体工学建议：挎带总长度与使用者身高比值为时，佩戴舒适度最佳．请根据以上信息，计算此时挎包单层部分与双层部分的长度．
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浙教版新版八上第五单元 新知超前
5.5.1 一次函数的简单应用1（解析版）
一、从实验/实际数据求一次函数表达式
1. 基本步骤：①通过实验/测量获得两个变量的多组对应值；②在坐标系中描点；③观察点的分布→若近似在一条直线上→可用一次函数来刻画。
2. 求表达式：从数据中任取两组对应值→用待定系数法设y=kx+b→代入→解k,b→写出表达式。
3. 注意：这样得到的表达式是近似的（经验公式），代入其他点验证会有误差。
二、用一次函数图象解决实际问题
1. 读图要点：看清横轴、纵轴分别表示什么量→读出起点/终点/特殊点的坐标→解释实际意义。
2. 常见类型：行程问题（路程-时间）、收费问题（分段计费）、电池续航、植物生长、弹簧伸长等。
3. 解题思路：①根据题意或图象建立一次函数模型→②求表达式或关键点坐标→③回答问题。
考点一 从实验/实际数据求一次函数表达式
例1．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表中的数据：
鸭的质量/千克 1 2 …
烤制时间/分钟 40 50 60 70 80 …
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，当千克时，的值为（ ）
A．90 B．100 C．110 D．120
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的运用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
根据题意，运用待定系数法得到一次函数解析式，再把代入解析式得到函数值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，鸭子的质量逐渐增大，烤制时间也随之增大，
∴设一次函数解析式为，
把，，，代入得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为，
∴当时，，
∴的值为（分钟），
故选：D ．
变式1．甘肃省定西市的特色美食——马铃薯制品的销售额（单位：万元）与广告投入（单位：万元）成一次函数关系．已知当广告投入10万元时，销售额为1000万元；当广告投入90万元时，销售额为5000万元．则当广告投入70万元时，销售额为（　　）
A．4000万元 B．4500万元 C．5000万元 D．5500万元
【答案】A
【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可．
【详解】解：设，
把，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
即投入70万元时，销售量为4000万元，
故选：A．
变式2．物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长是弹簧秤所挂重物质量的一次函数，其部分对应值如下表所示：
重物质量
弹簧总长
根据以上信息，表中的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，确定解析式是解题的关键．
根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为，利用已知数据点求出k和c，再代入和计算对应的a和b，最后求的值．
【详解】解：根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为，
把点和代入得，，
解得：，
因此，函数解析式为：，
当时，，
当时，，
，
故选：C．
考点二 用一次函数图象解决实际问题
例2．某航空公司的行李托运费按行李的质量大小收取：以下免费，及以上按如图所示的关系式计算．若某人的行李质量x为，则他需要付托运费y为（ ）
A．60元 B．80元 C．40元 D．0元
【答案】A
【分析】此题考查了一次函数的应用和求一次函数值，将代入求解即可．
【详解】解：根据题意得，
将代入．
∴他需要付托运费y为60元．
故选：A．
变式1．小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用．
根据“小林距离B地路程为”结合求解即可．
【详解】解：∵小林距离B地路程为，
∴当小林骑行从A地到达B地时，，
此时
解得：
故选：C．
变式2．随着环保意识的增强，新能源汽车逐渐普及．某款新能源汽车充满电后初始续航里程为420千米，日常驾驶中平均每小时消耗35千米的续航，行驶 t小时后剩余续航里程为 y千米，求 y与 t的关系式（不考虑续航回收，），则 y与 t的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意，剩余续航里程y等于初始续航里程减去消耗的续航里程，消耗速度为每小时35千米，行驶t小时消耗千米，据此即可获得答案．
【详解】解：∵初始续航为420千米，每小时消耗35千米，
∴行驶t小时后，消耗续航千米，
∴剩余续航．
故选：B．
一、选择题
1．（24-25九年级下·全国·二轮复习）一根蜡烛原来长，点燃后燃烧的时间为 min，剩余蜡烛的长为，与之间的函数图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意，剩余蜡烛的长为与燃烧的时间为 min是一次函数的关系即可得出．
【详解】解：根据题意，剩余蜡烛的长为与燃烧的时间为 min是一次函数的关系，且，随的增大而减小，
故A符合题意．
故选：A．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）名教师和若干名学生到某景区春游．该景区成人票每张元，学生票每张元．师生总票款（单位：元）与学生人数之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目给出的人数和票价，分别计算教师总票款和学生总票款，相加即可得到与的函数关系式．
【详解】解：根据题意，
∵学生人数为，学生票每张元，
∴学生总票款为元，
∵共有名教师，成人票每张元，
∴教师总票款为元，
∴师生总票款．
3．（25-26八年级下·全国·期末）荆芥作为佐料常常出现在面条、凉菜等美食里，是河南人夏季餐食中不可或缺的一物，“荆芥放进面条碗，呼呼啦啦吃三碗”的谚语，也体现了河南人吃面离不开荆芥，小明记录大棚中荆芥的生长过程，发现其中一株荆芥的高近似是生长时间x（天）的一次函数，部分数据如表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
生长时间x/天 50 60
高 10 15
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法解答即可．
【详解】解：设与之间的关系式为，
将，和，分别代入得，
解得，
∴与之间的关系式为，．
故选：D．
二、填空题
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为________cm．
【答案】10
【分析】该题主要考查了一次函数的应用．求出植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数解析式，再求出时，对应的的值即可；
【详解】解：根据题意设线段的函数解析式为，
将代入得，
，
∴线段的函数解析式为，
∵，轴，
∴，
设的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴的解析式为，
当时，，
∴第天该植物的高度为厘米．
故答案为：．
5．（2026·山西太原·一模）为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时．
【答案】8
【分析】利用待定系数法求出 实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：设实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为，
根据题意得该函数图象过点，
∴，
解得：，
∴实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为，
∵，
∴随x的增大而减小，
∵实验室湿度不得低于，
∴，
当时，x取得最大值，
此时，
解得：，
即该日这台除湿机开机后最多可连续工作8小时．
6．（25-26九年级上·全国·课后作业）温室大棚对于提高草莓产量，生产高品质的草莓发挥了很大的作用．已知草莓生长最适温度是20℃~28℃，草莓基地恒温棚升温过程中，温度与时间成一次函数关系．已知升温时间为2min时，棚内温度为15℃，升温时间为5min时，棚内温度为27℃，则棚内温度y（℃）与升温时间x（min）之间的一次函数关系式为________．
【答案】/
【分析】利用本题重点考查 一次函数表达式的求解 ， 找出两组温度与时间的对应值代入一次函数一般式是解题的关键．
根据题意，设一次函数解析式为，运用待定系数法即可求解．
【详解】解：根据题意，设一次函数解析式为，
当升温时间为时，温度为，当升温时间为时，温度为的值代入，
，
解得，，
∴棚内温度与升温时间的一次函数解析式为：，
故答案为：．
三、解答题
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）科学研究发现，空气含氧量与海拔之间近似的满足一次函数关系．经测量，当海拔为时，空气含氧量约为；当海拔为时，空气含氧量约为．
（1）空气含氧量与海拔之间的关系式为______；
（2）已知某山的海拔为，则该山顶处的空气含氧量约为______．
【答案】 259
【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用．
（1）利用在海拔为时，空气含氧量约为；当海拔为时，空气含氧量约为，代入解析式求出即可；
（2）根据某山的海拔高度为，代入（1）中解析式，求出即可．
【详解】解：（1）设，则有：
，
解之得，
∴；
故答案为：；
（2）当时，．
答：该山山顶处的空气含氧量约为．
故答案为：．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x（）与双层部分的长度y（）满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据：
单层部分的长度 … 20 30 40 50 60 70 …
双层部分的长度 … 55 50 45 40 35 30 …

(1)请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式及自变量取值范围，并画出这个函数的图象；
(2)根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度．
(3)结合人体工学与前两问的结论，小泉计划为身高的同学设计一款适配挎包．已知人体工学建议：挎带总长度与使用者身高比值为时，佩戴舒适度最佳．请根据以上信息，计算此时挎包单层部分与双层部分的长度．
【答案】(1)描点如图所示：
y与x的函数解析式为，其图象如上图所示
(2)双层部分的长度为
(3)此时挎包单层部分的长度为，双层部分的长度为
【分析】（1）描点并根据这些点的分布情况判断y与x之间的函数关系类型，根据待定系数法求其解析式并画出图象即可；
（2）根据题意得，再结合（1）函数关系，即可求出x的值，从而求出y的值即可；
（3）先根据题意求出挎带总长度，再根据（2）的方法求出对应的x，y的值即可．
【详解】（1）解：描点画图略：
∵这些点分布在同一条直线上，
∴y是x的一次函数，
设y与x的函数解析式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，解得，
∴，
当时，，
当时，得，
解得，
∴y与x的函数解析式为，其图象如上图所示．
（2）解：根据题意，得，即，
解得，
当时，得，
解得，
∴此时双层部分的长度为；
（3）解：根据题意，挎带总长度为：，
则，即，
解得，
则，
∴此时挎包单层部分的长度为，双层部分的长度为．
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