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浙教版新版八上第五单元 新知超前
5.5.2 一次函数的简单应用2（原卷版）
一、图象交点与方程组
1. ______：两个一次函数图象的______，既是两个函数式的公共解，也是对应的______的解。
2. ______：在同一坐标系中画出两直线→读出______→即为方程组的解（可能是近似解）。
3. ______：解由两个函数表达式组成的方程组→得到精确的______。
二、两个一次函数方案比较
1. ______：交点处两个方案的______，是平衡点。
2. ______：①列出两个方案的函数表达式→②联立求______→③交点左侧选一种方案，右侧选另一种。
3. ______：游泳馆消费卡/复印社收费/通信套餐/商品打折方案等。
考点一 图象交点与方程组
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，直线与直线相交于点P，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
变式2．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点二 两个一次函数方案比较
例2．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（ ）
A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样
B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算
C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算
D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元
变式1．某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印社可供选择，其中甲复印社按每复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付200元的承包费，再按每复印100页材料收费元计费．已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、乙两复印社（针对该校）每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数图象如图所示，
据此回答以下问题：
(1)乙复印社复印800页材料时收费 元；
(2)求乙复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式；
(3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是 页．
变式2．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为_____元．
一、选择题
1．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，若一次函数的图象经过、两点．则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级下·广东·一轮复习）如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·河北·期末）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相同
D．不等式组的解集是
二、填空题
6．（25-26八年级下·全国·随堂练习）已知两条直线与的图像的交点坐标为，则方程组的解为______．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，两条直线，的交点坐标是________，可以看作方程组________的解．
8．（25-26八年级下·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为___________．
三、解答题
9．（25-26八年级下·全国·随堂练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数解析式；
(2)求D点的坐标；
(3)求的面积．
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浙教版新版八上第五单元 新知超前
5.5.2 一次函数的简单应用2（解析版）
一、图象交点与方程组
1. 核心联系：两个一次函数图象的交点坐标，既是两个函数式的公共解，也是对应的二元一次方程组的解。
2. 图象法解方程组：在同一坐标系中画出两直线→读出交点坐标→即为方程组的解（可能是近似解）。
3. 代数法求交点：解由两个函数表达式组成的方程组→得到精确的交点坐标。
二、两个一次函数方案比较
1. 交点意义：交点处两个方案的费用（或结果）相同，是平衡点。
2. 方法：①列出两个方案的函数表达式→②联立求交点→③交点左侧选一种方案，右侧选另一种（根据k的大小判断）。
3. 常见类型：游泳馆消费卡/复印社收费/通信套餐/商品打折方案等。
考点一 图象交点与方程组
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解集为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为；
故选A．
变式1．如图，直线与直线相交于点P，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．由图象得出两条直线的交点即可求出方程组的解．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
方程组的解是，
故选：D．
变式2．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解与对应的两条一次函数图象交点坐标的关系，解题的关键是理解二元一次方程组的解就是其对应的两条直线的交点坐标．
确认直线方程与方程组中方程的对应关系，根据“方程组的解是两直线交点坐标”直接得出结果．
【详解】解析：二元一次方程组的解是其对应的两条一次函数图象交点的坐标．
已知方程组的解为，而直线
是方程的变形，直线是方程的变形，因此两直线的交点坐标即为方程组的解．
故选：B．
考点二 两个一次函数方案比较
例2．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（ ）
A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样
B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算
C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算
D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元
【答案】D
【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断．
【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方．
对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确；
对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确；
对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确；
对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和，
将，代入得，解得，
．
当时，，不是元，选项D错误；
综上，错误的说法是D．
变式1．某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印社可供选择，其中甲复印社按每复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付200元的承包费，再按每复印100页材料收费元计费．已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、乙两复印社（针对该校）每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数图象如图所示，
据此回答以下问题：
(1)乙复印社复印800页材料时收费 元；
(2)求乙复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式；
(3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是 页．
【答案】(1)320
(2)
(3)1000
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）根据“甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同”求解即可；
（2）先由（1）中数据求得a值，再根据乙复印社收费标准列函数关系式即可；
（3）求出甲复印社中y与x的函数关系式，根据“甲复印社比乙复印社每月收费多50元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，乙复印社复印800页材料时收费为（元），
故答案为：320；
（2）解：由（1）得，解得，
根据题意，乙复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式为，即；
（3）解：根据题意，甲复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式为，即，
由得，
故该学校复印材料的页数是1000页．
故答案为：1000．
变式2．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为_____元．
【答案】8
【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段和设的函数关系式，比较y值大小即可．
【详解】解：设y关于x的函数关系式为，
当时，将代入中得：
，
解得：，
∴；
当时，将代入中得：
，
解得：，
∴；
当时，，
当时，，
（元）．
故答案为：8．
一、选择题
1．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，若一次函数的图象经过、两点．则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答案即可．
【详解】解：如图所示：
不等式的解为：．
故选：A．
2．（25-26九年级下·广东·一轮复习）如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图象法求不等式的解集．利用图象法求不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知：时，直线不在直线的下方，
∴的解集为；
故选：C．
3．（25-26八年级下·河北·期末）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数与x轴的交点坐标，可求出直线与x轴的交点坐标为，再根据函数图象可得原不等式的解集为，据此可得答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴直线与x轴的交点坐标为，
∵直线与的交点的横坐标为，
∴关于x的不等式的解集为，
∴关于x的不等式的整数解为，
故选；D．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】依据题意，根据直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，，进而可以判断①②；依据题意，由一次函数与的图象的交点为，进而可以判断③．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题的关键是根据图象确定一次函数中k和b的值．
【详解】解：由题意得，直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，，
又结合图象可得，，
，，故①正确，②错误；
又一次函数与的图象的交点为，
方程组的解为，故③正确．
故选：C．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相同
D．不等式组的解集是
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可．
【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意；
B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意；
C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意；
D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意．
故选：A．
二、填空题
6．（25-26八年级下·全国·随堂练习）已知两条直线与的图像的交点坐标为，则方程组的解为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握“两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”是解题的关键．
根据一次函数与二元一次方程组的关系，直线交点坐标对应方程组的解．
【详解】解：∵两条直线（）与（）的图像的交点坐标为，
∴方程组的解为，
故答案为：．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，两条直线，的交点坐标是________，可以看作方程组________的解．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，熟悉一次函数图像中的交点表示的含义及二元一次方程组的解是解此题的关键．先根据图中两条直线的位置和已知点，确定直线的方程，然后求出这两条直线的交点坐标，最后将交点坐标与方程组对应起来即可．
【详解】解：由图可知，直线通过点和点，设直线的解析式为，直线通过点和点，设直线的解析式为，
∴设方程组，，
解得，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
联立直线和得，解得，
∴直线和的交点坐标为，
此时方程组的解可根据直线和的解析式表示．
故答案为：，．
8．（25-26八年级下·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为___________．
【答案】
【分析】本题考查由函数图象解不等式，掌握由函数图象求不等式解集的方法步骤是解决问题的关键．当时，直线图象在直线图象上方，故关于x的不等式的解集是．
【详解】解：由图可知，当时，直线图象在直线图象上方，故关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
三、解答题
9．（25-26八年级下·全国·随堂练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数解析式；
(2)求D点的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例函数的性质．
（1）首先根据正比例函数解析式求得的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式，令求得点的坐标；
（3）根据点的坐标，从而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，
．
把和代入，得
解得：
则一次函数解析式是；
（2）解：∵一次函数解析式是；
令，则，即点；
（3）解：
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