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第2节　电势差
学习目标　1.知道电势差的概念,知道电势差与零电势点的选择无关。2.掌握两点之间电势差的表达式,知道两点之间电势差正负的意义。3.知道在电场中移动电荷时静电力做功与两点之间电势差的关系,会应用UAB=进行相关计算。4.知道等势面的定义,知道电场线一定垂直于等势面。
知识点一　电势差
在对吊脚楼进行测量时,若测量起点改变,则吊脚楼上A点和B点的高度是否也相应改变 A、B两点的高度差h变化吗 同样,在电场中,选择不同的位置作为零电势点,电场中的同一点电势是否发生变化 猜想两点间的电势的差值是否发生变化
提示　是　不变化　是　不变化
1.定义:在电场中,两点之间电势的差值叫作电势差,也叫作电压。
2.公式:设电场中A点的电势为φA,B点的电势为φB,则它们之间的电势差可以表示为UAB=φA-φB,也可以表示为UBA=φB-φA,显然UAB=-UBA。
3.电势差的正负
电势差是标量,但有正、负。电势差的正、负表示两点电势的高低。所以电场中各点间的电势差可依次用代数法相加。
4.电势差的单位
在国际单位制中,电势差与电势的单位相同,均为伏特,符号是V。
5.静电力做功与电势差的关系
(1)公式推导:电荷q在电场中从A点移到B点时,WAB=EpA-EpB=q(φA-φB)=qUAB,即UAB=。
(2)公式:UAB=。
(3)对公式WAB=qUAB和UAB=的理解
①公式WAB=qUAB适用于任何电场,计算时要注意W与U的下角标要对应,如WAB=qUAB,WBA=qUBA。
②电势差UAB仅与电场中A、B两点的位置有关,可以利用来计算A、B两点间的电势差。
③WAB、UAB均可正可负,但代表的意义不同。WAB取正号,表示静电力做正功,UAB取正号,表示φA>φB;WAB取负号,表示静电力做负功,UAB取负号,表示φA<φB。
④WAB=qUAB中,静电力做的功WAB与移动电荷q的路径无关,只与初、末位置的电势差有关。
(4)电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差。
【思考】 电场中A、B、C、D四点的电势如图所示。
(1)A、C及A、B间的电势差各为多少 哪个较大
(2)若取D点电势为零,则A、B、C三点的电势各为多少 A、C及A、B间的电势差各为多少 通过以上计算说明电势、电势差各具有什么特点
提示　(1)UAC=15 V,UAB=10 V;UAC>UAB。
(2)φA=18 V,φB=8 V,φC=3 V;UAC=15 V,UAB=10 V;电势的大小与零电势点的选取有关,电势差的大小与零电势点的选取无关。
角度1　电势差的理解
例1 (多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解,正确的是(　　)
A.电势与电势差均是相对量,均与零电势点的选取有关
B.UAB和UBA是不同的,它们存在关系UAB=-UBA
C.φA、φB都有正、负,所以电势是矢量
D.若φB=0,则φA=UAB
答案　BD
解析　电势差与零电势点的选取无关,A错误;UAB=-UBA,B正确;电势虽有正、负之分,但电势是标量,C错误;由UAB=φA-φB知,若φB=0,则φA=UAB,D正确。
总结提升　电势差与电势的比较
电势φ 电势差U
区 别 定义 电势能与电荷量的比值φ= 静电力做功与电荷量的比值U=
决定因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定
相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关
联 系 数值关系 UAB=φA-φB,当φB=0时,UAB=φA
单位 相同,均是伏特(V)
标矢性 都是标量,且均具有正负
物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量
角度2　静电力做功和电势差的关系
例2 (2026·山东烟台高二月考)有一带电荷量q=-2×10-8 C的点电荷,从电场中的A点移到B点时静电力做功8×10-6 J,从B点移到C点时克服静电力做功1×10-5 J。
(1)求A与B、B与C、C与A间的电势差;
(2)取B点为零电势点,求A、C两点的电势;
(3)比较电荷在A、C两点的电势能的大小。
答案　(1)-400 V　500 V　-100 V
(2)-400 V　-500 V　(3)EpC>EpA
解析　(1)负点电荷从A点移到B点,静电力做功
WAB=8×10-6 J
负点电荷从B点移到C点,静电力做功
WBC=-1×10-5 J
A、B间的电势差UAB==-400 V
B、C间的电势差UBC==500 V
C、A间的电势差
UCA=-UAC=-(UAB+UBC)=-100 V。
(2)取B点为零电势点,由UAB=φA-φB得A点的电势φA=UAB=-400 V
由UBC=φB-φC得C点的电势φC=-UBC=-500 V。
(3)点电荷从A点移到C点,静电力做的功WAC=WAB+WBC=-2×10-6 J,静电力做负功,所以点电荷电势能增加,则EpC>EpA。
总结提升　静电力做功的四种求法
四种求法 表达式 注意问题
功的定义 W=Fd=qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离
功能关系 WAB=EpA-EpB =-ΔEp (1)既适用于匀强电场也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受静电力的情况,也适用于受多种力的情况
电势差法 WAB=qUAB
动能定理 W静电力+W其他力=ΔEk
知识点二　等势面
如图所示,在地图中,我们常用等高线来表示地势的高低,在同一条等高线上,所有点的海拔高度相同。在电场中,电势的高低可以怎样来表示呢
提示　可以将所有电势相同的点连接成面,不同的面电势高低不同。
1.定义:电场中电势相同的各点构成的面。
2.等势面的特点
(1)在同一等势面上移动电荷时,静电力不做功。
(2)电场线跟等势面在交点处垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。
(3)两个不同的等势面永不相交。
3.四种常见的典型电场的等势面对比
电场 等势面(实线) 特征描述
匀强 电场 垂直于电场线的一簇等间距平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异 种点电 荷的电场 连线的中垂面上的电势为零
等量同 种正点 电荷的 电场 连线上,中点电势最低,而在中垂线上,中点电势最高。关于中点对称的两点电势相等
说明:(1)以上图中两个相邻的等势面之间的电势差是相等的,这样的等势面称为等差等势面。
(2)由图可知,在电场线密集的地方,等差等势面密集,电场强度大;在电场线稀疏的地方,等差等势面稀疏,电场强度小。
4.等势面的应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低。
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时静电力做功的情况。
(3)由于等势面和电场线垂直,已知等势面的形状分布,可以绘制电场线,从而确定电场大体分布。
(4)由等差等势面的疏密,可以定性地比较其中两点电场强度的大小。
5.等势面和电场线关系的应用
(1)已知等势面的情况,可作等势面的垂线来确定电场线,并由“电势降低”的方向确定电场线方向。
(2)已知电场线时,可作电场线的垂线来确定等势面,并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。
【思考】
为什么说电场中的两个等势面不能相交
提示　对于一个确定的电场,在规定了零电势点的前提下,电场中某点的电势是确定(唯一)的。如果电场中有两个等势面相交,则交点就具有两个电势,这与电场中某点的电势是确定(唯一)的相矛盾。所以电场中两个等势面不相交。
例3 (2025·云南卷,4)某介电电泳实验使用非匀强电场,该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上,则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
答案　C
解析　由题意可知相邻两等势线间的电势差相等,则题图中的等势线为等差等势线,由等差等势线密处电场强度大可知,a点的电场强度最大,c点的电场强度最小,A、B错误;一个电子从b点移动到c点的过程,电场力做功为Wbc=qUbc,又q=-e,Ubc=φb-φc,代入数据解得Wbc=2 eV,C正确;同理,一个电子从a点移动到d点的过程,电场力做功为Wad=qUad,又Uad=φa-φd,代入数据解得Wad=4 eV,该过程电子的电势能减少了4 eV,D错误。
训练1 (多选)(2026·广东广州高二期中)如图中虚线表示“∧”形带电导体下方电场的电场线或等势面分布示意图,其中c、d是同一条虚线上的两点,b是另一条虚线上的一点,a是导体尖角下方的一点。下列说法正确的是(　　)
A.虚线表示等势面
B.b点的电场强度小于c点的电场强度
C.电子在a点的电势能大于在c点的电势能
D.电荷从c点运动到d点,静电力做正功
答案　AB
解析　电场线起始于正电荷(或无穷远),终止于无穷远(或负电荷),由题图可知,图中的虚线不是起于导体,可知虚线是等势面,故A正确;等势线越密的地方,电场强度越大,可知b点的电场强度小于c点的电场强度,故B正确;等势面的电势高低不能确定,则不能确定电子在a点的电势能与在c点的电势能的关系,故C错误;因为c、d在同一等势面上,则电荷从c点运动到d点,静电力不做功,故D错误。
训练2 (多选)(2026·辽宁沈阳一中高二月考)如图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图,图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图,相邻两等势面间电势差相等,则(　　)
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子,电势能不变
答案　CD
解析　由题图可知M点靠近带负电的极杆,P点靠近带正电的极杆,则P点的电势比M点的电势高,A错误;等差等势面的疏密程度反映电场强度的大小,由题图(b)可知M点处的等势面密,则M点的电场强度大,B错误;由对称性可知两带正电的极杆在M点产生的电场强度方向沿z轴正方向,两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向,则由电场强度的叠加可知M点的电场强度方向沿z轴正方向,C正确;由对称性可知x轴上的电场强度为零,则带电粒子沿x轴运动时始终不受电场力的作用,所以电场力不做功,电势能保持不变,D正确。
随堂对点自测
1.(对电势差的理解)下列关于电势差的说法正确的是(　　)
A.两点间的电势差等于将电荷从其中一点移到另一点时静电力所做的功
B.将1 C的电荷从电场中一点移到另一点,如果静电力做了1 J的功,那么这两点间的电势差就是1 V
C.在两点间移动电荷时,静电力做功的多少跟这两点间的电势差无关
D.两点间电势差的大小跟放入这两点间的电荷所带的电荷量成反比
答案　B
解析　根据UAB=知,两点间的电势差在数值上等于在两点间移动单位正电荷时静电力所做的功,故选项A错误,B正确;静电力做的功WAB=qUAB,即静电力做的功与两点间的电势差有关,故选项C错误;两点间电势差与移动的电荷所带的电荷量及放不放电荷无关,故选项D错误。
2.(对等势面的理解)(多选)关于等势面、静电力做功和电场的关系,下列说法正确的是(　　)
A.在等势面上移动电荷,静电力总是不做功
B.电荷从A点移动到B点,静电力做功为零,则电荷一定是沿等势面移动的
C.在同一个等势面上的各点,电场强度的大小必然是相等的
D.电场线的方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面
答案　AD
解析　在等势面上移动电荷,电荷的电势能不变,静电力总是不做功,选项A正确;电荷从A点移动到B点,静电力做功为零,则电荷在A、B两点时的电势能相同,A、B两点的电势相等,但电荷不一定是沿等势面移动的,选项B错误;在同一个等势面上的各点,电场强度的大小不一定是相等的,例如在等量异种点电荷连线的中垂线上各点电势均相等,但是电场强度大小不一定相等,选项C错误;电场线的方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面,选项D正确。
3.(等势面的特点和应用) (多选)如图所示,实线表示一簇关于x轴对称的等势面,在x轴上有A、B两点,则(　　)
A.A、B两点的电场强度方向与x轴同向
B.A、B两点的电场强度方向与x轴反向
C.A点的电场强度EA大于B点的电场强度EB
D.A点的电场强度EA小于B点的电场强度EB
答案　AD
解析　由电场线与等势面的关系可知,电场线一定与等势面垂直,由电势较高的等势面指向电势较低的等势面,作出相对应的电场线的分布,如图所示。则可知A、B两点处的电场强度方向与x轴同向。由电场线的疏密可知,A点处的电场强度EA小于B点处的电场强度EB。选项A、D正确,B、C错误。
基础对点练
题组一　电势差
1.(多选)关于UAB=和WAB=qUAB,下列理解正确的是(　　)
A.电场中A、B两点间的电势差和两点间移动电荷的电荷量q成反比
B.在电场中A、B两点间移动不同的电荷,静电力做的功WAB和电荷量q成正比
C.UAB与q、WAB无关,与是否移动电荷也没有关系
D.WAB与q、UAB有关,与电荷移动的路径无关
答案　BCD
解析　电场中A、B两点间的电势差UAB与这两点在电场中的位置有关,与是否移动电荷和移动电荷的电荷量q及静电力做的功WAB都无关,选项A错误,C正确;移动电荷时,静电力做的功WAB与这两点的电势差UAB和所移动电荷的电荷量q都有关,但与电荷移动的路径无关,故B、D正确。
2.在电场中,A、B两点间的电势差UAB=60 V,B、C两点间的电势差UBC=-50 V,则A、B、C三点电势的高低关系是(　　)
A.φA>φB>φC B.φA<φC<φB
C.φA>φC>φB D.φC>φB>φA
答案　C
解析　因为UAB=φA-φB=60 V>0,所以φA>φB。又UBC=φB-φC=-50 V<0,所以φB<φC。又UAC=UAB+UBC=60 V+(-50 V)=10 V>0,所以φC<φA,得φA>φC>φB,C项正确。
3.(2026·河南郑州期中)如图所示,在O点放置一点电荷Q,以O为圆心作一圆。现将一试探电荷分别从圆上的B、C、D三点移到圆外的A点,下列说法正确的是(　　)
A.从B移到A的过程中静电力做功最少
B.从C移到A的过程中静电力做功最少
C.从D移到A的过程中静电力做功最多
D.从三点移到A的过程中静电力做功一样多
答案　D
解析　在O点放置一点电荷Q,以O为圆心作一圆,根据点电荷等势面的分布情况知,该圆是等势面,B、C、D三点在这个圆上,则三点的电势相等,因此A与B、C、D三点间的电势差相等,将一电荷分别从圆上的B、C、D三点移到圆外的A点的过程中,根据静电力做功公式W=qU可知,静电力做的功相等,故D正确。
4.在电场中将一带电荷量为q=-1.5×10-6 C的点电荷从A点移到B点,电势能减少3×10-4 J,电场中C点与A点的电势差UCA=100 V,将这一点电荷从B点移到C点,静电力做的功为(　　)
A.1.5×10-4 J B.-1.5×10-4 J
C.3.0×10-4 J D.-3.0×10-4 J
答案　B
解析　点电荷由A点移到B点,电势能减少,故静电力做正功,WAB=3×10-4 J,由UAB=得UAB= V=-200 V,又UCA=100 V,故UBC=UBA+UAC=-UAB-UCA=100 V,所以WBC=qUBC=-1.5×10-4 J,故B正确。
题组二　等势面
5.下列四个图中,a、b两点电势相等、电场强度也相同的是(　　)
答案　D
解析　匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面,A中a、b两点不在同一等势面上,所以,这两点的电势是不相等的,但这两点的电场强度相等;B中a、b两点在同一个等势面上,电势相等,但这两点的电场强度大小相等、方向不同;C中a、b两点对称于两等量正点电荷的连线,所以电势相等,但在中垂线上电场强度的方向是沿中垂线指向外侧,则这两点的电场强度方向不同;D中a、b两点的电势相等,而且电场强度的方向相同、大小相等,故D正确。
6.(多选)某静电场中的等势面如图中虚线所示,则(　　)
A.B点的电场强度比A点的大
B.A点的电势比C点的高
C.将电荷从A点移到B点,静电力不做功
D.负电荷在C点的电势能小于零
答案　ABC
解析　 等差等势面越密的地方电场线越密,电场强度越大,故A正确;A点的电势为零,C点的电势为-5 V,A点的电势比C点的高,故B正确;A点的电势与B点的电势相等,将电荷从A点移到B点,静电力不做功,故C正确;C点的电势小于零,负电荷在C点的电势能大于零,故D错误。
7.(2026·黑龙江哈尔滨高二期中)如图所示,虚线是某静电场的一簇标有电势值的等势线,一带电粒子仅在静电力作用下,恰能沿图中的实线从A经过B运动到C,则(　　)
A.粒子一定带负电
B.粒子从A到C的过程,静电力做负功
C.粒子从A到B静电力所做的功大于从B到C静电力所做的功
D.粒子在A处电势能大于在C处电势能
答案　B
解析　根据电场线与等势面垂直且电场线方向由高电势指向低电势,可知电场线方向大致向左,根据粒子轨迹的弯曲方向可知,粒子所受的静电力方向大致向左,则粒子一定带正电,故A错误;从A点运动到C点,静电力方向与速度方向的夹角为钝角,静电力做负功,电势能增加,故B正确,D错误;由图中数据可知UAB=UBC,根据公式W=qU,可知粒子从A到B静电力所做的功等于从B到C静电力所做的功,故C错误。
8.(2026·吉林东北师大附中高二月考)如图所示是用于离子聚焦的静电四极子场的截面图,四个电极对称分布,其中两个电极带正电荷,形成高电势+U,两个电极带负电荷,形成低电势-U。图中a、b、c、d四点为电场中的四个位置,下列说法正确的是(　　)
A.图中虚线表示电场线
B.a点的电势高于b点的电势
C.电荷在四个电极的表面分布均匀
D.c点的电场强度大小与d点的电场强度大小相等
答案　B
解析　四个电极都是等势面,由电场线与等势面垂直,可知图中虚线表示等势面,故A错误;a点的电势为零,b点电势小于零,则a点电势高于b点的电势,故B正确;每个电极附近的等势面分布的疏密不同,电极表面的电场线疏密不同,则电荷在每个电极的表面分布不均匀,故C错误;因c点等势面比d点密集,则c点电场线分布比d点密集,即c点的电场强度比d点的电场强度大,故D错误。
综合提升练
9.(多选)如图所示,真空中M、N处分别放置两等量异种点电荷,a、b、c表示电场中的3个等势面,d点和e点位于a等势面上,f点位于c等势面上,df平行于MN。以下说法正确的是(　　)
A.d点的电势高于f点的电势
B.d点的电势与e点的电势相等
C.若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点,则静电力先做正功、后做负功
D.若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点,试探电荷的电势能增加
答案　AB
解析　根据等量异种电荷的电场线和等势面分布特点可知,d点的电势高于f点的电势,故A正确;d点和e点在同一等势面上,所以两点电势相等,故B正确;若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点过程中,所受静电力方向与运动方向夹角为钝角,所以静电力一直做负功,故C错误;若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点,因d点和e点在同一等势面,电势相等,所以静电力做功为零,电势能不变,故D错误。
10.(多选)如图所示,足够大的匀强电场区域中,a、b、c、d为间距相等的一组竖直等势面,一质子以速率v0从等势面a上某点进入该电场,仅在静电力的作用下运动。若质子经过a、c等势面时动能分别为18 eV和6 eV。不计质子重力,下列说法正确的是(　　)
A.该匀强电场的电场强度的方向水平向左
B.质子一定能到达等势面d
C.若取等势面b为零电势面,则c所在等势面的电势为6 V
D.质子第二次经过等势面b时动能是6 eV
答案　AC
解析　根据题意,质子仅在静电力作用下由a到c过程,动能减小,静电力做负功,匀强电场的电场强度的方向水平向左,A正确;两次经过同一等势面的动能相等,因为是匀强电场,所以经过相邻等差等势面静电力所做负功相同,动能变化相同,即Eka-Ekb=Ekb-Ekc,解得Ekb=12 eV,所以质子经过等势面b时的动能是12 eV,D错误;若质子做匀变速直线运动,由功能关系可知,质子刚好可以到达等势面d,若质子做匀变速曲线运动,由功能关系可知质子不能到达等势面d,B错误;若取等势面b为零电势面,根据Ep=qφ可知,质子在等势面b的电势能为0,所以质子运动过程中的总能量E=Ekb+0=12 eV,根据能量守恒定律可知E=Ekc+Epc,解得Epc=6 eV,由Epc=qφc可得c所在等势面的电势为φc=6 V,C正确。
11.如图所示,三条曲线表示三条等势线,其电势φC=0,φA=φB=10 V,φD=-30 V,电荷量为q=1.2×10-6 C的正电荷在该电场中移动。
(1)把这个电荷从C移到D,静电力做功多少
(2)把这个电荷从D移到B再移到A,电势能变化多少
答案　(1)3.6×10-5 J　(2)增加了4.8×10-5 J
解析　(1)C、D间的电势差UCD=φC-φD=30 V
则WCD=qUCD=1.2×10-6×30 J=3.6×10-5 J。
(2)UDA=φD-φA=-30 V-10 V=-40 V
则WDA=qUDA=1.2×10-6×(-40) J
=-4.8×10-5 J
所以把这个电荷从D移到B再移到A,电势能增加了4.8×10-5 J。
培优加强练
12.如图所示,在真空中相距为r的A、B两点分别固定着电荷量均为Q的正点电荷,O为AB连线的中点,P为AB连线中垂线上的一点,∠PAO=60°,把电荷量为q=2.0×10-9 C的正试探电荷从P点移到O点克服电场力做了1.0×10-7 J的功,已知静电力常量为k。求:
(1)P点合电场强度的大小和方向;
(2)求P、O两点间的电势差UPO;
(3)若选P点为零电势点,求O点的电势φO。
答案　(1)　方向由O指向P
(2)-50 V　(3)50 V
解析　(1)如图所示,A、B两点的点电荷在P点产生的电场强度大小相等,有EAP=EBP=
故E合=2EAPcos 30°=
方向由O指向P。
(2)电场力做功WPO=qUPO
故UPO== V=-50 V。
(3)依据电势差的关系UPO=φP-φO
故φO=φP-UPO=0-(-50) V=50 V。(共59张PPT)
第2节　电势差
第十章　静电场中的能量
1.知道电势差的概念，知道电势差与零电势点的选择无关。
2.掌握两点之间电势差的表达式，知道两点之间电势差正负的意义。
3.知道在电场中移动电荷时静电力做功与两点之间电势差的关系，会应用UAB=进行相关计算。
4.知道等势面的定义，知道电场线一定垂直于等势面。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　等势面
知识点一　电势差
知识点一　电势差
　　　在对吊脚楼进行测量时，若测量起点改变，则吊脚楼上A点和B点的高度是否也相应改变 A、B两点的高度差h变化吗 同样，在电场中，选择不同的位置作为零电势点，电场中的同一点电势是否发生变化 猜想两点间的电势的差值是否发生变化
提示　是　不变化　是　不变化
1.定义：在电场中，两点之间电势的______叫作电势差，也叫作______。
2.公式：设电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则它们之间的电势差可以表示为UAB=______________，也可以表示为UBA=____________，显然UAB=____________。
3.电势差的正负
电势差是标量，但有正、负。电势差的正、负表示两点电势的高低。所以电场中各点间的电势差可依次用_________相加。
差值
电压
φA-φB
φB-φA
-UBA
代数法
4.电势差的单位
在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为______，符号是V。
5.静电力做功与电势差的关系
(1)公式推导：电荷q在电场中从A点移到B点时，WAB=______________=
q(φA-φB)=_____________，即UAB=。
(2)公式：UAB=。
伏特
EpA-EpB
qUAB
(3)对公式WAB=qUAB和UAB=的理解
①公式WAB=qUAB适用于任何电场，计算时要注意W与U的下角标要对应，如WAB=qUAB，WBA=qUBA。
②电势差UAB仅与电场中A、B两点的位置有关，可以利用来计算A、B两点间的电势差。
③WAB、UAB均可正可负，但代表的意义不同。WAB取正号，表示静电力做正功，UAB取正号，表示φA>φB;WAB取负号，表示静电力做负功，UAB取负号，表示φA<φB。
④WAB=qUAB中，静电力做的功WAB与移动电荷q的路径无关，只与初、末位置的电势差有关。
(4)电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差。
【思考】 电场中A、B、C、D四点的电势如图所示。
(1)A、C及A、B间的电势差各为多少 哪个较大
(2)若取D点电势为零，则A、B、C三点的电势各为多少
A、C及A、B间的电势差各为多少 通过以上计算说明电势、电势差各具有什么特点
提示　(1)UAC=15 V，UAB=10 V;UAC>UAB。
(2)φA=18 V，φB=8 V，φC=3 V;UAC=15 V，UAB=10 V;电势的大小与零电势点的选取有关，电势差的大小与零电势点的选取无关。
角度1　电势差的理解
例1 (多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是(　　)
A.电势与电势差均是相对量，均与零电势点的选取有关
B.UAB和UBA是不同的，它们存在关系UAB=-UBA
C.φA、φB都有正、负，所以电势是矢量
D.若φB=0，则φA=UAB
BD
解析　电势差与零电势点的选取无关，A错误;UAB=-UBA，B正确;电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错误;由UAB=φA-φB知，若φB=0，则φA=UAB，D正确。
总结提升　电势差与电势的比较
电势φ 电势差U
区 别 定义 电势能与电荷量的比值φ= 静电力做功与电荷量的比值U=
决定因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定
相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关
联 系 数值关系 UAB=φA-φB，当φB=0时，UAB=φA
单位 相同，均是伏特(V)
标矢性 都是标量，且均具有正负
物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量
角度2　静电力做功和电势差的关系
例2 (2026·山东烟台高二月考)有一带电荷量q=-2×10-8 C的点电荷，从电场中的A点移到B点时静电力做功8×10-6 J，从B点移到C点时克服静电力做功1×10-5 J。
(1)求A与B、B与C、C与A间的电势差;
解析　负点电荷从A点移到B点，静电力做功WAB=8×10-6 J
负点电荷从B点移到C点，静电力做功WBC=-1×10-5 J
A、B间的电势差UAB==-400 V,B、C间的电势差UBC==500 V
C、A间的电势差UCA=-UAC=-(UAB+UBC)=-100 V。
　答案　-400 V　500 V　-100 V
(2)取B点为零电势点，求A、C两点的电势;
解析　取B点为零电势点，由UAB=φA-φB得A点的电势φA=UAB=-400 V
由UBC=φB-φC得C点的电势φC=-UBC=-500 V。
答案 -400 V　-500 V　
(3)比较电荷在A、C两点的电势能的大小。
解析　点电荷从A点移到C点，静电力做的功WAC=WAB+WBC=-2×10-6 J，静电力做负功，所以点电荷电势能增加，则EpC>EpA。
答案　 EpC>EpA
总结提升　静电力做功的四种求法
四种求法 表达式 注意问题
功的定义 W=Fd=qEd (1)适用于匀强电场
(2)d表示沿电场线方向的距离
功能关系 WAB=EpA-EpB=-ΔEp (1)既适用于匀强电场也适用于非匀强电场
(2)既适用于只受静电力的情况，也适用于受多种力的情况
电势差法 WAB=qUAB
动能定理 W静电力+W其他力=ΔEk
知识点二　等势面
　　　如图所示，在地图中，我们常用等高线来表示地势的高低，在同一条等高线上，所有点的海拔高度相同。在电场中，电势的高低可以怎样来表示呢
提示　可以将所有电势相同的点连接成面，不同的面电势高低不同。
1.定义：电场中____________的各点构成的面。
2.等势面的特点
(1)在同一等势面上移动电荷时，静电力_________。
(2)电场线跟等势面在交点处______，并且由电势___的等势面指向电势___的等势面。
(3)两个不同的等势面永不______。
电势相同
不做功
垂直
高
低
相交
3.四种常见的典型电场的等势面对比
电场 等势面(实线) 特征描述
匀强 电场 垂直于电场线的一簇等间距平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
电场 等势面(实线) 特征描述
等量异 种点电 荷的电场 连线的中垂面上的电势为零
等量同 种正点 电荷的 电场 连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高。关于中点对称的两点电势相等
说明：(1)以上图中两个相邻的等势面之间的电势差是相等的，这样的等势面称为等差等势面。
(2)由图可知，在电场线密集的地方，等差等势面密集，电场强度大;在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏，电场强度小。
4.等势面的应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低。
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时静电力做功的情况。
(3)由于等势面和电场线垂直，已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布。
(4)由等差等势面的疏密，可以定性地比较其中两点电场强度的大小。
5.等势面和电场线关系的应用
(1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。
(2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。
【思考】
为什么说电场中的两个等势面不能相交
提示　对于一个确定的电场，在规定了零电势点的前提下，电场中某点的电势是确定(唯一)的。如果电场中有两个等势面相交，则交点就具有两个电势，这与电场中某点的电势是确定(唯一)的相矛盾。所以电场中两个等势面不相交。
例3 (2025·云南卷，4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
C
解析　由题意可知相邻两等势线间的电势差相等，则题图中的等势线为等差等势线，由等差等势线密处电场强度大可知，a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、B错误;一个电子从b点移动到c点的过程，电场力做功为Wbc=qUbc，又q=
-e，Ubc=φb-φc，代入数据解得Wbc=2 eV，C正确;同理，一个电子从a点移动到d点的过程，电场力做功为Wad=qUad，又Uad=φa-φd，代入数据解得Wad=4 eV，该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。
训练1 (多选)(2026·广东广州高二期中)如图中虚线表示“∧”形带电导体下方电场的电场线或等势面分布示意图，其中c、d是同一条虚线上的两点，b是另一条虚线上的一点，a是导体尖角下方的一点。下列说法正确的是(　　)
A.虚线表示等势面
B.b点的电场强度小于c点的电场强度
C.电子在a点的电势能大于在c点的电势能
D.电荷从c点运动到d点，静电力做正功
AB
解析　电场线起始于正电荷(或无穷远)，终止于无穷远(或负电荷)，由题图可知，图中的虚线不是起于导体，可知虚线是等势面，故A正确;等势线越密的地方，电场强度越大，可知b点的电场强度小于c点的电场强度，故B正确;等势面的电势高低不能确定，则不能确定电子在a点的电势能与在c点的电势能的关系，故C错误;因为c、d在同一等势面上，则电荷从c点运动到d点，静电力不做功，故D错误。
训练2 (多选)(2026·辽宁沈阳一中高二月考)如图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则(　　)
CD
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
解析　由题图可知M点靠近带负电的极杆，P
点靠近带正电的极杆，则P点的电势比M点的
电势高，A错误;等差等势面的疏密程度反映电
场强度的大小，由题图(b)可知M点处的等势面
密，则M点的电场强度大，B错误;由对称性可
知两带正电的极杆在M点产生的电场强度方向沿z轴正方向，两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向，则由电场强度的叠加可知M点的电场强度方向沿z轴正方向，C正确;由对称性可知x轴上的电场强度为零，则带电粒子沿x轴运动时始终不受电场力的作用，所以电场力不做功，电势能保持不变，D正确。
随堂对点自测
2
B
1.(对电势差的理解)下列关于电势差的说法正确的是(　　)
A.两点间的电势差等于将电荷从其中一点移到另一点时静电力所做的功
B.将1 C的电荷从电场中一点移到另一点，如果静电力做了1 J的功，那么这两点间的电势差就是1 V
C.在两点间移动电荷时，静电力做功的多少跟这两点间的电势差无关
D.两点间电势差的大小跟放入这两点间的电荷所带的电荷量成反比
解析　根据UAB=知，两点间的电势差在数值上等于在两点间移动单位正电荷时静电力所做的功，故选项A错误，B正确;静电力做的功WAB=qUAB，即静电力做的功与两点间的电势差有关，故选项C错误;两点间电势差与移动的电荷所带的电荷量及放不放电荷无关，故选项D错误。
AD
2.(对等势面的理解)(多选)关于等势面、静电力做功和电场的关系，下列说法正确的是(　　)
A.在等势面上移动电荷，静电力总是不做功
B.电荷从A点移动到B点，静电力做功为零，则电荷一定是沿等势面移动的
C.在同一个等势面上的各点，电场强度的大小必然是相等的
D.电场线的方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面
解析　在等势面上移动电荷，电荷的电势能不变，静电力总是不做功，选项A正确;电荷从A点移动到B点，静电力做功为零，则电荷在A、B两点时的电势能相同，A、B两点的电势相等，但电荷不一定是沿等势面移动的，选项B错误;在同一个等势面上的各点，电场强度的大小不一定是相等的，例如在等量异种点电荷连线的中垂线上各点电势均相等，但是电场强度大小不一定相等，选项C错误;电场线的方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面，选项D正确。
AD
3.(等势面的特点和应用) (多选)如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在x轴上有A、B两点，则(　　)
A.A、B两点的电场强度方向与x轴同向
B.A、B两点的电场强度方向与x轴反向
C.A点的电场强度EA大于B点的电场强度EB
D.A点的电场强度EA小于B点的电场强度EB
解析　由电场线与等势面的关系可知，电场线一定与等势面垂直，由电势较高的等势面指向电势较低的等势面，作出相对应的电场线的分布，如图所示。则可知A、B两点处的电场强度方向与x轴同向。由电场线的疏密可知，A点处的电场强度EA小于B点处的电场强度EB。选项A、D正确，B、C错误。
课后巩固训练
3
基础对点练
BCD
题组一　电势差
1.(多选)关于UAB=和WAB=qUAB，下列理解正确的是(　　 )
A.电场中A、B两点间的电势差和两点间移动电荷的电荷量q成反比
B.在电场中A、B两点间移动不同的电荷，静电力做的功WAB和电荷量q成正比
C.UAB与q、WAB无关，与是否移动电荷也没有关系
D.WAB与q、UAB有关，与电荷移动的路径无关
解析　电场中A、B两点间的电势差UAB与这两点在电场中的位置有关，与是否移动电荷和移动电荷的电荷量q及静电力做的功WAB都无关，选项A错误，C正确;移动电荷时，静电力做的功WAB与这两点的电势差UAB和所移动电荷的电荷量q都有关，但与电荷移动的路径无关，故B、D正确。
C
2.在电场中，A、B两点间的电势差UAB=60 V，B、C两点间的电势差UBC=-50 V，则A、B、C三点电势的高低关系是(　　)
A.φA>φB>φC B.φA<φC<φB
C.φA>φC>φB D.φC>φB>φA
解析　因为UAB=φA-φB=60 V>0，所以φA>φB。又UBC=φB-φC=-50 V<0，所以φB<φC。又UAC=UAB+UBC=60 V+(-50 V)=10 V>0，所以φC<φA，得φA>φC>φB，C项正确。
D
3.(2026·河南郑州期中)如图所示，在O点放置一点电荷Q，以O为圆心作一圆。现将一试探电荷分别从圆上的B、C、D三点移到圆外的A点，下列说法正确的是(　　)
A.从B移到A的过程中静电力做功最少
B.从C移到A的过程中静电力做功最少
C.从D移到A的过程中静电力做功最多
D.从三点移到A的过程中静电力做功一样多
解析　在O点放置一点电荷Q，以O为圆心作一圆，根据点电荷等势面的分布情况知，该圆是等势面，B、C、D三点在这个圆上，则三点的电势相等，因此A与B、C、D三点间的电势差相等，将一电荷分别从圆上的B、C、D三点移到圆外的A点的过程中，根据静电力做功公式W=qU可知，静电力做的功相等，故D正确。
B
4.在电场中将一带电荷量为q=-1.5×10-6 C的点电荷从A点移到B点，电势能减少3×10-4 J，电场中C点与A点的电势差UCA=100 V，将这一点电荷从B点移到C点，静电力做的功为(　　)
A.1.5×10-4 J B.-1.5×10-4 J
C.3.0×10-4 J D.-3.0×10-4 J
解析　点电荷由A点移到B点，电势能减少，故静电力做正功，WAB=3×10-4 J，由UAB=得UAB= V=-200 V，又UCA=100 V，故UBC=UBA+UAC=-UAB-UCA=100 V，所以WBC=qUBC=-1.5×10-4 J，故B正确。
D
题组二　等势面
5.下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相同的是(　　)
解析　匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的电场强度相等;B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的电场强度大小相等、方向不同;C中a、b两点对称于两等量正点电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上电场强度的方向是沿中垂线指向外侧，则这两点的电场强度方向不同;D中a、b两点的电势相等，而且电场强度的方向相同、大小相等，故D正确。
ABC
6.(多选)某静电场中的等势面如图中虚线所示，则(　 　)
A.B点的电场强度比A点的大
B.A点的电势比C点的高
C.将电荷从A点移到B点，静电力不做功
D.负电荷在C点的电势能小于零
解析　 等差等势面越密的地方电场线越密，电场强度越大，故A正确;A点的电势为零，C点的电势为-5 V，A点的电势比C点的高，故B正确;A点的电势与B点的电势相等，将电荷从A点移到B点，静电力不做功，故C正确;C点的电势小于零，负电荷在C点的电势能大于零，故D错误。
B
7.(2026·黑龙江哈尔滨高二期中)如图所示，虚线是某静电场的一簇标有电势值的等势线，一带电粒子仅在静电力作用下，恰能沿图中的实线从A经过B运动到C，则(　　)
A.粒子一定带负电
B.粒子从A到C的过程，静电力做负功
C.粒子从A到B静电力所做的功大于从B到C静电力所做的功
D.粒子在A处电势能大于在C处电势能
解析　根据电场线与等势面垂直且电场线方向由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向左，根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的静电力方向大致向左，则粒子一定带正电，故A错误;从A点运动到C点，静电力方向与速度方向的夹角为钝角，静电力做负功，电势能增加，故B正确，D错误;由图中数据可知UAB=UBC，根据公式W=qU，可知粒子从A到B静电力所做的功等于从B到C静电力所做的功，故C错误。
B
8.(2026·吉林东北师大附中高二月考)如图所示是用于离子聚焦的静电四极子场的截面图，四个电极对称分布，其中两个电极带正电荷，形成高电势+U，两个电极带负电荷，形成低电势-U。图中a、b、c、d四点为电场中的四个位置，下列说法正确的是(　　)
A.图中虚线表示电场线
B.a点的电势高于b点的电势
C.电荷在四个电极的表面分布均匀
D.c点的电场强度大小与d点的电场强度大小相等
解析　四个电极都是等势面，由电场线与等势面垂直，可知图中虚线表示等势面，故A错误;a点的电势为零，b点电势小于零，则a点电势高于b点的电势，故B正确;每个电极附近的等势面分布的疏密不同，电极表面的电场线疏密不同，则电荷在每个电极的表面分布不均匀，故C错误;因c点等势面比d点密集，则c点电场线分布比d点密集，即c点的电场强度比d点的电场强度大，故D错误。
综合提升练
AB
9.(多选)如图所示，真空中M、N处分别放置两等量异种点电荷，a、b、c表示电场中的3个等势面，d点和e点位于a等势面上，f点位于c等势面上，df平行于MN。以下说法正确的是(　　)
A.d点的电势高于f点的电势
B.d点的电势与e点的电势相等
C.若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点，则静电力
先做正功、后做负功
D.若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，试探电荷的电势能增加
解析　根据等量异种电荷的电场线和等势面分布特点可知，d点的电势高于f点的电势，故A正确;d点和e点在同一等势面上，所以两点电势相等，故B正确;若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点过程中，所受静电力方向与运动方向夹角为钝角，所以静电力一直做负功，故C错误;若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，因d点和e点在同一等势面，电势相等，所以静电力做功为零，电势能不变，故D错误。
AC
10.(多选)如图所示，足够大的匀强电场区域中，a、b、c、d为间距相等的一组竖直等势面，一质子以速率v0从等势面a上某点进入该电场，仅在静电力的作用下运动。若质子经过a、c等势面时动能分别为18 eV和6 eV。不计质子重力，下列说法正确的是(　　)
A.该匀强电场的电场强度的方向水平向左
B.质子一定能到达等势面d
C.若取等势面b为零电势面，则c所在等势面的电势为6 V
D.质子第二次经过等势面b时动能是6 eV
解析　根据题意，质子仅在静电力作用下由a到c过程，动
能减小，静电力做负功，匀强电场的电场强度的方向水平
向左，A正确;两次经过同一等势面的动能相等，因为是匀
强电场，所以经过相邻等差等势面静电力所做负功相同，
动能变化相同，即Eka-Ekb=Ekb-Ekc，解得Ekb=12 eV，所以
质子经过等势面b时的动能是12 eV，D错误;若质子做匀变
速直线运动，由功能关系可知，质子刚好可以到达等势面d，若质子做匀变速曲线运动，由功能关系可知质子不能到达等势面d，B错误;若取等势面b为零电势面，根据Ep=qφ可知，质子在等势面b的电势能为0，所以质子运动过程中的总能量E=Ekb+0=12 eV，根据能量守恒定律可知E=Ekc+Epc，解得Epc=6 eV，由Epc=qφc可得c所在等势面的电势为φc=6 V，C正确。
11.如图所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC=0，φA=φB=10 V，φD=-30 V，电荷量为q=1.2×10-6 C的正电荷在该电场中移动。
(1)把这个电荷从C移到D，静电力做功多少
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少
答案　(1)3.6×10-5 J　(2)增加了4.8×10-5 J
解析　(1)C、D间的电势差UCD=φC-φD=30 V
则WCD=qUCD=1.2×10-6×30 J=3.6×10-5 J。
(2)UDA=φD-φA=-30 V-10 V=-40 V
则WDA=qUDA=1.2×10-6×(-40) J
=-4.8×10-5 J
所以把这个电荷从D移到B再移到A，电势能增加了4.8×10-5 J。
12.如图所示，在真空中相距为r的A、B两点分别固定着电荷量均为Q的正点电荷，O为AB连线的中点，P为AB连线中垂线上的一点，∠PAO=60°，把电荷量为q=2.0×10-9 C的正试探电荷从P点移到O点克服电场力做了1.0×10-7 J的功，已知静电力常量为k。求：
培优加强练
(1)P点合电场强度的大小和方向;
(2)求P、O两点间的电势差UPO;
(3)若选P点为零电势点，求O点的电势φO。
答案　(1)　方向由O指向P (2)-50 V　(3)50 V
解析　(1)如图所示，A、B两点的点电荷在P点产生的电场强度大小相等，有EAP=EBP=
故E合=2EAPcos 30°=
方向由O指向P。
(2)电场力做功WPO=qUPO
故UPO== V=-50 V。
(3)依据电势差的关系UPO=φP-φO
故φO=φP-UPO=0-(-50) V=50 V。
本节内容结束
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