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第3节　电势差与电场强度的关系
学习目标　1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB=Ed,能够推导出这个关系式。2.知道电场强度的另一种关系,了解电场强度的另一个单位“伏每米”的意义。3.会用关系式UAB=Ed或E=进行有关的计算。
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
如图甲所示,在电场强度为E的匀强电场中,A、B是相距为d且沿电场方向上的两点,其电势差为UAB,现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功。
(2)通过A、B间的电势差计算静电力所做的功。
(3)比较两次计算功的大小并总结电势差与电场强度的关系。
(4)如果A、B两点不在同一条电场线上(如图乙),上述结论还成立吗 请尝试进行论证。
提示　(1)WAB=Fd=qEd。
(2)WAB=qUAB。
(3)两次计算功的大小相等,有UAB=Ed。
(4)WAB=Flcos θ=Fd=qEd,WAB=qUAB,得UAB=Ed,故仍成立。
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
(2)公式:UAB=Ed。
(3)适用条件:匀强电场。
2.公式E=的意义
(1)意义:在匀强电场中,电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。
(2)电场强度的另一种表述:电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
(3)电场强度的另一个单位:由E=可导出电场强度的另一个单位,即伏每米,符号为V/m。1 V/m=1 N/C。
3.匀强电场中两点间电势差的三种求法
(1)应用定义式UAB=φA-φB来求解。
(2)应用关系式UAB=来求解。
(3)应用关系式UAB=Ed来求解。
例1 如图所示,在匀强电场中,电荷量q=5.0×10-10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点,静电力做功都是3.0×10-8 J,已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形,ab=20 cm,∠a=37°,∠c=90°,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)a、b两点的电势差Uab;
(2)匀强电场的电场强度大小和方向。
答案　(1)60 V
(2)375 V/m　方向平行于ac且由a指向c
解析　因为正电荷从a到b和从a到c,静电力做功相等,所以由W=qU可得Uab=Uac,b、c两点在同一等势面上,根据电场线与等势面垂直,可知电场强度方向与ac平行,垂直指向bc。
(1)a、b两点的电势差为
Uab== V=60 V。
(2)由U=Ed可得
E=== V/m=375 V/m
电场强度方向平行于ac,且由a指向c。
训练1 如图所示,在匀强电场中,将一电荷量为2×10-4 C的负电荷由A点移到B点,其电势能增加了0.2 J,已知A、B两点间距离为2 cm,两点连线与电场方向成60°角,求:
(1)电荷由A移到B的过程中,静电力所做的功WAB;
(2)A、B两点间的电势差UAB;
(3)该匀强电场的电场强度E。
答案　(1)-0.2 J　(2)1 000 V　(3)1×105 V/m
解析　(1)因负电荷由A移到B的过程中,负电荷的电势能增加了ΔEp=0.2 J,所以这个过程中静电力对负电荷所做的功WAB=-ΔEp=-0.2 J。
(2)A、B两点间的电势差
UAB== V=1 000 V。
(3)匀强电场的电场强度
E== V/m=1×105 V/m。
知识点二　定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.UAB=Ed只适用于匀强电场的定量计算,在非匀强电场中,不能进行定量计算,但可以定性地分析有关问题。
2.在同一幅等势面图中,相邻等差等势面间的间距越小(等差等势面越密),电场强度E就越大。
实例分析:如图甲所示,在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大;如图乙所示,a、b、c为某条电场线上的三个点,且距离ab=bc,由于电场线越密的地方电场强度越大,故Uab【思考】 在电场中沿着电场线方向电势降低,如图所示,ab=bc,若a点电势为8 V,b点电势为6 V,c点电势为4 V 吗 请说明理由。
提示　不一定,a、b、c为某条电场线上的三个点,且ab=bc,由于不知电场的性质,所以电势差Uab与Ubc的大小关系不能确定。
例2 (2026·山东临沂一中高二期中)熔喷布是一种过滤材料,广泛应用于医疗、卫生、环保等领域。熔喷布经过静电驻极处理后,其纤维表面形成持久的静电场,可以持续吸附空气中的微小颗粒,提高过滤效率。静电驻极处理装置中针状电极与平板电极间形成的电场如图所示,b为ac的中点,bd连线平行于平板电极,下列说法正确的是(　　)
A.a点电场强度比c点的小
B.b、d两点在同一等势面上
C.a、b两点间电势差等于b、c两点间电势差
D.带电颗粒由a点运动到b点的过程中静电力做功一定比由b点运动到c点静电力做功多
答案　D
解析　由题图知,a点电场线比c点电场线密集,因此a点电场强度比c点的大,A错误;b、d连线垂直于b点所在的电场线,并不垂直于d点的电场线,由于电场线和等势面垂直,因此b、d两点不在同一等势面上,故B错误;b为ac的中点,且a、b两点间的平均电场强度大于b、c两点间的平均电场强度,由U=Ed知,a、b两点间电势差大于b、c两点间电势差;根据W=qU可知,带电颗粒由a点运动到b点的过程中静电力做功一定比由b点运动到c点静电力做功多,故C错误,D正确。
训练2 (多选)如图中虚线为一组间距相等的同心圆,圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场,实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹,a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子(　　)
A.带负电
B.在c点受力最大
C.在b点的电势能大于在c点的电势能
D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
答案　CD
解析　物体做曲线运动时,合力方向指向轨迹的凹侧,说明粒子带正电,A错误;由库仑定律F=k知离圆心越远,粒子所受的力越小,B错误;粒子从b点到c点过程中,静电力做正功,电势能减小,C正确;点电荷的等势面与虚线重合,由U=Ed知Uab>Ubc,又静电力做功W=qU,则Wab>Wbc,由动能定理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化,D正确。
知识点三　用等分法确定匀强电场中的等势线和电场线
1.等分法:由于匀强电场中沿任意一条直线电势降落都是均匀的,如果把某两点间的距离等分为n段,则每段两端点间的电势差等于原电势差的,像这样采用等分间距求电势的方法,叫作等分法。
2.两个重要结论
结论1:匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=,如图甲所示。
结论2:匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD),同理有UAC=UBD,如图乙所示。
例3 (2025·河南卷,4)如图所示,在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点,其电势分别为6 V、4 V、2 V;a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向,则正确的是(　　)
答案　C
解析　取ac边的中点为d,则在匀强电场中有φd==4 V=φb,所以bd连线为该电场的等势线,又电场方向垂直于等势线,沿电场线方向电势逐渐降低,则a点的电场方向应从a指向c,C正确。
例4 (多选)(2025·湖南卷,8)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时,电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
答案　AD
解析　根据题意结合电势能公式有Ep=qφO=-qφA=2qφB,解得φO=、φA=-、φB=,则OA中点的电势为=0,A正确;在OA线段上找出一与B点等势的点M,可知xOM=d,BM连线为等势线,与BM连线垂直的线为电场线,如图所示,则根据几何关系可知,电场线与x轴正方向夹角的正切值tan θ=1,即θ=45°,根据电场强度与电势差的关系,有E==,B、C错误,D正确。
总结提升
1.等分法确定等势点的依据是:在匀强电场中,沿着电场方向的同一条直线上,两点之间的距离与两点之间的电势差成正比。
2.用“等分法”确定匀强电场的电场强度方向的方法:
先由等分法确定电势相等的点,画出等势线,然后根据电场线与等势面垂直画出电场线,且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面,确定电场强度的方向。
随堂对点自测
1.(UAB=Ed的理解)关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系,下列说法正确的是(　　)
A.任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
B.沿电场线方向上,相同距离上电势降落一定相等
C.电势降落的方向一定是电场强度的方向
D.电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向
答案　B
解析　公式UAB=Ed中的d是沿电场强度方向上两点间的距离,A错误;沿电场线方向上,相同距离上电势降落相等,B正确;在匀强电场中,沿不同方向电势均可降低,但沿电场强度方向电势降落最快,C、D错误。
2.(UAB=Ed的应用)如图所示,匀强电场的电场强度E=100 V/m,A、B两点相距10 cm,A、B连线与电场线夹角为60°,若取A点电势为0,则B点电势为(　　)
A.-10 V B.10 V
C.-5 V D.5 V
答案　C
解析　A、B两点沿电场线方向的距离d=lcos 60°=0.1× m=0.05 m,B点电势低于A点电势,UBA=-Ed=-100×0.05 V=-5 V,因UBA=φB-φA,φA=0,则φB=-5 V,C正确。
3.(定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系)如图所示的同心圆是电场中的一簇等差等势面,一个电子只在静电力作用下沿着直线由A到C运动时的速度越来越小,B为线段AC的中点,则下列说法正确的是(　　)
A.电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越小
B.电子沿AC方向运动时具有的电势能越来越大
C.电势差UAB=UBC
D.电势φA<φB<φC
答案　B
解析　由等势面分布和电子速度变化可知该电场类似于负点电荷周围的电场,电势φA>φB>φC,电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越大,A、D错误;根据电子只在静电力作用下沿着直线由A到C运动时的速度越来越小,可知电子具有的电势能越来越大,B正确;由于电场为非匀强电场,平均电场强度EAB4.(用等分法确定匀强电场中等势线和电场线)(多选)如图所示,在匀强电场中,有边长为5 cm的等边三角形ABC,三角形所在平面与匀强电场的电场线平行,O点为该三角形的中心,三角形各顶点的电势分别为φA=1 V、φB=3 V、φC=5 V,下列说法正确的是(　　)
A.O点电势为3 V
B.匀强电场的电场强度大小为80 V/m,方向由A指向C
C.在三角形ABC外接圆的周围上电势最低点的电势低于1 V
D.将电子由C点移到A点,电子的电势能增加了4 eV
答案　ACD
解析　AC中点D的电势φD==3 V,BOD连线为一条等势线,O点电势为3 V,A正确;匀强电场的电场强度大小为E== V/m=80 V/m,方向由C指向A,B错误;在三角形ABC外接圆的周围上电动势最低点应该是平行于AC的直径与圆周的交点,A的电势为1 V,则电势最低点低于1 V,C正确;将电子由C点移到A点,电势降低4 V,电子的电势能增加了4 eV,D正确。
基础对点练
题组一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.对公式E=和UAB=Ed的理解,下列说法正确的是(　　)
A.公式UAB=Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B.由UAB=Ed知,A点和B点间距离越大,则这两点间的电势差越大
C.由E=知,匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大,则电场强度越小
D.公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离
答案　D
解析　公式UAB=Ed只适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差,故A错误;由UAB=Ed知,当E一定时,A点和B点间沿电场线方向距离越大,则这两点间的电势差越大,故B错误;匀强电场电场强度处处相同,与两点沿电场线的距离无关,故C错误;公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离,即沿电场线方向的距离,故D正确。
2.如图所示是匀强电场中的一组等势面,每两个相邻等势面的距离是25 cm,由此可确定电场强度的方向及大小为(　　)
A.竖直向下,E=0.4 N/C
B.水平向右,E=0.4 N/C
C.水平向左,E=40 N/C
D.水平向右,E=40 V/m
答案　D
解析　题图为一组等差等势面,电场方向垂直等势面且指向电势降低的方向,故电场强度方向水平向右,电场强度的大小E== V/m=40 V/m,故D正确。
3.空气中的负氧离子对人的健康极为有益,人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法。如图所示,在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电,电压达5 000 V左右,使空气发生电离,从而产生负氧离子(负氧离子为-1价离子),使空气清新化。针状负极与环形正极间距为5 mm,且视为匀强电场,电场强度为E,电场对负氧离子的作用力大小为F,则(　　)
A.E=103 N/C,F=1.6×10-16 N
B.E=106 N/C,F=1.6×10-16 N
C.E=103 N/C,F=1.6×10-13 N
D.E=106 N/C,F=1.6×10-13 N
答案　D
解析　针状负极与环形正极间的电场为匀强电场,所以E== V/m=106 V/m;负氧离子受力F=qE=1.6×10-19×106 N=1.6×10-13 N,故D正确。
4.如图所示,A、B、C是匀强电场中一直角三角形的三个顶点,其中∠C=30°,AB方向与电场方向平行,AC边长0.8 m。已知A、C两点的电势φA=9 V,φC=3 V,下列说法正确的是(　　)
A.匀强电场的电场强度大小为7.5 V/m
B.匀强电场的电场强度大小为15 V/m
C.匀强电场的电场强度大小为5 V/m
D.B点和C点电势不相等
答案　B
解析　由题图可知,BC与电场线方向垂直为等势面,则φB=φC=3 V,由几何关系知dAB=dACsin 30°=0.8× m=0.4 m,则匀强电场的电场强度大小为E== V/m=15 V/m,故A、C、D错误,B正确。
题组二　定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系
5.如图所示,在某电场中画出了四条电场线,C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA=30 V,B点的电势为φB=0,则(　　)
A.C点的电势φC=20 V
B.C点的电势φC<20 V
C.C点的电势φC>20 V
D.A、B、C都不正确
答案　B
解析　由题图知,AC段电场线比CD段、DB段电场线密,则AC段电场强度最大,根据公式U=Ed可知,A、C间电势差UAC大于C、D间电势差UCD和D、B间电势差UDB。所以UAC>UAB=(φA-φB)=10 V,即φA-φC>10 V,又φA=30 V,可知φC<20 V,故B正确。
6.(多选)如图所示,一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称,O、M、N是y轴上的三个点,且OM=MN。P点在y轴右侧,MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点,静电力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
答案　AD
解析　根据电场线和等势面的关系,可以判断出M点的电势比P点的电势高,A正确;将负点电荷由O点移到P点,静电力做负功,B错误;由题图知,<,又OM=MN,根据U=Ed进行定性分析可知UMN题组三　用等分法确定匀强电场中的等势线和电场线
7.(多选)(2026·陕西西安高新一中月考)如图所示,A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为1 m的正六边形的六个顶点,A、B、C三点电势分别为4 V、5 V、6 V,正六边形所在平面与电场线平行,下列说法正确的是(　　)
A.直线CD和AF可构成电场中的两条等势线
B.匀强电场的电场强度大小为 V/m
C.匀强电场的电场强度方向由C指向A
D.将一个电子由B点移到D点,电子的电势能将减少2 eV
答案　AC
解析　如图所示,连接AC、BE,根据匀强电场的性质可知,AC中点G电势为5 V,与B点电势相等,则EB连线必为一条等势线,由正六边形的对称性,CD平行于EB,而匀强电场的等势面平行,则CD直线也是一条等势线,同理,AF直线也为等势线,故A正确;由几何知识可知,CA⊥EB,EB是等势线,则CA连线必为一条电场线,根据沿电场方向电势降低可知,电场强度的方向由C指向A,匀强电场的电场强度大小为E== V/m= V/m,故B错误,C正确;将一个电子由B点移到D点,静电力做功为WBD=-eUBD=-e(5 V-6 V)=1 eV,可知电子的电势能将减少1 eV,故D错误。
8.如图所示,在平面直角坐标系中,有一个方向平行于坐标平面的匀强电场,其中坐标原点O处的电势为0,点A处的电势为6 V,点B处的电势为3 V,则电场强度的大小为(　　)
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
答案　A
解析　在匀强电场中,任一线段中点的电势等于两端点电势之和的一半,故OA的中点C的电势φC=3 V(如图所示),因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d=sin α,而sin α==,所以d==1.5×10-2 m。匀强电场的电场强度大小E== V/m=200 V/m,故A正确。
综合提升练
9.平时我们所处的地球表面,实际上存在电场强度大小为100 V/m的电场,可将其视为匀强电场,在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点,其中a点位于金属杆正上方,b、c等高。则下列说法正确的是(　　)
A.b、c两点的电势差Ubc=0
B.a点电场强度大小大于100 V/m
C.a点电场强度方向水平向右
D.a点的电势低于c点
答案　B
解析　由题图可知,b、c两点的电势差为Ubc=φb-φc=200 V-300 V=-100 V,A错误;a点与相邻两等势面的距离均小于1 m,电势差等于100 V,根据E=可知a点电场强度大小大于100 V/m,B正确;已知a点位于金属杆正上方,则根据电场强度方向垂直于等势面可知a点的电场强度方向竖直向下,C错误;a点与c点在同一等势面上,电势均为300 V,φa=φc,D错误。
10.(多选)电荷量为+Q的点电荷与一无限大接地金属板(电势为零)MN相距为2d,所形成电场的电场线如图所示。图中P点与金属板相距为d,R点与P点关于点电荷对称,且测得P点电势为0.5 V。则下列说法正确的是(　　)
A.R点的电场强度大小大于P点的电场强度大小
B.带正电的试探电荷从R点移动到P点,静电力做功等于零
C.点电荷与金属板间的电势差大于1 V
D.金属板表面电势相等
答案　CD
解析　根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小,则R点的电场强度大小小于P点的电场强度大小,A错误;Q左侧电场强度大小小于右侧的电场强度大小,根据U=Ed,无穷远处电势为零,知R点电势大于0.5 V,带正电的试探电荷从R点移动到P点,静电力做功不等于零,B错误;P点左侧电场线比较密,则左侧的电场强度较大,根据U=Ed,知UQP>0.5 V,点电荷与金属板间的电势差大于1 V,C正确;金属板处于静电平衡状态,是等势体,表面是等势面,D正确。
11.(2026·内蒙古赤峰二中月考)如图所示,M、N两极板间匀强电场的电场强度大小E=2.4×104N/C,方向竖直向上。电场中A、B两点相距10 cm,A、B连线与电场方向的夹角θ=60°,A点和M板间的距离为2 cm。
(1)此时UAB等于多少
(2)一正点电荷的电荷量q=5×10-8 C,它在A、B两点的电势能之差为多少 若M板接地,A点电势是多少 B点电势是多少
答案　(1)1 200 V　(2)6×10-5 J　-480 V　
-1 680 V
解析　(1)由U=Ed得A、B两点间的电势差
UAB=E·cos θ=2.4×104×10×10-2×0.5 V=1 200 V。
(2)正点电荷在电势高处电势能大,它在A、B两点间的电势能之差为
EpA-EpB=qUAB=5×10-8×1 200 J=6×10-5J
若M板接地,M板电势为0
UMA=φM-φA=E·=480 V
则φA=-480 V
φB=φA-UAB=-480 V-1 200 V=-1 680 V。
培优加强练
12.为了使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线由A点匀速运动到B点,必须对该电荷施加一个恒力F。如图所示,若AB=0.4 m,θ=37°,q=-3.0×10-7 C,F=1.5×10-4 N,A点电势φA=100 V。不计电荷所受到的重力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)在图中用实线画出电场线,用虚线画出通过A、B两点的等势线,并标明A点的电势;
(2)求q由A点运动到B点的过程中电势能的改变量及B点的电势。
答案　(1)见解析图　(2)4.8×10-5 J　-60 V
解析　(1)负电荷q由A点匀速运动到B点,说明负电荷q受到的静电力与力F大小相等,方向相反,故电场线方向与力F方向相同,等势线垂直于该点的电场线,如图所示。
(2)负电荷由A点运动到B点的过程中,静电力所做的功为
W=-F·ABcos θ
=-1.5×10-4×0.4×0.8 J=-4.8×10-5 J
根据功能关系可知ΔEp=-W=4.8×10-5 J
A、B两点的电势差为
UAB== J=160 V
根据W=qUAB=q(φA-φB)得,B点电势为
φB=φA-UAB=-60 V。(共57张PPT)
第3节　电势差与电场强度的关系
第十章　静电场中的能量
1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB=Ed，能够推导出这个关系式。
2.知道电场强度的另一种关系，了解电场强度的另一个单位“伏每米”的意义。
3.会用关系式UAB=Ed或E=进行有关的计算。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
知识点三　用等分法确定匀强电场中的等势线和电场线
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
　　　如图甲所示，在电场强度为E的匀强电场中，A、B是相距为d且沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功。
(2)通过A、B间的电势差计算静电力所做的功。
(3)比较两次计算功的大小并总结电势差与电场
强度的关系。
(4)如果A、B两点不在同一条电场线上(如图乙)，
上述结论还成立吗 请尝试进行论证。
提示　(1)WAB=Fd=qEd。
(2)WAB=qUAB。
(3)两次计算功的大小相等，有UAB=Ed。
(4)WAB=Flcos θ=Fd=qEd，WAB=qUAB，得UAB=Ed，故仍成立。
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中两点间的电势差等于____________与这两点_______________的距离的乘积。
(2)公式：UAB=______。
(3)适用条件：匀强电场。
电场强度
沿电场方向
Ed
2.公式E=的意义
(1)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的_________与两点______________________________之比。
(2)电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿______方向____________上降低的电势。电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
(3)电场强度的另一个单位：由E=可导出电场强度的另一个单位，即_________，符号为V/m。1 V/m=1 N/C。
电势差
沿电场强度方向的距离
电场
单位距离
伏每米
3.匀强电场中两点间电势差的三种求法
(1)应用定义式UAB=φA-φB来求解。
(2)应用关系式UAB=来求解。
(3)应用关系式UAB=Ed来求解。
例1 如图所示，在匀强电场中，电荷量q=5.0×10-10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，静电力做功都是3.0×10-8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab=20 cm，∠a=37°，∠c=90°，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)a、b两点的电势差Uab;
(2)匀强电场的电场强度大小和方向。
解析　因为正电荷从a到b和从a到c，静电力做功相等，所以由W=qU可得Uab=Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知电场强度方向与ac平行，垂直指向bc。
(1)a、b两点的电势差为Uab== V=60 V。
(2)由U=Ed可得E=== V/m=375 V/m
电场强度方向平行于ac，且由a指向c。
答案　(1)60 V (2)375 V/m　方向平行于ac且由a指向c
训练1 如图所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10-4 C的负电荷由A点移到B点，其电势能增加了0.2 J，已知A、B两点间距离为2 cm，两点连线与电场方向成60°角，求：
(1)电荷由A移到B的过程中，静电力所做的功WAB;
(2)A、B两点间的电势差UAB;
(3)该匀强电场的电场强度E。
答案　(1)-0.2 J　(2)1 000 V　(3)1×105 V/m
解析　(1)因负电荷由A移到B的过程中，负电荷的电势能增加了ΔEp=0.2 J，所以这个过程中静电力对负电荷所做的功WAB=-ΔEp=-0.2 J。
(2)A、B两点间的电势差
UAB== V=1 000 V。
(3)匀强电场的电场强度
E== V/m=1×105 V/m。
知识点二　定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.UAB=Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
2.在同一幅等势面图中，相邻等差等势面间的间距越小(等差等势面越密)，电场强度E就越大。
实例分析：如图甲所示，在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大;如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab=bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab【思考】 在电场中沿着电场线方向电势降低，如图所示，ab=bc，若a点电势为
8 V，b点电势为6 V，c点电势为4 V 吗 请说明理由。
提示　不一定，a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab=bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小关系不能确定。
D
例2 (2026·山东临沂一中高二期中)熔喷布是一种过滤材料，广泛应用于医疗、卫生、环保等领域。熔喷布经过静电驻极处理后，其纤维表面形成持久的静电场，可以持续吸附空气中的微小颗粒，提高过滤效率。静电驻极处理装置中针状电极与平板电极间形成的电场如图所示，b为ac的中点，bd连线平行于平板电极，下列说法正确的是(　　)
A.a点电场强度比c点的小
B.b、d两点在同一等势面上
C.a、b两点间电势差等于b、c两点间电势差
D.带电颗粒由a点运动到b点的过程中静电力做
功一定比由b点运动到c点静电力做功多
解析　由题图知，a点电场线比c点电场线密集，因此a点电场强度比c点的大，A错误;b、d连线垂直于b点所在的电场线，并不垂直于d点的电场线，由于电场线和等势面垂直，因此b、d两点不在同一等势面上，故B错误;b为ac的中点，且a、b两点间的平均电场强度大于b、c两点间的平均电场强度，由U=Ed知，a、b两点间电势差大于b、c两点间电势差;根据W=qU可知，带电颗粒由a点运动到b点的过程中静电力做功一定比由b点运动到c点静电力做功多，故C错误，D正确。
训练2 (多选)如图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子(　　)
A.带负电
B.在c点受力最大
C.在b点的电势能大于在c点的电势能
D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
CD
解析　物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明粒子带正电，A错误;由库仑定律F=k知离圆心越远，粒子所受的力越小，B错误;粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，C正确;点电荷的等势面与虚线重合，由U=Ed知Uab>Ubc，又静电力做功W=qU，则Wab>Wbc，由动能定理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。
知识点三　用等分法确定匀强电场中的等势线和电场线
1.等分法：由于匀强电场中沿任意一条直线电势降落都是均匀的，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法，叫作等分法。
2.两个重要结论
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=，如图甲所示。
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB=CD，则UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD)，同理有UAC=UBD，如图乙所示。
解析　取ac边的中点为d，则在匀强电场中有φd==4 V=φb，所以bd连线为该电场的等势线，又电场方向垂直于等势线，沿电场线方向电势逐渐降低，则a点的电场方向应从a指向c，C正确。
C
例3 (2025·河南卷，4)如图所示，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V;a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
例4 (多选)(2025·湖南卷，8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
AD
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
解析　根据题意结合电势能公式有Ep=qφO=-qφA=2qφB，解得φO=、φA=-、φB=，则OA中点的电势为=0，A正确;在OA线段上找出一与B点等势的点M，可知xOM=d，BM连线为等势线，与BM连线垂直的线为电场线，如图所示，则根据几何关系可知，电场线与x轴正方向夹角的正切值tan θ=1，即θ=45°，根据电场强度与电势差的关系，有E==，B、C错误，D正确。
总结提升
1.等分法确定等势点的依据是：在匀强电场中，沿着电场方向的同一条直线上，两点之间的距离与两点之间的电势差成正比。
2.用“等分法”确定匀强电场的电场强度方向的方法：
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面，确定电场强度的方向。
随堂对点自测
2
B
1.(UAB=Ed的理解)关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是(　　)
A.任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
B.沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等
C.电势降落的方向一定是电场强度的方向
D.电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向
解析　公式UAB=Ed中的d是沿电场强度方向上两点间的距离，A错误;沿电场线方向上，相同距离上电势降落相等，B正确;在匀强电场中，沿不同方向电势均可降低，但沿电场强度方向电势降落最快，C、D错误。
C
2.(UAB=Ed的应用)如图所示，匀强电场的电场强度E=
100 V/m，A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场线
夹角为60°，若取A点电势为0，则B点电势为(　　)
A.-10 V B.10 V
C.-5 V D.5 V
解析　A、B两点沿电场线方向的距离d=lcos 60°=0.1× m=0.05 m，B点电势低于A点电势，UBA=-Ed=-100×0.05 V=-5 V，因UBA=φB-φA，φA=0，则φB=-5 V，C正确。
B
3.(定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系)如图所示的同心圆是电场中的一簇等差等势面，一个电子只在静电力作用下沿着直线由A到C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是(　　)
A.电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越小
B.电子沿AC方向运动时具有的电势能越来越大
C.电势差UAB=UBC
D.电势φA<φB<φC
解析　由等势面分布和电子速度变化可知该电场类似于负点电荷周围的电场，电势φA>φB>φC，电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越大，A、D错误;根据电子只在静电力作用下沿着直线由A到C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，B正确;由于电场为非匀强电场，平均电场强度EABACD
4.(用等分法确定匀强电场中等势线和电场线)(多选)如图所示，在匀强电场中，有边长为5 cm的等边三角形ABC，三角形所在平面与匀强电场的电场线平行，O点为该三角形的中心，三角形各顶点的电势分别为φA=1 V、φB=3 V、φC=5 V，下列说法正确的是(　 　)
A.O点电势为3 V
B.匀强电场的电场强度大小为80 V/m，方向由A指向C
C.在三角形ABC外接圆的周围上电势最低点的电势低于1 V
D.将电子由C点移到A点，电子的电势能增加了4 eV
解析　AC中点D的电势φD==3 V，BOD连线为一条等
势线，O点电势为3 V，A正确;匀强电场的电场强度大小为
E== V/m=80 V/m，方向由C指向A，B错误;在三角形
ABC外接圆的周围上电动势最低点应该是平行于AC的直径
与圆周的交点，A的电势为1 V，则电势最低点低于1 V，C正确;将电子由C点移到A点，电势降低4 V，电子的电势能增加了4 eV，D正确。
课后巩固训练
3
基础对点练
D
题组一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.对公式E=和UAB=Ed的理解，下列说法正确的是(　　)
A.公式UAB=Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B.由UAB=Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点间的电势差越大
C.由E=知，匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小
D.公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离
解析　公式UAB=Ed只适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差，故A错误;由UAB=Ed知，当E一定时，A点和B点间沿电场线方向距离越大，则这两点间的电势差越大，故B错误;匀强电场电场强度处处相同，与两点沿电场线的距离无关，故C错误;公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离，即沿电场线方向的距离，故D正确。
D
2.如图所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面的距离是25 cm，由此可确定电场强度的方向及大小为(　　)
A.竖直向下，E=0.4 N/C
B.水平向右，E=0.4 N/C
C.水平向左，E=40 N/C
D.水平向右，E=40 V/m
解析　题图为一组等差等势面，电场方向垂直等势面且指向电势降低的方向，故电场强度方向水平向右，电场强度的大小E== V/m=40 V/m，故D正确。
D
3.空气中的负氧离子对人的健康极为有益，人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法。如图所示，在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电，电压达5 000 V左右，使空气发生电离，从而产生负氧离子(负氧离子为-1价离子)，使空气清新化。针状负极与环形正极间距为5 mm，且视为匀强电场，电场强度为E，电场对负氧离子的作用力大小为F，则(　　)
A.E=103 N/C，F=1.6×10-16 N
B.E=106 N/C，F=1.6×10-16 N
C.E=103 N/C，F=1.6×10-13 N
D.E=106 N/C，F=1.6×10-13 N
解析　针状负极与环形正极间的电场为匀强电场，所以E== V/m=106 V/m;负氧离子受力F=qE=1.6×10-19×106 N=1.6×10-13 N，故D正确。
B
4.如图所示，A、B、C是匀强电场中一直角三角形的三个顶点，其中∠C=30°，AB方向与电场方向平行，AC边长0.8 m。已知A、C两点的电势φA=9 V，φC=3 V，下列说法正确的是(　　)
A.匀强电场的电场强度大小为7.5 V/m
B.匀强电场的电场强度大小为15 V/m
C.匀强电场的电场强度大小为5 V/m
D.B点和C点电势不相等
解析　由题图可知，BC与电场线方向垂直为等势面，则φB=φC=3 V，由几何关系知dAB=dACsin 30°=0.8×
m=0.4 m，则匀强电场的电场强度大小为E==
V/m=15 V/m，故A、C、D错误，B正确。
B
题组二　定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系
5.如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA=30 V，B点的电势为φB=0，则(　　)
A.C点的电势φC=20 V
B.C点的电势φC<20 V
C.C点的电势φC>20 V
D.A、B、C都不正确
解析　由题图知，AC段电场线比CD段、DB段电场线密，则AC段电场强度最大，根据公式U=Ed可知，A、C间电势差UAC大于C、D间电势差UCD和D、B间电势差UDB。所以UAC>UAB=(φA-φB)=10 V，即φA-φC>10 V，又φA=30 V，可知φC<20 V，故B正确。
AD
6.(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM=MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
解析　根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确;将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误;由题图知，<，又OM=MN，根据U=Ed进行定性分析可知UMNAC
题组三　用等分法确定匀强电场中的等势线和电场线
7.(多选)(2026·陕西西安高新一中月考)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为1 m的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为4 V、
5 V、6 V，正六边形所在平面与电场线平行，下列说法正确的是(　　)
A.直线CD和AF可构成电场中的两条等势线
B.匀强电场的电场强度大小为 V/m
C.匀强电场的电场强度方向由C指向A
D.将一个电子由B点移到D点，电子的电势能将减少2 eV
解析　如图所示，连接AC、BE，根据匀强电场的性质可知，
AC中点G电势为5 V，与B点电势相等，则EB连线必为一条等
势线，由正六边形的对称性，CD平行于EB，而匀强电场的等
势面平行，则CD直线也是一条等势线，同理，AF直线也为等
势线，故A正确;由几何知识可知，CA⊥EB，EB是等势线，则
CA连线必为一条电场线，根据沿电场方向电势降低可知，电场强度的方向由C指向A，匀强电场的电场强度大小为E== V/m= V/m，故B错误，C正确;将一个电子由B点移到D点，静电力做功为WBD=-eUBD=-e(5 V-6 V)=1 eV，可知电子的电势能将减少1 eV，故D错误。
A
8.如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
解析　在匀强电场中，任一线段中点的电势等于两端点电势之和的一半，故OA的中点C的电势φC=3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d=sin α，而sin α==，所以d==1.5×10-2 m。匀强电场的电场强度大小E== V/m=200 V/m，故A正确。
综合提升练
B
9.平时我们所处的地球表面，实际上存在电场强度大小为100 V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高。则下列说法正确的是(　　)
A.b、c两点的电势差Ubc=0
B.a点电场强度大小大于100 V/m
C.a点电场强度方向水平向右
D.a点的电势低于c点
解析　由题图可知，b、c两点的电势差为Ubc=φb-φc=200 V-300 V=-100 V，A错误;a点与相邻两等势面的距离均小于1 m，电势差等于100 V，根据E=可知a点电场强度大小大于100 V/m，B正确;已知a点位于金属杆正上方，则根据电场强度方向垂直于等势面可知a点的电场强度方向竖直向下，C错误;a点与c点在同一等势面上，电势均为300 V，φa=φc，D错误。
CD
10.(多选)电荷量为+Q的点电荷与一无限大接地金属板(电势为零)MN相距为2d，所形成电场的电场线如图所示。图中P点与金属板相距为d，R点与P点关于点电荷对称，且测得P点电势为0.5 V。则下列说法正确的是(　　)
A.R点的电场强度大小大于P点的电场强度大小
B.带正电的试探电荷从R点移动到P点，静电力做功等于零
C.点电荷与金属板间的电势差大于1 V
D.金属板表面电势相等
解析　根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小，则R点的
电场强度大小小于P点的电场强度大小，A错误;Q左侧电场强
度大小小于右侧的电场强度大小，根据U=Ed，无穷远处电势
为零，知R点电势大于0.5 V，带正电的试探电荷从R点移动到
P点，静电力做功不等于零，B错误;P点左侧电场线比较密，
则左侧的电场强度较大，根据U=Ed，知UQP>0.5 V，点电荷
与金属板间的电势差大于1 V，C正确;金属板处于静电平衡状态，是等势体，表面是等势面，D正确。
11.(2026·内蒙古赤峰二中月考)如图所示，M、N两极板间匀强
电场的电场强度大小E=2.4×104N/C，方向竖直向上。电场中
A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场方向的夹角θ=60°，
A点和M板间的距离为2 cm。
(1)此时UAB等于多少
(2)一正点电荷的电荷量q=5×10-8 C，它在A、B两点的电势能之差为多少 若M板接地，A点电势是多少 B点电势是多少
答案　(1)1 200 V　(2)6×10-5 J　-480 V　-1 680 V
解析　(1)由U=Ed得A、B两点间的电势差
UAB=E·cos θ=2.4×104×10×10-2×0.5 V=1 200 V。
(2)正点电荷在电势高处电势能大，它在A、B两点间的电势能之差为
EpA-EpB=qUAB=5×10-8×1 200 J=6×10-5J
若M板接地，M板电势为0
UMA=φM-φA=E·=480 V
则φA=-480 V
φB=φA-UAB=-480 V-1 200 V=-1 680 V。
12.为了使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线由A点匀速运动到B点，必须对该电荷施加一个恒力F。如图所示，若AB=0.4 m，θ=37°，q=-3.0×10-7 C，F=1.5×10-4 N，A点电势φA=100 V。不计电荷所受到的重力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
培优加强练
(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明A点的电势;
(2)求q由A点运动到B点的过程中电势能的改变量及B点的电势。
答案　(1)见解析图　(2)4.8×10-5 J　-60 V
解析　(1)负电荷q由A点匀速运动到B点，说明负电荷q受到的静电力与力F大小相等，方向相反，故电场线方向与力F方向相同，等势线垂直于该点的电场线，如图所示。
(2)负电荷由A点运动到B点的过程中，静电力所做的功为
W=-F·ABcos θ
=-1.5×10-4×0.4×0.8 J=-4.8×10-5 J
根据功能关系可知ΔEp=-W=4.8×10-5 J
A、B两点的电势差为
UAB== J=160 V
根据W=qUAB=q(φA-φB)得，B点电势为
φB=φA-UAB=-60 V。
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