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专题提升三　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题　电场中的功能关系
学习目标　1.掌握带电粒子在电场中运动轨迹类问题的分析思路和方法。2.能够运用动能定理、能量守恒定律、功能关系等解决电场中的能量问题。
提升1　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题
1.速度方向:沿运动轨迹某点的切线方向。
2.判断受力方向:带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时,带正电的粒子所受静电力的方向沿电场线的切线方向,所受合力的方向指向轨迹曲线凹侧。
3.判断静电力做功的正负:若静电力与速度方向的夹角为锐角,则静电力做正功,电势能减少;若静电力与速度方向的夹角为钝角,则静电力做负功,电势能增加。
4.判断粒子的加速度变化:根据牛顿第二定律知,加速度变化取决于带电粒子在电场中所受合力的变化。其中静电力的大小变化可根据电场线(或等差等势面)的疏密情况来确定。
5.判断粒子运动的速度变化或动能的增减:根据动能定理知,若合力对粒子做正功,则粒子的动能增加,速度变大;若合力对粒子做负功,则粒子的动能减少,速度变小。
当然,粒子运动过程中动能、电势能的变化情况也可以根据能量守恒定律来判断。
类型1　电场线与粒子运动轨迹问题
例1 如图所示,实线表示某电场的电场线(方向未标出),虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹,设M点和N点的电势分别为φM、φN,粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN,速度大小分别为vM、vN,电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　)
A.vMaN B.vMC.φM<φN,EpM答案　D
解析　由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向向右偏,因粒子带负电,故电场线方向向左,由沿电场线方向电势降低,可知φN<φM,EpMvN,粒子若从M点运动到N点同样可得vM>vN。综上所述,选项D正确。
类型2　等势面与粒子运动轨迹问题
例2 (多选)两个固定的点电荷P、Q所形成电场的等势面如图中的虚线所示,一带电粒子以某一初速度从图中的d点进入电场,仅在静电力的作用下运动,运动轨迹如图中的实线所示。下列说法正确的是(　　)
A.点电荷P、Q带有等量同种电荷,粒子带负电
B.粒子从d点到a点的运动过程中,静电力先做正功后做负功
C.粒子从d点到a点运动的过程中,电势能先增大后减小
D.粒子经过a点和d点时的速度相同
答案　AC
解析　靠近点电荷P、Q处的等势面电势高,说明点电荷P、Q均带正电,则点电荷P、Q带等量同种电荷;根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧,ab段所受静电力方向大致斜向左下,ab段电场强度方向垂直等势面斜向右上,可知粒子带负电,故A正确;粒子从d点到a点运动的过程中,电势先减小后增大,粒子带负电,静电力先做负功后做正功,动能先减小后增大,电势能先增大后减小,故B错误,C正确;a点和d点的电势相等,即Uda=0,则粒子从d点到a点静电力所做总功为零,粒子在a点和d点的速度大小相等,但速度的方向不同,则两点的速度不相同,故D错误。
类型3　多粒子运动轨迹问题
例3 如图所示,一带正电的点电荷(不计重力)固定于O点,两虚线圆均以O为圆心,两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹,a、b、c、d、e为运动轨迹和虚线圆的交点。下列说法正确的是(　　)
A.M粒子带正电荷,N粒子带负电荷
B.M粒子在b点的动能大于它在a点的动能
C.N粒子在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
D.N粒子在每个位置具有的电势能与动能的总和一定相等
答案　D
解析　M粒子的运动轨迹向左弯曲,M粒子受到了引力作用,故M粒子带负电荷,而N粒子的运动轨迹向下弯曲,说明N粒子受到斥力作用,故N粒子带正电荷,选项A错误;由于M粒子带负电,故M粒子从a点到b点静电力对其做负功,动能减少,选项B错误;由于N粒子带正电,故从c点运动到d点的过程中,静电力做正功,选项C错误;对N粒子,由于只有电场力做功,N粒子的动能和电势能相互转化,但动能和电势能的和不变,所以N粒子在每个位置具有的电势能与动能的总和一定相等,选项D正确。
总结提升
电场线(等势面)与粒子运动轨迹问题的解题思路
(1)根据运动轨迹偏转方向,结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直,已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向,然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向。
(2)根据静电力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。
提升2　电场中的功能关系
1.只有静电力做功
只发生电势能和动能之间的相互转化,电势能与动能之和保持不变,功和能之间的关系为W电=-ΔE电=ΔEk。
2.只有静电力和重力做功
只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化,电势能、重力势能、动能三者之和保持不变,功和能之间的关系为W电+WG=-(ΔE电+ΔEp)=ΔEk。
3.多个力做功
多种形式的能参与转化,要根据不同力做功和不同形式的能之间的转化的对应关系分析,总功等于动能的变化,即W总=W电+W其他=ΔEk。
例4 (多选) (2026·山东青岛二中高二月考)如图所示,倾角为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上,斜面上方有平行斜面向上的匀强电场。一质量m=1 kg的带正电小物块(视为质点)自斜面底端以v0=6 m/s的初速度沿斜面向上运动,加速度大小a=3 m/s2,方向沿斜面向下,小物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中,小物块的(　　)
A.重力势能增加36 J B.电势能增加42 J
C.机械能增加18 J D.机械能减少24 J
答案　AC
解析　物块沿斜面向上运动,对物块进行受力分析,根据牛顿第二定律得mgsin θ+μmgcos θ-qE=ma,解得qE=7 N。物块沿斜面运动的位移为x==6 m,重力势能增加了ΔEp=mgh=mgxsin θ=36 J,A正确;静电力做正功,电势能减少,ΔEp'=-qEx=-42 J,即电势能减少42 J,B错误;机械能的变化量为ΔE=ΔEp+ΔEk=mgh-m=18 J,C正确,D错误。
训练 质量为m的带电小球射入匀强电场后,以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动,重力加速度为g,在小球下落h的过程中(　　)
A.小球的重力势能减少了2mgh
B.小球的动能增加了2mgh
C.静电力做功-2mgh
D.小球的电势能增加了3mgh
答案　D
解析　带电小球受到竖直向上的静电力和竖直向下的重力,由牛顿第二定律F电-mg=2mg,得F电=3mg,在下落过程中静电力做功W电=-3mgh,重力做功WG=mgh,总功W=W电+WG=-2mgh,根据功能关系可知,小球重力势能减少了mgh,电势能增加了3mgh,小球的动能减少了2mgh,故D正确。
随堂对点自测
1.(电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题)(多选)如图所示,在研究电子在电场中的运动时,得到了电子由a点运动到b点的轨迹,图中一组等间距虚线可能是电场线,也可能是等势线,则下列判断正确的有(　　)
A.如果虚线是电场线,则a点的电场强度大于b点的电场强度
B.如果虚线是电场线,则a点的电势高于b点的电势
C.如果虚线是等势线,则a点的电势低于b点的电势
D.如果虚线是等势线,则电子由a点运动到b点,电势能减小
答案　BCD
解析　若虚线是电场线,由题图可知该电场是匀强电场,故A错误;如果虚线是电场线,结合电子的运动轨迹知,电子受到向左的静电力,电场线方向向右,则a点的电势高于b点的电势,故B正确;如果虚线是等势线,结合电子的运动轨迹知,电子受到向下的静电力,电场线方向向上,则a点的电势低于b点的电势,电子由a点运动到b点,静电力做正功,电势能减小,故C、D正确。
2.(电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题)(多选)图中虚线为匀强电场中的等势面,两粒子M、N质量相等,所带电荷量的绝对值也相等。现将M、N从虚线上的O点以相同速率射出,两粒子在电场中运动的轨迹分别如图中两条实线所示。点a、b、c为实线与虚线的交点,已知O点电势高于c点。若不计重力,则(　　)
A.M带负电荷,N带正电荷
B.M带正电荷,N带负电荷
C.N在从O点运动至a点的路径中电势降低
D.M在O点和b点电势能相同
答案　BD
解析　由O点电势高于c点电势知,电场强度方向垂直虚线向下,由两粒子运动轨迹的弯曲方向知,N粒子所受静电力方向向上,M粒子所受静电力方向向下,故M粒子带正电,N粒子带负电,A错误,B正确;由电场方向垂直虚线向下可知,N在从O点运动至a
点的路径中电势升高,C错误;O、b两点位于同一等势线上,M在O、b两点的电势能相同,D正确。
3.(电场中的功能关系)如图,空间存在足够大的水平方向的匀强电场,绝缘的曲面轨道处于匀强电场中,曲面上有一带电金属块在力F的作用下沿曲面向上移动。已知金属块在向上移动的过程中,力F做功40 J,金属块克服静电力做功10 J,金属块克服摩擦力做功20 J,重力势能改变了30 J,则下列说法一定正确的是(　　)
A.电场方向水平向左
B.电场方向水平向右
C.在此过程中金属块电势能减少20 J
D.在此过程中金属块机械能增加10 J
答案　D
解析　因为不知道带电金属块的电性,所以无法判断电场方向,故A、B错误;克服静电力做功为10 J,则电势能增加10 J,故C错误;机械能的改变量等于除重力和弹力以外的其他力所做的总功,则有ΔE=40 J-10 J-20 J=10 J,故D正确。
基础对点练
题组一　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题
1.若带正电荷的小球在电场中运动,只受静电力作用,它在任意一段时间内(　　)
A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C.不一定沿电场线运动,但一定由高电势处向低电势处运动
D.不一定沿电场线运动,也不一定由高电势处向低电势处运动
答案　D
解析　小球的运动情况取决于合力和初速度的关系,小球只受到静电力的作用,是否沿电场线运动,还要看电场线是直线还是曲线,小球有没有初速度及初速度方向与电场线的关系,只有当电场线是直线且小球的运动方向沿着电场线时,小球才沿电场线运动,小球不一定由高电势处向低电势处运动,故A、B、C错误,D正确。
2.如图所示,O是一固定的点电荷,虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势面,正点电荷q仅在静电力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处,然后又运动到c处。b点为轨迹上离O点最近的点,由此可知(　　)
A.O为负点电荷
B.在整个过程中正点电荷q的电势能先变小后变大
C.在整个过程中正点电荷q的速度先变大后变小
D.在整个过程中,静电力做功为零
答案　D
解析　由运动轨迹分析可知正点电荷q受到库仑斥力的作用,O点为正点电荷,A错误;从a到b的过程正点电荷q受到的库仑力做负功,电势能增加,动能减小,速度变小,而从b到c的过程正点电荷q受到的库仑力做正功,电势能减少,动能增大,速度变大,B、C错误;由于a、c两点在同一等势面上,所以整个过程中静电力做功为零,D正确。
3.两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示,一带电粒子以某一速度从图中a点进入该电场,其运动轨迹如图中实线所示,a、e两点和b、d两点关于两点电荷连线对称。若该粒子只受静电力作用,则下列说法正确的是(　　)
A.粒子带正电
B.b点和d点的电场强度相同
C.a点和e点的电场强度相同
D.粒子从a点运动到e点的过程中,电势能先减少后增加
答案　C
解析　电场线与等势面垂直,且从高电势指向低电势,带电粒子所受静电力指向运动轨迹的凹侧,结合题图可知粒子带负电,A错误;两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面关于连线的中垂线对称,越靠近正点电荷,电势越高,关于两点电荷连线对称的点,电势相等,电场强度大小相等但方向不同(除连线的中垂线上对称的点),关于两点电荷连线中点对称的两点,电场强度相同,B错误,C正确;粒子从a点运动到e点的过程中,电势先降低后升高,由于粒子带负电,故电势能先增加后减少,D错误。
4.如图所示,实线为一匀强电场的电场线(方向未知),两个带电粒子甲和乙分别从A、C两点以垂直于电场线方向、且大小相同的初速度v0同时射入电场,粒子在电场中仅受静电力作用,其运动轨迹分别如图中虚线ABC与CDA所示,若甲是带正电的粒子,则下列说法正确的是(　　)
A.乙也是带正电的粒子
B.A点的电势低于C点的电势
C.甲、乙两粒子的电势能均减小
D.甲、乙两粒子的电荷量一定相等
答案　C
解析　甲、乙两粒子均在匀强电场中做曲线运动,根据合外力指向运动轨迹的凹侧可知,甲粒子所受静电力向右,又甲粒子带正电,则电场方向向右;乙粒子所受静电力向左,故乙粒子带负电,选项A错误;静电力对两粒子均做正功,由功能关系知甲、乙的电势能均减小,又正电荷在电势能大的地方电势高,则φA>φC,选项B错误,C正确;两粒子做类平抛运动,初速度大小相等,轨迹对称,可知两粒子加速度大小相同,由a=可知,两粒子的比荷相同,但电荷量不一定相等,选项D错误。
5.(2026·湖南长沙高二期中)如图所示,某次雷雨天气,带电云层和建筑物上的避雷针之间形成电场,图中虚线为该电场的三条等差等势面,实线为某带电粒子从A运动到B的轨迹,A、B为运动轨迹上的两点。带电粒子的重力不计,避雷针带负电。则(　　)
A.带电粒子带负电
B.避雷针尖端附近电势较高
C.带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度
D.带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能
答案　D
解析　根据带电粒子的运动轨迹可知,带电粒子受到指向曲线内侧的作用力,即带电粒子与带负电的避雷针之间为相互吸引力,带电粒子带正电,A错误;避雷针带负电,带电云层和建筑物上的避雷针之间形成的电场中,电场线指向避雷针,沿着电场线的方向,电势降低,由此可知,避雷针尖端附近电势较低,B错误;等差等势面越密集的位置,电场强度越强,由此可知,B点的电场强度大小大于A点的,由牛顿第二定律有a=,可知带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度,C错误;避雷针尖端附近电势较低,即φA>φB,根据电势能与电势的关系Ep=qφ,又因为粒子带正电,则带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能,D正确。
题组二　电场中的功能关系
6.(多选)(2026·河北石家庄高二月考)如图所示,三条平行且等间距的虚线表示电场中的三个等势面,其电势分别为10 V、20 V、30 V。实线是一带电的粒子(不计重力)在该区域内运动的轨迹,a、b、c为轨迹上的三点,已知带电粒子带电荷量为0.01 C,在a点处的动能为0.5 J,则该带电粒子(　　)
A.带正电
B.在b点的电势能为0.5 J
C.在b点的动能为零
D.在c点的动能为0.4 J
答案　AD
解析　由等势面与电场线垂直且电场线由高等势面指向低等势面可知,电场强度方向向上,粒子所受静电力指向轨迹的内侧,则静电力方向向上,粒子带正电,故A正确;粒子在b点的电势能Epb=qφb=0.01×30 J=0.3 J,故B错误;粒子在a点的总能量E=Epa+Eka=0.01×10 J+0.5 J=0.6 J,由能量守恒定律得粒子在b点处的动能Ekb=0.6 J-0.3 J=0.3 J,故C错误;由能量守恒定律得粒子在c点的动能Ekc=E-Epc=0.6 J-0.01×20 J=0.4 J,故D正确。
7.如图所示为一匀强电场,某带电粒子从A点运动到B点,在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J,静电力做的功为1.5 J,下列说法中正确的是(　　)
A.粒子带负电
B.粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C.粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D.粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
答案　D
解析　由粒子运动的轨迹可知粒子带正电,A错误;粒子从A到B的过程中静电力做正功,所以电势能减小,即粒子在A点的电势能比在B点多1.5 J,B错误;根据动能定理得W+WG=ΔEk=-0.5 J,所以粒子在A点的动能比在B点多0.5 J,C错误;静电力做正功,机械能增加,所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J,D正确。
8.(多选)质量为m的带电小球在匀强电场中以初速度v0水平抛出,小球的加速度方向竖直向下,其大小为g。则在小球竖直分位移为H的过程中,以下结论中正确的是(　　)
A.小球的电势能增加了
B.小球的动能增加了
C.小球的重力势能减少了
D.小球的机械能减少了
答案　BD
解析　分析小球的受力情况,根据牛顿第二定律可知mg-qE=ma,解得静电力qE=mg,方向竖直向上,在小球竖直分位移为H的过程中,静电力做功为-mgH,根据功能关系可知,小球的电势能增加mgH,机械能减小了mgH,故A错误,D正确;重力做功为mgH,则重力势能减少了mgH,故C错误;根据动能定理可知,合外力做功,动能增加了,故B正确。
综合提升练
9.(多选)如图所示,虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面,已知平面b上的电势为2 V,一电子经过a时的动能为10 eV,从a到d的过程中克服静电力所做的功为6 eV,下列说法正确的是(　　)
A.平面c上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面f
C.该电子经过平面d时,其电势能为4 eV
D.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案　AB
解析　电子从a到d的过程中克服静电力做功为6 eV,则a、d之间的电势差为6 V,匀强电场中间距相等的等势面为等差等势面,所以平面a、b、c、d、f的电势依次为4 V、2 V、0、-2 V、-4 V,A正确;因为电子的运动方向不一定与等势面垂直,所以电子可能不会到达平面f,B正确;Epd=eφd=2 eV,C错误;电子从a到b的过程中,克服静电力做功为2 eV,根据动能定理有-2 eV=m-10 eV,从a到d的过程中,克服静电力做功为6 eV,根据动能定理有-6 eV=m-10 eV,解得=,D错误。
10.(多选)(2026·浙江温州高二期末)静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示,一电子在电场中仅受静电力的作用,实线描绘出了其运动轨迹,虚线表示等势线,各等势线关于y轴对称,a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60 eV,各等势线的电势标注在图中,则(　　)
A.电子从a运动到c,静电力做正功
B.a、d两点的电势和电场强度均相同
C.电子在经过等势线c点时的动能为40 eV
D.电子从b运动到c,电势能先减少后增加
答案　AD
解析　由题图可知,c点电势高于a点电势,电子带负电,根据Ep=qφ可知,电子从a运动到c,电势能减少,则静电力做正功,故A正确;根据题图和对称性可知,a、d两点的电势相等,电场强度大小相等,但方向不同,故B错误;电子在电场中仅受静电力作用,所以电势能与动能之和保持不变,则有E总=Eka+Epa=Ekc+Epc,其中Eka=60 eV,Epa=-40 eV,Epc=-60 eV,可得电子在经过等势线c点时的动能为Ekc=80 eV,故C错误;电子从b运动到c,电势先增加后减少,根据Ep=qφ可知,电势能先减少后增加,故D正确。
11.一个质量为m、带有-q的电荷量的小物块,可在水平轨道Ox轴上运动,轴的O端有一个与轨道相垂直的固定墙面,轨道处于匀强电场中,场强大小为E,方向沿Ox轴正向,如图所示。小物块以初速度v0从x0处沿Ox轨道运动,运动时受到大小不变的摩擦力Ff的作用,且Ff答案　
解析　方法一:由题意知,小物块最终停在最左端,由动能定理得
W电+Wf=0-m(W电、Wf分别是静电力做的功和摩擦力做的功)
其中W电=qEx0,Wf=-Ffs
即qEx0-Ffs=-m
所以总路程为s=。
方法二:用能量守恒定律求解。
设小物块共通过路程s,克服摩擦力做功为Ffs,等于转化的内能。动能、电势能减少
ΔE=qEx0+m
内能增加ΔE'=Ffs
由ΔE=ΔE',解得s=。
培优加强练
12.如图所示的匀强电场,等势面是一簇互相平行的竖直平面,间隔均为d,各等势面电势已在图中标出,现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场,要使小球做直线运动,重力加速度为g,求:
(1)小球应带何种电荷及其电荷量;
(2)小球受到的合力的大小;
(3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。
答案　(1)正电荷　　(2)mg　(3)
解析　(1)作电场线如图(a)所示。
(a)　　　　　　(b)
由题意知,只有小球受到水平向左的静电力,静电力和重力的合力与初速度才可能在同一条直线上,如图(b)所示。只有当F合与v0在同一条直线上时才能使小球做直线运动,所以小球带正电,小球沿v0方向做匀减速直线运动。由几何关系知qE=mg
相邻等势面间的电势差为U,则E=
所以q==。
(2)由图(b)知,F合==mg。
(3)由动能定理得-F合xm=0-m
所以xm==。(共50张PPT)
专题提升三　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹
问题 电场中的功能关系
第十章　静电场中的能量
1.掌握带电粒子在电场中运动轨迹类问题的分析思路和方法。
2.能够运用动能定理、能量守恒定律、功能关系等解决电场中的能量问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　电场中的功能关系
提升1　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题
提升1　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题
1.速度方向：沿运动轨迹某点的切线方向。
2.判断受力方向：带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，带正电的粒子所受静电力的方向沿电场线的切线方向，所受合力的方向指向轨迹曲线凹侧。
3.判断静电力做功的正负：若静电力与速度方向的夹角为锐角，则静电力做正功，电势能减少;若静电力与速度方向的夹角为钝角，则静电力做负功，电势能增加。
4.判断粒子的加速度变化：根据牛顿第二定律知，加速度变化取决于带电粒子在电场中所受合力的变化。其中静电力的大小变化可根据电场线(或等差等势面)的疏密情况来确定。
5.判断粒子运动的速度变化或动能的增减：根据动能定理知，若合力对粒子做正功，则粒子的动能增加，速度变大;若合力对粒子做负功，则粒子的动能减少，速度变小。
当然，粒子运动过程中动能、电势能的变化情况也可以根据能量守恒定律来判断。
D
类型1　电场线与粒子运动轨迹问题
例1 如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，
虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，
设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加
速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　)
A.vMaN B.vMC.φM<φN，EpM解析　由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向向右偏，因粒子带负电，故电场线方向向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpMvN，粒子若从M点运动到N点同样可得vM>vN。综上所述，选项D正确。
类型2　等势面与粒子运动轨迹问题
例2 (多选)两个固定的点电荷P、Q所形成电场的等势面如图中的虚线所示，一带电粒子以某一初速度从图中的d点进入电场，仅在静电力的作用下运动，运动轨迹如图中的实线所示。下列说法正确的是(　　)
A.点电荷P、Q带有等量同种电荷，粒子带负电
B.粒子从d点到a点的运动过程中，静电力先做
正功后做负功
C.粒子从d点到a点运动的过程中，电势能先增大后减小
D.粒子经过a点和d点时的速度相同
AC
解析　靠近点电荷P、Q处的等势面电势高，说明点电
荷P、Q均带正电，则点电荷P、Q带等量同种电荷;根
据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，ab段所受静电
力方向大致斜向左下，ab段电场强度方向垂直等势面
斜向右上，可知粒子带负电，故A正确;粒子从d点到a
点运动的过程中，电势先减小后增大，粒子带负电，静电力先做负功后做正功，动能先减小后增大，电势能先增大后减小，故B错误，C正确;a点和d点的电势相等，即Uda=0，则粒子从d点到a点静电力所做总功为零，粒子在a点和d点的速度大小相等，但速度的方向不同，则两点的速度不相同，故D错误。
D
类型3　多粒子运动轨迹问题
例3 如图所示，一带正电的点电荷(不计重力)固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为运动轨迹和虚线圆的交点。下列说法正确的是(　　)
A.M粒子带正电荷，N粒子带负电荷
B.M粒子在b点的动能大于它在a点的动能
C.N粒子在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
D.N粒子在每个位置具有的电势能与动能的总和一定相等
解析　M粒子的运动轨迹向左弯曲，M粒子受到了引力
作用，故M粒子带负电荷，而N粒子的运动轨迹向下弯曲，
说明N粒子受到斥力作用，故N粒子带正电荷，选项A错
误;由于M粒子带负电，故M粒子从a点到b点静电力对其做
负功，动能减少，选项B错误;由于N粒子带正电，故从c点
运动到d点的过程中，静电力做正功，选项C错误;对N粒子，由于只有电场力做功，N粒子的动能和电势能相互转化，但动能和电势能的和不变，所以N粒子在每个位置具有的电势能与动能的总和一定相等，选项D正确。
总结提升
电场线(等势面)与粒子运动轨迹问题的解题思路
(1)根据运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向。
(2)根据静电力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。
提升2　电场中的功能关系
1.只有静电力做功
只发生电势能和动能之间的相互转化，电势能与动能之和保持不变，功和能之间的关系为W电=-ΔE电=ΔEk。
2.只有静电力和重力做功
只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能之间的关系为W电+WG=-(ΔE电+ΔEp)=ΔEk。
3.多个力做功
多种形式的能参与转化，要根据不同力做功和不同形式的能之间的转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，即W总=W电+W其他=ΔEk。
AC
例4 (多选) (2026·山东青岛二中高二月考)如图所示，倾角
为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有平行
斜面向上的匀强电场。一质量m=1 kg的带正电小物块(视
为质点)自斜面底端以v0=6 m/s的初速度沿斜面向上运动，
加速度大小a=3 m/s2，方向沿斜面向下，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中，小物块的(　　)
A.重力势能增加36 J B.电势能增加42 J
C.机械能增加18 J D.机械能减少24 J
解析　物块沿斜面向上运动，对物块进行受力分析，
根据牛顿第二定律得mgsin θ+μmgcos θ-qE=ma，解得
qE=7 N。物块沿斜面运动的位移为x==6 m，重
力势能增加了ΔEp=mgh=mgxsin θ=36 J，A正确;静电力做正功，电势能减少，ΔEp'=-qEx=-42 J，即电势能减少42 J，B错误;机械能的变化量为ΔE=ΔEp+ΔEk=mgh-m=18 J，C正确，D错误。
D
训练 质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，重力加速度为g，在小球下落h的过程中(　　)
A.小球的重力势能减少了2mgh B.小球的动能增加了2mgh
C.静电力做功-2mgh D.小球的电势能增加了3mgh
解析　带电小球受到竖直向上的静电力和竖直向下的重力，由牛顿第二定律F电-mg=2mg，得F电=3mg，在下落过程中静电力做功W电=-3mgh，重力做功WG=mgh，总功W=W电+WG=-2mgh，根据功能关系可知，小球重力势能减少了mgh，电势能增加了3mgh，小球的动能减少了2mgh，故D正确。
随堂对点自测
2
BCD
1.(电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题)(多选)如图所示，在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹，图中一组等间距虚线可能是电场线，也可能是等势线，则下列判断正确的有(　 　)
A.如果虚线是电场线，则a点的电场强度大于b点的电场强度
B.如果虚线是电场线，则a点的电势高于b点的电势
C.如果虚线是等势线，则a点的电势低于b点的电势
D.如果虚线是等势线，则电子由a点运动到b点，电势能减小
解析　若虚线是电场线，由题图可知该电场是匀强电场，故A错误;如果虚线是电场线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向左的静电力，电场线方向向右，则a点的电势高于b点的电势，故B正确;如果虚线是等势线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向下的静电力，电场线方向向上，则a点的电势低于b点的电势，电子由a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，故C、D正确。
BD
2.(电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题)(多选)图中虚线为匀强电场中的等势面，两粒子M、N质量相等，所带电荷量的绝对值也相等。现将M、N从虚线上的O点以相同速率射出，两粒子在电场中运动的轨迹分别如图中两条实线所示。点a、b、c为实线与虚线的交点，已知O点电势高于c点。若不计重力，则(　　)
A.M带负电荷，N带正电荷
B.M带正电荷，N带负电荷
C.N在从O点运动至a点的路径中电势降低
D.M在O点和b点电势能相同
解析　由O点电势高于c点电势知，电场强度方向垂直虚线向下，由两粒子运动轨迹的弯曲方向知，N粒子所受静电力方向向上，M粒子所受静电力方向向下，故M粒子带正电，N粒子带负电，A错误，B正确;由电场方向垂直虚线向下可知，N在从O点运动至a点的路径中电势升高，C错误;O、b两点位于同一等势线上，M在O、b两点的电势能相同，D正确。
D
3.(电场中的功能关系)如图，空间存在足够大的水平方向的匀强电场，绝缘的曲面轨道处于匀强电场中，曲面上有一带电金属块在力F的作用下沿曲面向上移动。已知金属块在向上移动的过程中，力F做功40 J，金属块克服静电力做功10 J，金属块克服摩擦力做功20 J，重力势能改变了30 J，则下列说法一定正确的是(　　)
A.电场方向水平向左
B.电场方向水平向右
C.在此过程中金属块电势能减少20 J
D.在此过程中金属块机械能增加10 J
解析　因为不知道带电金属块的电性，所以无法判断电场方向，故A、B错误;克服静电力做功为10 J，则电势能增加10 J，故C错误;机械能的改变量等于除重力和弹力以外的其他力所做的总功，则有ΔE=40 J-10 J-20 J=10 J，故D正确。
课后巩固训练
3
D
题组一　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题
1.若带正电荷的小球在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内(　　)
A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动
D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动
基础对点练
解析　小球的运动情况取决于合力和初速度的关系，小球只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，小球有没有初速度及初速度方向与电场线的关系，只有当电场线是直线且小球的运动方向沿着电场线时，小球才沿电场线运动，小球不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。
D
2.如图所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势面，正点电荷q仅在静电力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处。b点为轨迹上离O点最近的点，由此可知(　　)
A.O为负点电荷
B.在整个过程中正点电荷q的电势能先变小后变大
C.在整个过程中正点电荷q的速度先变大后变小
D.在整个过程中，静电力做功为零
解析　由运动轨迹分析可知正点电荷q受到库仑斥力的作用，O点为正点电荷，A错误;从a到b的过程正点电荷q受到的库仑力做负功，电势能增加，动能减小，速度变小，而从b到c的过程正点电荷q受到的库仑力做正功，电势能减少，动能增大，速度变大，B、C错误;由于a、c两点在同一等势面上，所以整个过程中静电力做功为零，D正确。
C
3.两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入该电场，其运动轨迹如图中实线所示，a、e两点和b、d两点关于两点电荷连线对称。若该粒子只受静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A.粒子带正电
B.b点和d点的电场强度相同
C.a点和e点的电场强度相同
D.粒子从a点运动到e点的过程中，电势能先减少后增加
解析　电场线与等势面垂直，且从高电势指向低电势，带
电粒子所受静电力指向运动轨迹的凹侧，结合题图可知粒
子带负电，A错误;两个固定的等量异种点电荷所形成电场
的等势面关于连线的中垂线对称，越靠近正点电荷，电势
越高，关于两点电荷连线对称的点，电势相等，电场强度大小相等但方向不同(除连线的中垂线上对称的点)，关于两点电荷连线中点对称的两点，电场强度相同，B错误，C正确;粒子从a点运动到e点的过程中，电势先降低后升高，由于粒子带负电，故电势能先增加后减少，D错误。
C
4.如图所示，实线为一匀强电场的电场线(方向未知)，两个带电粒子甲和乙分别从A、C两点以垂直于电场线方向、且大小相同的初速度v0同时射入电场，粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹分别如图中虚线ABC与CDA所示，若甲是带正电的粒子，则下列说法正确的是(　　)
A.乙也是带正电的粒子
B.A点的电势低于C点的电势
C.甲、乙两粒子的电势能均减小
D.甲、乙两粒子的电荷量一定相等
解析　甲、乙两粒子均在匀强电场中做曲线运动，根
据合外力指向运动轨迹的凹侧可知，甲粒子所受静电
力向右，又甲粒子带正电，则电场方向向右;乙粒子所
受静电力向左，故乙粒子带负电，选项A错误;静电力
对两粒子均做正功，由功能关系知甲、乙的电势能均
减小，又正电荷在电势能大的地方电势高，则φA>φC，选项B错误，C正确;两粒子做类平抛运动，初速度大小相等，轨迹对称，可知两粒子加速度大小相同，由a=可知，两粒子的比荷相同，但电荷量不一定相等，选项D错误。
D
5.(2026·湖南长沙高二期中)如图所示，某次雷雨天气，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成电场，图中虚线为该电场的三条等差等势面，实线为某带电粒子从A运动到B的轨迹，A、B为运动轨迹上的两点。带电粒子的重力不计，避雷针带负电。则(　　)
A.带电粒子带负电
B.避雷针尖端附近电势较高
C.带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度
D.带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能
解析　根据带电粒子的运动轨迹可知，带电粒子
受到指向曲线内侧的作用力，即带电粒子与带负
电的避雷针之间为相互吸引力，带电粒子带正电，
A错误;避雷针带负电，带电云层和建筑物上的避雷
针之间形成的电场中，电场线指向避雷针，沿着电
场线的方向，电势降低，由此可知，避雷针尖端附近电势较低，B错误;等差等势面越密集的位置，电场强度越强，由此可知，B点的电场强度大小大于A点的，由牛顿第二定律有a=，可知带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度，C错误;避雷针尖端附近电势较低，即φA>φB，根据电势能与电势的关系Ep=qφ，又因为粒子带正电，则带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能，D正确。
AD
题组二　电场中的功能关系
6.(多选)(2026·河北石家庄高二月考)如图所示，三条平行且等间距的虚线表示电场中的三个等势面，其电势分别为10 V、20 V、30 V。实线是一带电的粒子(不计重力)在该区域内运动的轨迹，a、b、c为轨迹上的三点，已知带电粒子带电荷量为0.01 C，在a点处的动能为0.5 J，则该带电粒子( 　)
A.带正电
B.在b点的电势能为0.5 J
C.在b点的动能为零
D.在c点的动能为0.4 J
解析　由等势面与电场线垂直且电场线由高等势面指向低
等势面可知，电场强度方向向上，粒子所受静电力指向轨
迹的内侧，则静电力方向向上，粒子带正电，故A正确;粒
子在b点的电势能Epb=qφb=0.01×30 J=0.3 J，故B错误;粒子
在a点的总能量E=Epa+Eka=0.01×10 J+0.5 J=0.6 J，由能量守恒定律得粒子在b点处的动能Ekb=0.6 J-0.3 J=0.3 J，故C错误;由能量守恒定律得粒子在c点的动能Ekc=E-Epc=0.6 J-0.01×20 J=0.4 J，故D正确。
D
7.如图所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J，下列说法中正确的是(　　)
A.粒子带负电
B.粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C.粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D.粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
解析　由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误;粒子从A到B的过程中静电力做正功，所以电势能减小，即粒子在A点的电势能比在B点多1.5 J，B错误;根据动能定理得W+WG=ΔEk=-0.5 J，所以粒子在A点的动能比在B点多0.5 J，C错误;静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J，D正确。
BD
8.(多选)质量为m的带电小球在匀强电场中以初速度v0水平抛出，小球的加速度方向竖直向下，其大小为g。则在小球竖直分位移为H的过程中，以下结论中正确的是(　　)
A.小球的电势能增加了
B.小球的动能增加了
C.小球的重力势能减少了
D.小球的机械能减少了
解析　分析小球的受力情况，根据牛顿第二定律可知mg-qE=ma，解得静电力qE=mg，方向竖直向上，在小球竖直分位移为H的过程中，静电力做功为-mgH，根据功能关系可知，小球的电势能增加mgH，机械能减小了mgH，故A错误，D正确;重力做功为mgH，则重力势能减少了mgH，故C错误;根据动能定理可知，合外力做功，动能增加了，故B正确。
AB
9.(多选)如图所示，虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V，一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服静电力所做的功为6 eV，下列说法正确的是(　　)
综合提升练
A.平面c上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面f
C.该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
解析　电子从a到d的过程中克服静电力做功为6 eV，
则a、d之间的电势差为6 V，匀强电场中间距相等的
等势面为等差等势面，所以平面a、b、c、d、f的电势
依次为4 V、2 V、0、-2 V、-4 V，A正确;因为电子的
运动方向不一定与等势面垂直，所以电子可能不会到
达平面f，B正确;Epd=eφd=2 eV，C错误;电子从a到b的过程中，克服静电力做功为2 eV，根据动能定理有-2 eV=m-10 eV，从a到d的过程中，克服静电力做功为6 eV，根据动能定理有-6 eV=m-10 eV，解得=，D错误。
AD
10.(多选)(2026·浙江温州高二期末)静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示，一电子在电场中仅受静电力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60 eV，各等势线的电势标注在图中，则(　　)
A.电子从a运动到c，静电力做正功
B.a、d两点的电势和电场强度均相同
C.电子在经过等势线c点时的动能为40 eV
D.电子从b运动到c，电势能先减少后增加
解析　由题图可知，c点电势高于a点电势，电子带
负电，根据Ep=qφ可知，电子从a运动到c，电势能
减少，则静电力做正功，故A正确;根据题图和对称
性可知，a、d两点的电势相等，电场强度大小相等，
但方向不同，故B错误;电子在电场中仅受静电力作用，所以电势能与动能之和保持不变，则有E总=Eka+Epa=Ekc+Epc，其中Eka=60 eV，Epa=-40 eV，Epc=-60 eV，可得电子在经过等势线c点时的动能为Ekc=80 eV，故C错误;电子从b运动到c，电势先增加后减少，根据Ep=qφ可知，电势能先减少后增加，故D正确。
11.一个质量为m、带有-q的电荷量的小物块，可在水平轨道Ox轴上运动，轴的O端有一个与轨道相垂直的固定墙面，轨道处于匀强电场中，场强大小为E，方向沿Ox轴正向，如图所示。小物块以初速度v0从x0处沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力Ff的作用，且Ff答案　
解析　方法一：由题意知，小物块最终停在最左端，
由动能定理得W电+Wf=0-m(W电、Wf分别是静电力做的功和摩擦力做的功)
其中W电=qEx0，Wf=-Ffs
即qEx0-Ffs=-m
所以总路程为s=。
方法二：用能量守恒定律求解。
设小物块共通过路程s，克服摩擦力做功为Ffs，等于转化的内能。动能、电势能减少ΔE=qEx0+m
内能增加ΔE'=Ffs
由ΔE=ΔE'，解得s=。
12.如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，重力加速度为g，求：
培优加强练
(1)小球应带何种电荷及其电荷量;
(2)小球受到的合力的大小;
(3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。
答案　(1)正电荷　　(2)mg　(3)
解析　(1)作电场线如图(a)所示。
(a)　　　　　　　 　(b)
由题意知，只有小球受到水平向左的静电力，静电力和重力的合力与初速度才可能在同一条直线上，如图(b)所示。只有当F合与v0在同一条直线上时才能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速直线运动。由几何关系知qE=mg
相邻等势面间的电势差为U，则E=
所以q==。
(2)由图(b)知，F合==mg。
(3)由动能定理得-F合xm=0-m
所以xm==。
本节内容结束
THANKS

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