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专题提升四　电场中的图像问题
学习目标　1.理解v-t图像的物理意义,并能结合电场性质分析带电粒子在电场中的运动。2.理解φ-x图像,Ep-x图像、E-x图像的物理意义,并能根据图像分析电场的电场强度、电势、电势能、电场力做功等问题。
提升1　v-t图像
根据v-t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化),可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况,进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
例1 一正电荷在电场中仅受静电力作用,从A点运动到B点,速度随时间变化的图像如图所示,tA、tB分别对应电荷在A、B两点的时刻,则下列说法中正确的是(　　)
A.A点的电场强度一定小于B点的电场强度
B.A点的电势一定低于B点的电势
C.电荷在A点的电势能一定大于在B点的电势能
D.从A到B的过程中,静电力对电荷做正功
答案　B
解析　根据速度—时间图像的斜率表示加速度,可知电荷在A点的加速度大于在B点的加速度,因为只受静电力,故电荷在A点所受的静电力大于在B点所受的静电力,推知EA>EB,A错误;正电荷从A点运动到B点,速度减小,动能减小,由能量守恒定律知电势能增大,则静电力对电荷做负功,根据φ=可知,电势升高,B正确,C、D错误。
训练1 一带正电粒子仅在静电力作用下从A点由静止开始做直线运动,其v-t图像为正弦曲线,如图所示。已知粒子在t1时刻运动到B点,t2时刻运动到C点,t3时刻运动到D点,t4时刻运动到E点,下列判断正确的是(　　)
A.A、E两点不重合
B.C、D两点电场强度大小关系为ECC.A、C、E三点的电势相等
D.粒子从A点经B点运动到C点,电势能先增加后减少
答案　C
解析　由对称性可知,A、E两点重合,B、D两点重合,故A错误;由qE=ma可知,粒子加速度大时电场强度大,又速度—时间图像的斜率表示加速度,即t2时刻加速度大于t3时刻加速度,所以EC>ED,故B错误;粒子电势能与动能之和不变,A、C、E三点动能均为0,所以电势能相等,由φ=可知φA=φC=φE,故C正确;由题图可知,粒子由A到B速度增大,动能增加,电势能减少,由B到C速度减小,动能减少,电势能增加,故由A点经B点到C点电势能先减少后增加,故D错误。
提升2　E-x图像
1.E-x图像的意义:反映了沿x轴方向电场强度E随x变化的规律。
2.设x轴正方向为电场强度的正方向,E>0表示电场强度沿x轴正方向;E<0表示电场强度沿x轴负方向。
3.图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差大小,如图所示,两点的电势高低根据电场方向判定。
例2 (多选)如图甲所示,以O点为坐标原点,沿静电场方向建立x轴,A点与O点相距x0,由O点到A点的电场强度E随x的变化规律如图乙所示,x轴正方向为电场强度正方向,设O点的电势为0,一带电荷量为+q的粒子从O点由静止释放,只在静电力作用下开始运动,则(　　)
A.A点的电势为-E0x0
B.粒子运动到A点时,动能为qE0x0
C.粒子运动到A点时,电势能为qE0x0
D.粒子从O点运动到A点的过程中,速度变化越来越慢
答案　BD
解析　根据U=Ed,结合题图乙可知,E-x图像中图线与x轴所围成图形的面积表示电势差,电场强度沿x轴正方向,从O到A电势降低,则有UOA=E0x0,又UOA=φO-φA=0-φA,可得A点的电势为φA=-E0x0,A错误;粒子运动到A点时,根据动能定理有qUOA=Ek,解得Ek=qE0x0,B正确;粒子运动到A点时,电势能为Ep=qφA=-qE0x0,C错误;粒子从O点运动到A点的过程中,电场强度越来越小,所受静电力越来越小,加速度越来越小,所以速度变化越来越慢,D正确。
训练2 (多选)空间中存在沿x轴正方向的电场,x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图所示。下列叙述正确的是(　　)
A.x1、x2两处的电势相同
B.电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能
C.x=0处与x1处两点之间的电势差为U=
D.电子沿x轴从x1处运动到x2处,静电力一直做负功
答案　BCD
解析　因电场方向沿x轴正方向,故x轴相当于一条电场线,沿电场方向电势降低,故>,A错误;电子受到的静电力方向和电场方向相反,故从x1到x2静电力做负功,电势能增大,则电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能,B、D正确;E-x图线与x轴围成的面积表示电势差,可得x=0处和x1处的电势差为U=,C正确。
提升3　φ-x图像
1.电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处φ-x图线的切线的斜率为零。
2.在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
3.在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后作出判断。
4.在φ-x图像中可以判断电场类型,如图所示,如果图线是曲线,则表示电场强度的大小是变化的,电场为非匀强电场;如果图线是倾斜的直线,则表示电场强度的大小是不变的,电场为匀强电场。
5.在φ-x图像中可知电场强度的方向,进而可以判断电荷在电场中的受力方向。
例3 (2025·海南卷,6)某静电场电势φ在x轴上的分布如图所示,图线关于φ轴对称,M、P、N是x轴上的三点,OM=ON;有一电子从M点静止释放,仅受x轴方向的静电力作用,则下列说法正确的是(　　)
A.P点电场强度沿x轴负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
答案　D
解析　由于沿电场线方向电势不断降低,则结合题图可知x<0时,电场强度沿x轴负方向,x>0时,电场强度沿x轴正方向,则P点电场强度沿x轴正方向,A错误;由于φ-x图像关于φ轴对称,且OM=ON,则φ-x图像上M点、N点切线斜率的绝对值相等,又φ-x图像上某点切线斜率的绝对值表示电场强度大小,所以M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小,B错误;电子从P点到N点过程,所受静电力沿x轴负方向,静电力做负功 ,则动能减少,即电子在P点的动能大于在N点的动能,C错误;由题图可知M点电势小于P点电势,由于电子带负电,则结合电势能公式Ep=qφ可知电子在M点的电势能大于在P点的电势能,D正确。
训练3 (2026·江苏南京高二月考)x轴上各点电势随位置变化的图像如图所示,一电子仅在静电力的作用下沿x轴从A点向D点做直线运动,下列说法正确的是(　　)
A.电子到达O点时,动能为20 eV
B.电子从A到O点,先做匀加速运动,后做加速度逐渐减小的减速运动
C.从A到D,电子的动能先减少后增加
D.整个运动过程中,电子的电势能减少了40 eV
答案　D
解析　由于电子的初始动能未知,所以电子到达O点时,动能并非20 eV,故A错误;根据能量守恒定律可知,电子从A到O点,电势能减少,则动能增加,φ-x图像的斜率代表电场强度,则电子从A到O点,先做匀速运动,后做加速度逐渐增大的加速运动,故B错误;从A到B,电子的动能不变,从B到C电子动能增加,从C到D动能不变,故C错误;根据电势能的计算公式Ep=eφ,可知整个运动过程中,电子的电势能减少了40 eV,故D正确。
提升4　Ep-x图像
1.由Ep-x图像可知带电粒子在不同位置的电势能,在已知带电粒子带电量q的情况下,可由φ=求出任一位置的电势。
2.由Ep-x图像可求出任意两位置对应的电势能的变化量,进而确定静电力做功情况。
3.由功能关系可得ΔEp=qE·Δx,即qE=||,所以Ep-x图像切线的斜率表示带电粒子在该位置所受静电力的大小。
例4 (多选)如图甲所示,在某电场中建立x坐标轴,A、B为x轴上的两点,xA、xB分别为A、B两点在x轴上的坐标值。一电子仅在静电力作用下沿x轴运动,该电子的电势能Ep随其坐标x变化的关系如图乙所示,则下列说法正确的是(　　)
A.该电场一定不是孤立点电荷形成的电场
B.A点的电场强度小于B点的电场强度
C.电子由A点运动到B点的过程中静电力对其所做的功W=EpA-EpB
D.电子在A点的动能小于在B点的动能
答案　AC
解析　由题图乙可知,电子在A、B两点的电势能分别为EpA和EpB,且EpB>EpA,说明电子由A运动到B的过程中电势能增大,静电力做负功,静电力对其所做的功为W=EpA-EpB,选项C正确;电子仅在静电力作用下运动,静电力做负功,动能减小,故电子在A点的动能大于在B点的动能,选项D错误;由题图乙知该电场是匀强电场,A、B两点的电场强度相等,选项B错误;该电场一定不是孤立点电荷形成的电场,选项A正确。
训练4 (多选)a、b、c是静电场中一直线上的三个点,从a点释放一个初速度为零的电子,电子仅在静电力的作用下由a点经b点运动到c点,其电势能Ep随该电子位移x的变化关系如图所示,则(　　)
A.该电场可能是孤立的点电荷产生的
B.电子在a点的加速度大于在b点的加速度
C.电场中a点的电势大于b点的电势
D.电子从a点到c点的过程中,动能先增加后减少
答案　BD
解析　若该电场为孤立点电荷产生的电场,则电子的电势能应当单调变化,A错误;由Ep-x图像切线的斜率表示带电粒子在该位置所受静电力,图线在a点的斜率的绝对值大于b点的,故电子在a点的加速度也大于b点的,B正确;由题图可知,Epa>Epc>Epb,电子带负电,根据电势与电势能关系及能量守恒定律,可知φa<φc<φb,Eka随堂对点自测
1.(v-t图像)(多选)一点电荷仅在静电力的作用下运动,其速度—时间图像如图所示,其中ta和tb是电荷在电场中经过a、b两点的时刻,则下列说法正确的是(　　)
A.a、b两点电势φa>φb
B.a、b两点电场强度Ea=Eb
C.a、b两点电场强度Ea>Eb
D.点电荷从a运动到b的过程中静电力做正功,电势能减少
答案　CD
解析　图像是速度—时间图像,图像斜率表示加速度,可判断出ta时刻的加速度大于tb时刻的加速度,由a=可判断出a点的电场强度大,故B错误,C正确;根据动能定理可判断出从a点运动到b点静电力做正功,所以电势能减少,故D正确;因为不知道点电荷的电性,无法判断出a、b两点电势的高低,故A错误。
2.(E-x图像)(多选)静电场在x轴上的电场强度E随坐标x的变化关系如图所示,x轴正方向为电场强度的正方向,带正电的点电荷沿x轴运动,那么点电荷(　　)
A.由x1运动到x3的过程中电势能增大
B.由x1运动到x4的过程中静电力先增大后减小
C.由x1运动到x4的过程中电势能先增大后减小
D.在x2和x4处电势相等
答案　AB
解析　由题意可知,x1到x4的过程中电场方向沿x轴负方向,则带正电的点电荷由x1运动到x4的过程中,静电力一直做负功,电势能一直增大,根据沿电场线方向电势降低,可知x2处电势低于x4处电势,A正确,C、D错误;根据E-x图像,由x1运动到x4的过程中电场强度大小先增大后减小,静电力先增大后减小,B正确。
3.(φ-x图像)如图所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图像,一个带电粒子仅受静电力作用在x=0处由静止释放,沿x轴正方向运动,且以一定的速度通过x=x2处,则下列说法正确的是(　　)
A.x1和x2处的电场强度均为零
B.x1和x2之间的电场强度方向不变
C.粒子从x=0到x=x2过程中,电势能先增加后减少
D.粒子从x=0到x=x2过程中,加速度先减小后增大
答案　D
解析　φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度大小,A错误;由切线斜率的正负可知,x1和x2之间的电场强度方向先沿x轴负方向后沿x轴正方向,B错误;粒子在x=0处由静止沿x轴正方向运动,表明粒子开始运动的方向与静电力方向同向,静电力先做正功后做负功,电势能先减少后增加,C错误;由图线的切线斜率可知,从x=0到x=x2过程中电场强度先减少后增大,因此粒子的加速度先减小后增大,D正确。
基础对点练
题组一　v-t图像
1.(2025·湖南衡阳八中高二期末)如图甲是某电场中的一条电场线,a、b是这条线上的两点,一负电荷只受静电力作用,沿电场线从a运动到b。在这个过程中,电荷的速度—时间图像如图乙所示,请比较a、b两点电势的高低和电场强度的大小(　　)
A.φa>φb,EaC.φa<φb,Ea>Eb D.φa>φb,Ea>Eb
答案　B
解析　负电荷从a运动到b,由速度—时间图像得到负电荷做加速运动,故静电力方向向右,因负电荷受到的静电力方向与电场强度方向相反,故电场强度方向向左,沿电场强度方向,电势降低,故φa<φb;因为图线的斜率增大,故加速度增大,因此由a到b静电力增大,所以电场强度增大,即Ea2.(多选)如图所示,甲图实线为某一个静电场中方向未知的三条电场线,a、b两个带电粒子均从电场中的P点无初速释放,两粒子仅在电场力作用下均沿着中间的电场线做直线运动(不考虑a、b两粒子间的相互作用),a、b粒子的速度大小随时间变化的关系如图乙中实线所示,虚线为过坐标原点的倾斜直线,则(　　)
A.a粒子的加速度逐渐增大,b粒子的加速度逐渐减小
B.a粒子沿着电场线向左运动,b粒子沿着电场线向右运动
C.a粒子的电势能减小,b粒子的电势能增大
D.a粒子一定带正电,b粒子一定带负电
答案　AB
解析　因v-t 图像的斜率表示物体的加速度,由图像可知,a粒子的加速度逐渐增大,b粒子的加速度逐渐减小,A正确;在电场中,电场线密集的地方电场强度大,电场线稀疏的地方电场强度小,再结合静电力公式和牛顿第二定律得F=qE ,F=ma,分析可得a粒子沿着电场线向左运动,b粒子沿着电场线向右运动,B正确;a、b粒子都由静止开始运动,静电力对它们都做正功,电势能都减小,C错误;由题意,不能得到电场线的方向,因此不能判断a、b粒子的电性,D错误。
题组二　E-x图像
3.空间有一沿x轴对称分布的电场,其电场强度E随x变化的图像如图所示,x轴正方向为电场强度的正方向,带电粒子在此空间只受静电力作用。下列说法中正确的是(　　)
A.带正电的粒子在x1处和-x1处的电势能相等
B.x2处的电势最高
C.质子沿x轴由x1处运动到-x1处,在O点电势能最小
D.电子以一定的速度由-x1处沿x轴正方向运动的过程中,静电力先做负功后做正功
答案　A
解析　由于x1处和-x1处关于E轴对称,则电场强度的大小相等,从O点到x1和从O点到-x1电势降落相等,则-x1处的电势与x1处的电势相等,故A正确;根据沿着电场线方向电势降低可知O点电势最高,故B错误;若将质子由x1运动到-x1,即正电荷运动的方向先与电场的方向相反后与电场的方向相同,所以静电力先做负功后做正功,电势能先增大后减小,在O点电势能最大,故C错误;电子以一定的速度由-x1处沿x轴正方向运动的过程中,静电力方向先沿x轴向右后向左,则静电力先做正功后做负功,故D错误。
4.(2026·山东济宁高二月考)某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示,x轴正方向为电场强度正方向,其中x1、x2、x3、x4是间隔相等的四点,从x1到x4,E-x图像所包围的面积为S,下列说法正确的是(　　)
A.x3处电势最高
B.x2和x4处电势相等
C.x1、x2两点之间的电势差等于x3、x4两点之间的电势差
D.电荷量为q、质量为m的正点电荷从x1处由静止释放,仅在静电力作用下运动到x4时的动能Ek=qS
答案　D
解析　由题图可知,0~x1电场方向沿x轴负方向,x1~x4电场方向沿x轴正方向,根据沿着电场线方向电势降低,所以x1处电势最高,x2处电势高于x4处电势,故A、B错误;E-x图像与x轴所围的面积表示电势差,可知x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差,故C错误;从x1~x4过程,根据动能定理可得运动至x4时的动能Ek=qU=qS,故D正确。
题组三　φ-x图像
5.(多选)电场强度方向与x轴平行的静电场中,x轴上各点电势φ随x的分布如图所示,一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)。以初速度v0从O点(x=0)沿x轴正方向进入电场,下列说法正确的是(　　)
A.从O~x1、x3~x4两个区间内电场方向相反
B.粒子从O点运动到x4的过程中,在x2位置的速度最大
C.粒子从x1运动到x3的过程中,电势能一直增大
D.若v0=2,则粒子运动到x2位置时的动能为2qφ0
答案　CD
解析　O~x1、x3~x4区间图像斜率均为正,电场强度方向均沿x轴负方向,故A错误;带负电的粒子所受的静电力方向与电场强度方向相反,故粒子从O点运动到x4的过程中,先加速运动后减速运动再加速运动,在x1~x2粒子做减速运动,即在x2点的速度不是最大,故B错误;粒子从x1运动到x3的过程中,电势不断降低,根据负电荷在电势低处电势能大可知,粒子的电势能一直增大,故C正确;若v0=2,从O点到x2,静电力做功W=qU=0,由动能定理得Ek=m=2qφ0,故D正确。
6.(2026·福建泉州五中高二期中)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示,O点为坐标原点,a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放,在静电力作用下沿x轴运动,不计重力,则粒子(　　)
A.将在ad之间做周期性运动
B.在d点的电势能大于a点的电势能
C.在b点与c点所受静电力方向相同
D.将沿x轴负方向运动,可以到达O点
答案　A
解析　由题图可知,a、d两点电势相等,根据Ep=qφ可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能,故B错误;由沿电场线方向电势降低,可知b点与c点的电场强度方向相反,则粒子在b点与c点所受静电力方向相反,故C错误;d点的电场方向为x轴负方向,粒子带正电,则粒子受到沿着x轴负方向的静电力,即粒子将沿x轴负方向运动,该过程中仅有静电力对粒子做功,则粒子的动能和电势能之和恒定,根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能,则粒子在d点的动能等于a点的动能均为0,即粒子将在a、d之间做周期性运动,不能到达O点,故A正确,D错误。
题组四　Ep-x图像
7.如图甲,直线ab是电场中的一条电场线,从a点无初速度释放一电子,电子仅在静电力作用下,沿直线从a点运动到b点,其电势能Ep随位移x变化的规律如图乙所示。设a、b两点的电场强度分别为Ea和Eb,电势分别为φa和φb,则(　　)
A.Ea=Eb B.EaC.φa<φb D.φa>φb
答案　C
解析　电势能Ep随位移x变化的图像中切线斜率的绝对值表示静电力的大小,F=qE,由题图可知切线斜率逐渐变小,所以电场强度逐渐变小,即Ea>Eb,A、B错误;从a到b电势能逐渐减小说明静电力做正功,即静电力从a指向b,而电子所受静电力与电场方向相反,即电场从b指向a,从高电势指向低电势,所以φb>φa,C正确,D错误。
8.(多选)(2025·安徽蚌埠高二期末)如图,O、a、b、c、d是x轴上的五个点,O为原点,相邻点间距均为x0,静电场方向平行于x轴,现将质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子自O点由静止释放,粒子仅在静电力的作用下沿x轴运动,其电势能随位置变化关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.粒子在b点的动能为零
B.粒子的运动是先减速后加速
C.a、c两点的电场强度大小均为
D.d点的电势为-
答案　CD
解析　根据能量守恒定律可知,从O到b到d过程电势能先减小后增大,所以动能先增大后减小,在b点动能最大,粒子速度先增大后减小,先加速后减速,故A、B错误;Ep-x图像斜率绝对值表示电场力大小,所以电场力大小为F=qE=,所以a、c两点的电场强度大小为E=,故C正确;d点的电势为φ==-,故D正确。
9.一带负电粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动,其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示,则粒子在从x1向x3运动的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.在x1处粒子速度最大
B.在x2处粒子加速度最大
C.在x3处电势最高
D.在x2处电势为零
答案　C
解析　带负电粒子只在电场力作用下运动,所以动能与势能之和是恒定的,则粒子在从x1向x3运动的过程中,在x3处的电势能最小,所以速度最大,A错误;根据电场力做功与电势能的关系W=-ΔEp=Ep0-Ep,解得Ep=-W+Ep0=-Fx+Ep0,即图像中的斜率的绝对值表示电场力大小,在x2处图像的斜率为零,所以粒子加速度为零,B错误;负电荷在电势低的地方电势能大,在电势高的地方电势能小,在x3处的电势能最小,所以电势最高,C正确;根据公式φ=可知在x2处电势不为零,D错误。
综合提升练
10.(2026·黑龙江哈尔滨师大附中高二月考)如图甲所示,在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称,它们在x轴上的E-x图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q,它将沿x轴正方向运动,不计重力。则(　　)
A.A、B带等量正电荷
B.点电荷q在x1处电势能最大
C.点电荷q在x3处动能最大
D.点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2
答案　D
解析　由题图乙可知,在x轴上的P点对应x2点,在P点的左侧电场强度为正值,沿x轴正方向,右侧为负值,可知A、B带等量负电荷,故A错误;电荷量为q的正点电荷,从O点到P点,静电力做正功,电势能减少,从P点沿x轴正方向运动,静电力做负功,电势能增加,因此点电荷q在x1处电势能不是最大,但在x2处动能最大,故B、C错误;由对称性可知,点电荷q沿x轴正方向最远能到达O点关于P点的对称点O'点位置,则点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2,故D正确。
培优加强练
11.(2026·山东临沂高二月考)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点由接近于0的速度释放,仅在静电力的作用下,带电粒子沿x轴向右运动,则关于该电场在x轴上各点的电势(φ)、带电粒子的电势能(Ep)、动能(Ek)以及动能与电势能之和(E0)随x变化的图像,下列正确的是(　　)
答案　C
解析　根据x轴上各点电场强度的分布特点可知,该电场的分布类似于等量正电荷中垂线上电场强度的分布,电场线的方向与x轴正方向一致。在x轴上沿电场线的方向,电势逐渐降低,所以O点的电势最高,故A错误;带电粒子的电势能Ep=qφ,由题意知带电粒子带正电,所以粒子在O点的电势能最大,故B错误;由动能定理知,静电力做的功等于动能的变化量,有qEx=Ek-Ek0,由题意知带电粒子的初动能Ek0=0,得Ek=qEx,静电力始终做正功,动能一直增加。由于电场强度随x先增大后减小,所以动能随x变化的图像的切线斜率先增大后减小,故C正确;带电粒子在运动过程中,只有静电力做功,电势能与动能的总和保持不变,故D错误。(共56张PPT)
专题提升四　电场中的图像问题
第十章　静电场中的能量
1.理解v-t图像的物理意义，并能结合电场性质分析带电粒子在电场中的运动。
2.理解φ-x图像，Ep-x图像、E-x图像的物理意义，并能根据图像分析电场的电场强度、电势、电势能、电场力做功等问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　E-x 图像
提升1　v-t 图像
提升3　φ-x 图像
提升4　E p-x 图像
提升1　v-t图像
根据v-t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
例1 一正电荷在电场中仅受静电力作用，从A点运动到B点，速度随时间变化的图像如图所示，tA、tB分别对应电荷在A、B两点的时刻，则下列说法中正确的是(　　)
A.A点的电场强度一定小于B点的电场强度
B.A点的电势一定低于B点的电势
C.电荷在A点的电势能一定大于在B点的电势能
D.从A到B的过程中，静电力对电荷做正功
B
解析　根据速度—时间图像的斜率表示加速度，可知电荷在A点的加速度大于在B点的加速度，因为只受静电力，故电荷在A点所受的静电力大于在B点所受的静电力，推知EA>EB，A错误;正电荷从A点运动到B点，速度减小，动能减小，由能量守恒定律知电势能增大，则静电力对电荷做负功，根据φ=可知，电势升高，B正确，C、D错误。
训练1 一带正电粒子仅在静电力作用下从A点由静止开始做直线运动，其v-t图像为正弦曲线，如图所示。已知粒子在t1时刻运动到B点，t2时刻运动到C点，t3时刻运动到D点，t4时刻运动到E点，下列判断正确的是(　　)
A.A、E两点不重合
B.C、D两点电场强度大小关系为ECC.A、C、E三点的电势相等
D.粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少
C
解析　由对称性可知，A、E两点重合，B、D两点重合，
故A错误;由qE=ma可知，粒子加速度大时电场强度大，又
速度—时间图像的斜率表示加速度，即t2时刻加速度大于
t3时刻加速度，所以EC>ED，故B错误;粒子电势能与动能之和不变，A、C、E三点动能均为0，所以电势能相等，由φ=可知φA=φC=φE，故C正确;由题图可知，粒子由A到B速度增大，动能增加，电势能减少，由B到C速度减小，动能减少，电势能增加，故由A点经B点到C点电势能先减少后增加，故D错误。
提升2　E-x图像
1.E-x图像的意义：反映了沿x轴方向电场强度E随x变化的规律。
2.设x轴正方向为电场强度的正方向，E>0表示电场强度沿x轴正方向;E<0表示电场强度沿x轴负方向。
3.图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，如图所示，两点的电势高低根据电场方向判定。
例2 (多选)如图甲所示，以O点为坐标原点，沿静电场方向建立x轴，A点与O点相距x0，由O点到A点的电场强度E随x的变化规律如图乙所示，x轴正方向为电场强度正方向，设O点的电势为0，一带电荷量为+q的粒子从O点由静止释放，只在静电力作用下开始运动，则(　　)
A.A点的电势为-E0x0
B.粒子运动到A点时，动能为qE0x0
C.粒子运动到A点时，电势能为qE0x0
D.粒子从O点运动到A点的过程中，速度变化越来越慢
BD
解析　根据U=Ed，结合题图乙可知，E-x
图像中图线与x轴所围成图形的面积表示电
势差，电场强度沿x轴正方向，从O到A电势
降低，则有UOA=E0x0，又UOA=φO-φA=0-φA，
可得A点的电势为φA=-E0x0，A错误;粒子运动到A点时，根据动能定理有qUOA=Ek，解得Ek=qE0x0，B正确;粒子运动到A点时，电势能为Ep=qφA=-qE0x0，C错误;粒子从O点运动到A点的过程中，电场强度越来越小，所受静电力越来越小，加速度越来越小，所以速度变化越来越慢，D正确。
训练2 (多选)空间中存在沿x轴正方向的电场，x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图所示。下列叙述正确的是(　 　)
A.x1、x2两处的电势相同
B.电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能
C.x=0处与x1处两点之间的电势差为U=
D.电子沿x轴从x1处运动到x2处，静电力一直做负功
BCD
解析　因电场方向沿x轴正方向，故x轴相当于一条电场线，沿电场方向电势降低，故>，A错误;电子受到的静电力方向和电场方向相反，故从x1到x2静电力做负功，电势能增大，则电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能，B、D正确;E-x图线与x轴围成的面积表示电势差，可得x=0处和x1处的电势差为U=，C正确。
提升3　φ-x图像
1.电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值，电场强度为零处φ-x图线的切线的斜率为零。
2.在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
3.在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB=qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
4.在φ-x图像中可以判断电场类型，如图所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场;如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场。
5.在φ-x图像中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。
例3 (2025·海南卷，6)某静电场电势φ在x轴上的分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM=ON;有一电子从M点静止释放，仅受x轴方向的静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A.P点电场强度沿x轴负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
D
解析　由于沿电场线方向电势不断降低，则结合题图可
知x<0时，电场强度沿x轴负方向，x>0时，电场强度沿x
轴正方向，则P点电场强度沿x轴正方向，A错误;由于φ-x
图像关于φ轴对称，且OM=ON，则φ-x图像上M点、N点切
线斜率的绝对值相等，又φ-x图像上某点切线斜率的绝对值表示电场强度大小，所以M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小，B错误;电子从P点到N点过程，所受静电力沿x轴负方向，静电力做负功 ，则动能减少，即电子在P点的动能大于在N点的动能，C错误;由题图可知M点电势小于P点电势，由于电子带负电，则结合电势能公式Ep=qφ可知电子在M点的电势能大于在P点的电势能，D正确。
训练3 (2026·江苏南京高二月考)x轴上各点电势随位置变化的图像如图所示，一电子仅在静电力的作用下沿x轴从A点向D点做直线运动，下列说法正确的是(　　)
A.电子到达O点时，动能为20 eV
B.电子从A到O点，先做匀加速运动，后做加速度
逐渐减小的减速运动
C.从A到D，电子的动能先减少后增加
D.整个运动过程中，电子的电势能减少了40 eV
D
解析　由于电子的初始动能未知，所以电子到达O点时，
动能并非20 eV，故A错误;根据能量守恒定律可知，电子
从A到O点，电势能减少，则动能增加，φ-x图像的斜率代
表电场强度，则电子从A到O点，先做匀速运动，后做加速
度逐渐增大的加速运动，故B错误;从A到B，电子的动能不变，从B到C电子动能增加，从C到D动能不变，故C错误;根据电势能的计算公式Ep=eφ，可知整个运动过程中，电子的电势能减少了40 eV，故D正确。
提升4　Ep-x图像
1.由Ep-x图像可知带电粒子在不同位置的电势能，在已知带电粒子带电量q的情况下，可由φ=求出任一位置的电势。
2.由Ep-x图像可求出任意两位置对应的电势能的变化量，进而确定静电力做功情况。
3.由功能关系可得ΔEp=qE·Δx，即qE=||，所以Ep-x图像切线的斜率表示带电粒子在该位置所受静电力的大小。
例4 (多选)如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，A、B为x轴上的两点，xA、xB分别为A、B两点在x轴上的坐标值。一电子仅在静电力作用下沿x轴运动，该电子的电势能Ep随其坐标x变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A.该电场一定不是孤立点电荷形成的电场
B.A点的电场强度小于B点的电场强度
C.电子由A点运动到B点的过程中静电力
对其所做的功W=EpA-EpB
D.电子在A点的动能小于在B点的动能
AC
解析　由题图乙可知，电子在A、B两点的电
势能分别为EpA和EpB，且EpB>EpA，说明电子
由A运动到B的过程中电势能增大，静电力做
负功，静电力对其所做的功为W=EpA-EpB，选
项C正确;电子仅在静电力作用下运动，静电力
做负功，动能减小，故电子在A点的动能大于在B点的动能，选项D错误;由题图乙知该电场是匀强电场，A、B两点的电场强度相等，选项B错误;该电场一定不是孤立点电荷形成的电场，选项A正确。
训练4 (多选)a、b、c是静电场中一直线上的三个点，从a点释放一个初速度为零的电子，电子仅在静电力的作用下由a点经b点运动到c点，其电势能Ep随该电子位移x的变化关系如图所示，则(　　)
A.该电场可能是孤立的点电荷产生的
B.电子在a点的加速度大于在b点的加速度
C.电场中a点的电势大于b点的电势
D.电子从a点到c点的过程中，动能先增加后减少
BD
解析　若该电场为孤立点电荷产生的电场，则电子的电势能应当单调变化，A错误;由Ep-x图像切线的斜率表示带电粒子在该位置所受静电力，图线在a点的斜率的绝对值大于b点的，故电子在a点的加速度也大于b点的，B正确;由题图可知，Epa>Epc>Epb，电子带负电，根据电势与电势能关系及能量守恒定律，可知φa<φc<φb，Eka随堂对点自测
2
CD
1.(v-t图像)(多选)一点电荷仅在静电力的作用下运动，其速度—时间图像如图所示，其中ta和tb是电荷在电场中经过a、b两点的时刻，则下列说法正确的是(　　)
A.a、b两点电势φa>φb
B.a、b两点电场强度Ea=Eb
C.a、b两点电场强度Ea>Eb
D.点电荷从a运动到b的过程中静电力做正功，电势能减少
解析　图像是速度—时间图像，图像斜率表示加速度，可判断出ta时刻的加速度大于tb时刻的加速度，由a=可判断出a点的电场强度大，故B错误，C正确;根据动能定理可判断出从a点运动到b点静电力做正功，所以电势能减少，故D正确;因为不知道点电荷的电性，无法判断出a、b两点电势的高低，故A错误。
AB
2.(E-x图像)(多选)静电场在x轴上的电场强度E随坐标x的变化关系如图所示，x轴正方向为电场强度的正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，那么点电荷(　　)
A.由x1运动到x3的过程中电势能增大
B.由x1运动到x4的过程中静电力先增大后减小
C.由x1运动到x4的过程中电势能先增大后减小
D.在x2和x4处电势相等
解析　由题意可知，x1到x4的过程中电场方向沿x轴负方向，则带正电的点电荷由x1运动到x4的过程中，静电力一直做负功，电势能一直增大，根据沿电场线方向电势降低，可知x2处电势低于x4处电势，A正确，C、D错误;根据E-x图像，由x1运动到x4的过程中电场强度大小先增大后减小，静电力先增大后减小，B正确。
D
3.(φ-x图像)如图所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图像，一个带电粒子仅受静电力作用在x=0处由静止释放，沿x轴正方向运动，且以一定的速度通过x=x2处，则下列说法正确的是(　　)
A.x1和x2处的电场强度均为零
B.x1和x2之间的电场强度方向不变
C.粒子从x=0到x=x2过程中，电势能先增加后减少
D.粒子从x=0到x=x2过程中，加速度先减小后增大
解析　φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度大小，A错误;由切线斜率的正负可知，x1和x2之间的电场强度方向先沿x轴负方向后沿x轴正方向，B错误;粒子在x=0处由静止沿x轴正方向运动，表明粒子开始运动的方向与静电力方向同向，静电力先做正功后做负功，电势能先减少后增加，C错误;由图线的切线斜率可知，从x=0到x=x2过程中电场强度先减少后增大，因此粒子的加速度先减小后增大，D正确。
课后巩固训练
3
基础对点练
B
题组一　v-t图像
1.(2025·湖南衡阳八中高二期末)如图甲是某电场中的一条电场线，a、b是这条线上的两点，一负电荷只受静电力作用，沿电场线从a运动到b。在这个过程中，电荷的速度—时间图像如图乙所示，请比较a、b两点电势的高低和电场强度的大小(　　)
A.φa>φb，EaC.φa<φb，Ea>Eb D.φa>φb，Ea>Eb
解析　负电荷从a运动到b，由速度—时间图像得到负电荷做加速运动，故静电力方向向右，因负电荷受到的静电力方向与电场强度方向相反，故电场强度方向向左，沿电场强度方向，电势降低，故φa<φb;因为图线的斜率增大，故加速度增大，因此由a到b静电力增大，所以电场强度增大，即EaAB
2.(多选)如图所示，甲图实线为某一个静电场中方向未知的三条电场线，a、b两个带电粒子均从电场中的P点无初速释放，两粒子仅在电场力作用下均沿着中间的电场线做直线运动(不考虑a、b两粒子间的相互作用)，a、b粒子的速度大小随时间变化的关系如图乙中实线所示，虚线为过坐标原点的倾斜直线，则(　　)
A.a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的
加速度逐渐减小
B.a粒子沿着电场线向左运动，b粒子
沿着电场线向右运动
C.a粒子的电势能减小，b粒子的电势能增大
D.a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
解析　因v-t 图像的斜率表示物体的加速度，由图像可知，a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小，A正确;在电场中，电场线密集的地方电场强度大，电场线稀疏的地方电场强度小，再结合静电力公式和牛顿第二定律得F=qE ，F=ma，分析可得a粒子沿着电场线向左运动，b粒子沿着电场线向右运动，B正确;a、b粒子都由静止开始运动，静电力对它们都做正功，电势能都减小，C错误;由题意，不能得到电场线的方向，因此不能判断a、b粒子的电性，D错误。
A
题组二　E-x图像
3.空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图所示，x轴正方向为电场强度的正方向，带电粒子在此空间只受静电力作用。下列说法中正确的是(　　)
A.带正电的粒子在x1处和-x1处的电势能相等
B.x2处的电势最高
C.质子沿x轴由x1处运动到-x1处，在O点电势能最小
D.电子以一定的速度由-x1处沿x轴正方向运动的过
程中，静电力先做负功后做正功
解析　由于x1处和-x1处关于E轴对称，则电场强度的
大小相等，从O点到x1和从O点到-x1电势降落相等，
则-x1处的电势与x1处的电势相等，故A正确;根据沿着
电场线方向电势降低可知O点电势最高，故B错误;若
将质子由x1运动到-x1，即正电荷运动的方向先与电场的方向相反后与电场的方向相同，所以静电力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，在O点电势能最大，故C错误;电子以一定的速度由-x1处沿x轴正方向运动的过程中，静电力方向先沿x轴向右后向左，则静电力先做正功后做负功，故D错误。
D
4.(2026·山东济宁高二月考)某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为电场强度正方向，其中x1、x2、x3、x4是间隔相等的四点，从x1到x4，E-x图像所包围的面积为S，下列说法正确的是(　　)
A.x3处电势最高
B.x2和x4处电势相等
C.x1、x2两点之间的电势差等于x3、x4两点之间的电势差
D.电荷量为q、质量为m的正点电荷从x1处由静止释放，
仅在静电力作用下运动到x4时的动能Ek=qS
解析　由题图可知，0~x1电场方向沿x轴负方向，x1~x4电场方向沿x轴正方向，根据沿着电场线方向电势降低，所以x1处电势最高，x2处电势高于x4处电势，故A、B错误;E-x图像与x轴所围的面积表示电势差，可知x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差，故C错误;从x1~x4过程，根据动能定理可得运动至x4时的动能Ek=qU=qS，故D正确。
CD
题组三　φ-x图像
5.(多选)电场强度方向与x轴平行的静电场中，x轴上各点电势φ随x的分布如图所示，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)。以初速度v0从O点(x=0)沿x轴正方向进入电场，下列说法正确的是(　　)
A.从O~x1、x3~x4两个区间内电场方向相反
B.粒子从O点运动到x4的过程中，在x2位置的速度最大
C.粒子从x1运动到x3的过程中，电势能一直增大
D.若v0=2，则粒子运动到x2位置时的动能为2qφ0
解析　O~x1、x3~x4区间图像斜率均为正，电场强度方向
均沿x轴负方向，故A错误;带负电的粒子所受的静电力方
向与电场强度方向相反，故粒子从O点运动到x4的过程中，
先加速运动后减速运动再加速运动，在x1~x2粒子做减速运
动，即在x2点的速度不是最大，故B错误;粒子从x1运动到x3的过程中，电势不断降低，根据负电荷在电势低处电势能大可知，粒子的电势能一直增大，故C正确;若v0=2，从O点到x2，静电力做功W=qU=0，由动能定理得Ek=m=2qφ0，故D正确。
A
6.(2026·福建泉州五中高二期中)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在静电力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(　　)
A.将在ad之间做周期性运动
B.在d点的电势能大于a点的电势能
C.在b点与c点所受静电力方向相同
D.将沿x轴负方向运动，可以到达O点
解析　由题图可知，a、d两点电势相等，根据Ep=qφ可知粒
子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误;由沿电场线方
向电势降低，可知b点与c点的电场强度方向相反，则粒子在
b点与c点所受静电力方向相反，故C错误;d点的电场方向为x
轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的静电力，即粒子将沿x轴负方向运动，该过程中仅有静电力对粒子做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能均为0，即粒子将在a、d之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。
C
题组四　Ep-x图像
7.如图甲，直线ab是电场中的一条电场线，从a点无初速度释放一电子，电子仅在静电力作用下，沿直线从a点运动到b点，其电势能Ep随位移x变化的规律如图乙所示。设a、b两点的电场强度分别为Ea和Eb，电势分别为φa和φb，则(　　)
A.Ea=Eb B.EaC.φa<φb D.φa>φb
解析　电势能Ep随位移x变化的图像中切线斜率的绝对值表示静电力的大小，F=qE，由题图可知切线斜率逐渐变小，所以电场强度逐渐变小，即Ea>Eb，A、B错误;从a到b电势能逐渐减小说明静电力做正功，即静电力从a指向b，而电子所受静电力与电场方向相反，即电场从b指向a，从高电势指向低电势，所以φb>φa，C正确，D错误。
CD
8.(多选)(2025·安徽蚌埠高二期末)如图，O、a、b、c、d是x轴上的五个点，O为原点，相邻点间距均为x0，静电场方向平行于x轴，现将质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子自O点由静止释放，粒子仅在静电力的作用下沿x轴运动，其电势能随位置变化关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.粒子在b点的动能为零
B.粒子的运动是先减速后加速
C.a、c两点的电场强度大小均为
D.d点的电势为-
解析　根据能量守恒定律可知，从O到b到d过程电势
能先减小后增大，所以动能先增大后减小，在b点动能
最大，粒子速度先增大后减小，先加速后减速，故A、
B错误;Ep-x图像斜率绝对值表示电场力大小，所以电场
力大小为F=qE=，所以a、c两点的电场强度大小为E=，故C正确;d点的电势为φ==-，故D正确。
C
9.一带负电粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，则粒子在从x1向x3运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.在x1处粒子速度最大
B.在x2处粒子加速度最大
C.在x3处电势最高
D.在x2处电势为零
解析　带负电粒子只在电场力作用下运动，所以动能
与势能之和是恒定的，则粒子在从x1向x3运动的过程中，
在x3处的电势能最小，所以速度最大，A错误;根据电场
力做功与电势能的关系W=-ΔEp=Ep0-Ep，解得Ep=-W+Ep0
=-Fx+Ep0，即图像中的斜率的绝对值表示电场力大小，在x2处图像的斜率为零，所以粒子加速度为零，B错误;负电荷在电势低的地方电势能大，在电势高的地方电势能小，在x3处的电势能最小，所以电势最高，C正确;根据公式φ=可知在x2处电势不为零，D错误。
D
10.(2026·黑龙江哈尔滨师大附中高二月考)如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称，它们在x轴上的E-x图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q，它将沿x轴正方向运动，不计重力。则(　　)
A.A、B带等量正电荷
B.点电荷q在x1处电势能最大
C.点电荷q在x3处动能最大
D.点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2
综合提升练
解析　由题图乙可知，在x轴上的P点对应x2点，在P点的左侧电场强度为正值，沿x轴正方向，右侧为负值，可知A、B带等量负电荷，故A错误;电荷量为q的正点电荷，从O点到P点，静电力做正功，电势能减少，从P点沿x轴正方向运动，静电力做负功，电势能增加，因此点电荷q在x1处电势能不是最大，但在x2处动能最大，故B、C错误;由对称性可知，点电荷q沿x轴正方向最远能到达O点关于P点的对称点O'点位置，则点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2，故D正确。
C
11.(2026·山东临沂高二月考)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点由接近于0的速度释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴向右运动，则关于该电场在x轴上各点的电势(φ)、带电粒子的电势能(Ep)、动能(Ek)以及动能与电势能之和(E0)随x变化的图像，下列正确的是(　　)
培优加强练
解析　根据x轴上各点电场强度的分布特点可知，该电
场的分布类似于等量正电荷中垂线上电场强度的分布，
电场线的方向与x轴正方向一致。在x轴上沿电场线的方
向，电势逐渐降低，所以O点的电势最高，故A错误;带电粒子的电势能Ep=qφ，由题意知带电粒子带正电，所以粒子在O点的电势能最大，故B错误;由动能定理知，静电力做的功等于动能的变化量，有qEx=Ek-Ek0，由题意知带电粒子的初动能Ek0=0，得Ek=qEx，静电力始终做正功，动能一直增加。由于电场强度随x先增大后减小，所以动能随x变化的图像的切线斜率先增大后减小，故C正确;带电粒子在运动过程中，只有静电力做功，电势能与动能的总和保持不变，故D错误。
本节内容结束
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