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专题提升六　带电粒子(体)在电场和重力场中的运动
学习目标　1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动问题。
2.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子(体)在电场和重力场中的类平抛运动问题和圆周运动问题。
提升1　带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动
1.做直线运动的条件
(1)合力为零,物体做匀速直线运动。
(2)合力不为零,但合外力的方向与运动方向在同一直线上,物体做匀变速直线运动。
2.处理方法
(1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式。
(2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律。
例1 (多选)如图所示,一质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E、区域足够大的匀强电场中,以初速度v0沿ON在竖直面内做匀变速直线运动。ON与水平面的夹角为30°,且mg=qE,重力加速度为g,则(　　)
A.电场方向竖直向上
B.小球运动的加速度大小为g
C.小球上升的最大高度为
D.小球返回原位置所用时间为
答案　BC
解析　设静电力与水平方向夹角为θ,根据题意可知小球所受静电力和重力的合力方向与小球速度方向共线,结合题意,对小球受力分析可知静电力方向一定斜向上。将静电力和重力分解成沿速度方向和垂直速度方向的分力。则在垂直速度方向,根据平衡条件有mgcos 30°=qEsin(θ-30°),根据题意代入数据可得θ=90°或θ=150°,当θ=90°时,重力和静电力等大反向,小球所受合力为零,小球做匀速直线运动,不符合题意。
故小球所受静电力方向与水平方向夹角为150°。若小球带正电,则电场方向与静电力方向同向,若小球带负电、则电场方向与静电力方向反向,故A错误;根据以上分析可知,小球受力如图所示,其合力大小为F=mg,小球运动的加速度大小为a==g,故B正确;设P点为小球沿ON方向所能到达的最高点,OP=sOP,则sOP==,小球上升的最大竖直高度为h=sOPsin 30°=,故C正确;根据对称性可知小球返回原位置所用时间为t==,故D错误。
训练 如图,长度为L的轻质绝缘细杆两端连接两个质量均为m的带电小球A和B,两小球均可看作质点,带电荷量为qA=+6q、qB=-2q。将小球从图示位置由静止释放,下落一段时间后B进入位于下方的匀强电场区域。匀强电场方向竖直向上,电场强度E=,重力加速度为g。求:
(1)小球A刚进入电场时的速度大小;
(2)要使小球B第一次下落时不穿出电场下边界,电场区域的最小高度H。
答案　(1)　(2)3.5L
解析　(1)设小球A刚进入电场时的速度大小为v0,从释放到进入电场由动能定理可得
2mg+|qB|EL=×2m-0
解得v0=。
(2)从释放到小球B第一次下落时不穿出电场下边界,由动能定理可得
2mg+|qB|EH-qAE(H-L)=0-0
解得H=3.5L。
提升2　带电粒子(体)在电场和重力场中的曲线运动
例2 (多选)如图所示,一带正电的油滴在匀强电场中运动,其轨迹在竖直面内,且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称,忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.Q点的电势比P点低
B.油滴在Q点的动能比它在P点的大
C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
答案　AB
解析　轨迹向上弯曲且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称,合力竖直向上,静电力竖直向上,因为油滴带正电,所以电场强度方向竖直向上,Q点的电势比P点低,故A正确;油滴向上运动时合力做正功,动能增大,所以油滴在Q点的动能比它在P点的大,故B正确;油滴向上运动时静电力做正功,电势能减小,所以油滴在Q点的电势能比它在P点的小,故C错误;由于油滴受重力、静电力都为恒力,加速度恒定且不为零,故D错误。
例3 空间存在一方向竖直向下的匀强电场,O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电,B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0,到达P点所用时间为t;小球B
从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g,求:
(1)电场强度的大小;
(2)小球B运动到P点时的动能。
答案　(1)　(2)2m(+g2t2)
解析　(1)设电场强度的大小为E,小球B运动的加速度为a。根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件,有mg+qE=ma,a·=gt2
联立解得E=。
(2)设小球B从O点发射时的速度为v1,到达P点时的动能为Ek,O、P两点的高度差为h,根据动能定理有mgh+qEh=Ek-m
且有v1·=v0t,h=gt2
联立解得Ek=2m(+g2t2)。
总结提升
处理带电粒子(体)在电场和重力场中曲线运动的方法
(1)明确研究对象并对其进行受力分析。
(2)利用运动的合成与分解把曲线运动转化为直线运动,然后利用牛顿运动定律、运动学公式进行处理。
(3)涉及功和能量的问题时常用能量守恒定律、功能关系等处理。
提升3　带电粒子(体)在电场和重力场中的圆周运动
1.首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。
2.用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。
(1)等效重力法
将重力与静电力进行合成,如图所示,则F合为等效重力场中的“等效重力”,F合的方向为“等效重力”的方向,即等效重力场中的“竖直向下”方向。a=视为等效重力场中的“等效重力加速度”。
(2)几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点)
①几何最高点(最低点):是指图形中所画圆的最上(下)端,是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。
②物理最高点(最低点):是指“等效重力F合”的(反向)延长线过圆心且与圆轨道的交点,即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。
例4 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内,环上套有一质量为m、带正电荷的珠子,空间存在水平向右的匀强电场,如图所示。珠子所受静电力是重力的。将珠子从环上的最低点A由静止释放(重力加速度为g),则:
(1)珠子所能获得的最大动能是多少
(2)珠子对圆环的最大压力是多少
答案　(1)mgr　(2)mg
解析　(1)因qE=mg,所以珠子所受静电力与重力的合力F合与竖直方向的夹角θ满足
tan θ==,故θ=37°
如图所示,则B点为等效最低点,珠子从A点由静止释放后从A到B过程中做加速运动,珠子在B点动能最大,对圆环的压力最大,由动能定理得
qErsin θ-mgr(1-cos θ)=Ekm
解得Ekm=mgr。
(2)设珠子在B点受圆环弹力大小为FN,有
FN-F合=m
则FN=F合+m=+mg=mg
由牛顿第三定律知珠子对圆环的最大压力大小为mg。
总结提升
等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路
随堂对点自测
1.[带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动](多选)如图所示,平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度,两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器,则在此过程中,该粒子(　　)
A.所受重力与静电力平衡
B.电势能逐渐增加
C.动能逐渐增加
D.做匀变速直线运动
答案　BD
解析　根据题意可知,粒子做直线运动,则静电力与重力的合力与速度方向反向,如图所示,则粒子做匀减速直线运动,动能减小,A、C错误,D正确;由于静电力做负功,则电势能增加,B正确。
2.[带电粒子(体)在电场和重力场中的曲线运动]如图所示,长为l的轻质细线固定在O点,细线的下端系住质量为m、带电荷量为+q的小球,小球的最低点距离水平面的高度为h,在小球最低点与水平面之间高为h的空间内分布着电场强度为E的水平向右的匀强电场。固定点O的正下方处有一小障碍物P,现将小球从细线处于水平状态由静止释放,已知重力加速度为g。
(1)细线在刚要接触障碍物P时,小球的速度是多大
(2)细线在刚要接触障碍物P和细线刚接触到障碍物P时,细线的拉力发生多大变化
(3)若细线在刚要接触障碍物P时断开,小球运动到水平面时的动能为多大
答案　(1)　(2)增大2mg
(3)mgh+mgl++2qE
解析　(1)由机械能守恒定律得
mgl=mv2,得v=。
(2)细线在刚要接触障碍物P时,设细线的拉力为FT1,由牛顿第二定律得FT1-mg=m
细线在刚接触到障碍物P时,设细线的拉力为FT2,由牛顿第二定律得FT2-mg=m
可解得FT2-FT1=2mg,即细线的拉力增大2mg。
(3)细线断开后小球在竖直方向做自由落体运动,运动时间t=,小球在水平方向做匀加速运动,运动的距离x=vt+·t2
小球运动到水平面的过程,由动能定理得
mgh+qEx=Ek-mv2
解得Ek=mgh+mgl++2qE。
基础对点练
题组一　带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动
1.(多选)如图所示为匀强电场中的一组等间距的竖直直线,一个带电粒子从A点以一定的初速度斜向上射入电场,结果粒子沿初速度方向斜向右上方做直线运动,则下列说法正确的是(　　)
A.若竖直直线是电场线,电场的方向一定竖直向上
B.若竖直直线是电场线,粒子沿直线斜向上运动过程动能保持不变
C.若竖直直线是等势线,粒子一定做匀速直线运动
D.若竖直直线是等势线,粒子沿直线斜向上运动过程电势能增大
答案　BD
解析　若竖直直线是电场线,则粒子受到的静电力在竖直方向上,粒子还受到竖直向下的重力,由于粒子的初速度不在竖直方向上,所以粒子一定做匀速直线运动,其动能不变,则粒子受到的静电力方向竖直向上,由于粒子的电性不确定,所以不能确定电场线方向,A错误,B正确;若竖直直线是等势线,则静电力水平,由于粒子斜向右上方做直线运动,因此静电力一定水平向左,合力与粒子运动的速度方向相反,粒子斜向右上方做匀减速直线运动,粒子受到的静电力做负功,电势能增大,C错误,D正确。
2.(多选)(2025·广东深圳南头中学期末)在某空间存在竖直向上的匀强电场,质量为m、带电荷量为+q的小球从某高度由静止开始向上做匀加速直线运动,经时间t运动到P点,此时撤去电场,又经时间2t小球回到P点,速度大小为v,不计空气阻力,已知重力加速度为g,小球从静止到返回P点的过程中,则下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小为
B.小球所受静电力的大小为2mg
C.小球上升的最大高度为
D.小球所受电场力做的功为mv2
答案　BC
解析　设电场强度大小为E,小球由静止开始向上做匀加速直线运动,则qE-mg=ma,v=at,撤去电场,又经时间2t小球回到P点,则v=g·=gt,可得a=g,E=,故A错误;小球所受静电力的大小为F=qE=2mg,故B正确;小球上升的最大高度为hm=,故C正确;小球由静止开始向上做匀加速直线运动的位移为x==,小球所受电场力做的功为W=qEx=mv2,故D错误。
题组二　带电粒子(体)在电场和重力场中的曲线运动
3.(多选)如图所示,有A、B、C三个质量相等,带正电、带负电和不带电的小球,从平行板电场的左侧不同位置以相同的初速度垂直于电场方向进入电场,它们落在同一点,极板平行于水平面,可以判断(　　)
A.小球A带正电,小球B不带电
B.三个小球在电场中运动的时间相等
C.三个小球到达极板时的动能关系为EkAD.三个小球在电场中运动时的加速度关系为aA>aB>aC
答案　BD
解析　小球在水平方向做匀速直线运动,落在同一位置,水平位移相同,根据t=可知时间相等,再根据小球在竖直方向做匀加速直线运动有y=at2,则加速度aA>aB>aC,所以A带负电、B不带电、C带正电,故A错误,B、D正确;落在下极板上时,水平方向的速度相同,竖直方向的速度vy=at,可知vAy>vBy>vCy,三个小球到达极板时的动能关系为EkA>EkB>EkC,故C错误。
4.(多选)水平地面上方有水平向右的匀强电场,从地面上的A点斜向右上方以速度v0=10 m/s抛出一个带电荷量为+q、质量为m的小球,速度方向与水平地面的夹角θ=53°,轨迹如图所示,点B为轨迹最高点,D、E两点高度相等,小球落在水平地面的C点,忽略空气阻力的影响,g取10 m/s2,匀强电场的电场强度大小为E=,则(　　)
A.小球在D、E两点的速度大小相等
B.小球在B点的速度为10 m/s
C.小球落地时与水平方向的夹角仍为53°
D.A、C两点的距离为16 m
答案　BD
解析　D、E两点高度相等,小球从D到E重力做功为零,静电力做正功,所以小球在D、E两点的速度大小不相等,故A错误;小球在竖直方向与水平方向的初速度分别为vx0=v0cos 53°=6 m/s,vy0=v0sin 53°=8 m/s,点B为轨迹最高点,所以在B点竖直速度为零,vy0=gt,ax=,vx=vx0+axt,联立解得vx=10 m/s,t=0.8 s,ax=5 m/s2,即小球在B点速度为10 m/s,故B正确;小球从A到C的时间为从A到B的时间的两倍,则到C点时,水平速度为vxC=vx0+ax·2t=14 m/s,则小球落地时与水平方向的夹角的正切值为tan β==,故C错误;A、C两点距离为x==16 m,故D正确。
题组三　带电粒子(体)在电场和重力场中的圆周运动
5.(多选)如图所示,用绝缘细线拴一带负电小球,在竖直平面内做圆周运动,匀强电场方向竖直向下,则(　　)
A.小球可能做匀速圆周运动
B.当小球运动到最高点a时,细线的张力一定最小
C.当小球运动到最高点a时,小球的电势能一定最小
D.当小球运动到最低点b时,小球的速度一定最大
答案　AC
解析　当重力等于静电力时,只有细线的拉力提供向心力,小球可能做匀速圆周运动,故A正确;当重力小于静电力时,a点为等效最低点,则小球运动到最高点a时,细线的张力最大,故B错误;根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知,在圆周上a点的电势最高,由Ep=qφ知,当小球运动到最高点a时,小球的电势能一定最小,故C正确;当重力小于静电力时,a点为等效最低点,则小球运动到最高点a时,小球的速度最大,故D错误。
6. (多选)如图所示,在竖直平面内有水平向左的匀强电场,在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线,细线一端固定在O点,另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角,此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.匀强电场的场强E=
B.小球动能的最小值为Ek=
C.小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D.小球从初始位置开始,在竖直平面内运动一周的过程中,其电势能先减小后增大
答案　AB
解析　小球静止时细线与竖直方向成θ角,对小球受力分析,如图所示,小球受重力、拉力和电场力,三力平衡,根据平衡条件,有qE=mgtan θ,解得E=,故A正确;小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动,在等效最高点A时速度最小,根据牛顿第二定律,有=m,则最小动能Ek=mv2=,故B正确;小球的机械能和电势能之和守恒,则小球运动至电势能最大的位置时机械能最小,小球带负电,则小球运动到圆周轨迹的最左端时机械能最小,故C错误;小球从初始位置开始,在竖直平面内运动一周的过程中,电场力先做正功,后做负功,再做正功,则其电势能先减小后增大,再减小,故D错误。
综合提升练
7.(2026·广东佛山高二期末)如图所示,可视为质点的质量为m且电荷量为q的带正电小球,用一绝缘轻质细绳悬挂于O点,绳长为L,现加一水平向右的足够大的匀强电场,电场强度大小为E=,小球初始位置在最低点,若给小球一个水平向右的初速度,使小球能够在竖直面内做圆周运动,忽略空气阻力,重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　)
A.小球在运动过程中机械能守恒
B.小球在运动过程中机械能和电势能之和守恒
C.小球在运动过程的最小速度至少为
D.小球在运动过程的最大速度至少为5
答案　B
解析　小球在运动的过程中,只有重力和静电力做功,机械能不守恒,但机械能和电势能之和守恒,故A错误,B正确;设小球在电场中运动的等效最高点和等效最低点分别为A点和B点,如图所示,等效重力G'=mg,小球在等效最高点,等效重力恰好提供向心力,有G'=m,得v1=,故C错误;小球由等效最高点运动到等效最低点,由动能定理有G'·2L=m-m,解得v2=,故D错误。
8.如图所示,水平放置的两平行金属板A、B的间距为d,电容为C,开始时两极板均不带电,A板接地且中央有小孔。现将带电荷量为q、质量为m的带电液滴从小孔(和A板面积相比足够小)正上方h高处的O点无初速度滴下,液滴落到B板后电荷全部传给B板,已知重力加速度为g。
(1)若液滴在A、B间可做匀速直线运动,则此液滴是第几滴
(2)能够到达B板的液滴不会超过多少滴
答案　(1)+1　(2)+1
解析　(1)随着液滴的不断下落,B板所带电荷量不断增加,由C=知,两极板间电势差也不断增加。由E=知,两极板间电场强度也不断增加。当带电液滴做匀速直线运动时,由平衡条件有qE=mg
又E==,Q=nq
联立解得n=
故第+1滴带电液滴下落的运动为匀速直线运动。
(2)当到达B板的液滴增多时,电容器所带电荷量增大,两极板间电势差也增大。设能够到达B板的液滴不会超过n'滴,且第(n'-1)滴到达B板的速度恰好为零。对第n'滴液滴,由动能定理得
qU'=mg(h+d)
又U'==
联立解得n'=+1。
培优加强练
9.如图所示,光滑斜面与光滑竖直圆弧轨道相切于A点,B点为圆弧轨道的最低点,C点为圆弧轨道的最高点,整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量为m=1 kg、电荷量为-q的带电小球从斜面上由静止释放,小球始终能沿轨道运动。已知电场强度E=,斜面与水平方向的夹角θ=53°,圆弧轨道半径R=1 m,g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。
(1)求刚释放小球时小球的加速度a的大小;
(2)若小球恰能到达C点,求释放点到A点的距离s及此运动过程中小球对轨道的最大压力。
答案　(1)12.5 m/s2　(2)1.2 m　67.5 N,方向与竖直方向成37°角斜向右下
解析　(1)对小球受力分析,小球所受静电力水平向右,垂直轨道方向,有mgcos θ=qEsin θ,可知小球始终沿轨道运动,根据牛顿第二定律有
mgsin θ+qEcos θ=ma
解得a=12.5 m/s2。
(2)若小球恰好能到达C点,在C点,由牛顿第二定律有mg=m
从释放到到达C点,由动能定理得
mg(ssin θ-R-Rcos θ)+qE(scos θ+Rsin θ)=m
联立解得s=1.2 m
设小球在B点右侧某位置达到最大速度,该位置和圆心连线与竖直方向成α角,则该位置小球对轨道的压力最大,由受力分析得tan α=
解得α=37°
由释放点到该位置的过程,由动能定理,有
mg(ssin θ-Rcos θ+Rcos α)+qE(scos θ+Rsin θ+Rsin α)=mv2
解得v= m/s
对该位置,由牛顿第二定律得
FN-mgcos α-qEsin α=m
解得FN=67.5 N
由牛顿第三定律得小球对轨道的最大压力大小为67.5 N,方向与竖直方向成37°角斜向右下。(共48张PPT)
专题提升六　带电粒子(体)在电场和重力场中的运动
第十章　静电场中的能量
1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动问题。
2.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子(体)在电场和重力场中的类平抛运动问题和圆周运动问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　带电粒子(体)在电场和重力场中的曲线运动
提升1　带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动
提升3　带电粒子(体)在电场和重力场中的圆周运动
提升1　带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动
1.做直线运动的条件
(1)合力为零，物体做匀速直线运动。
(2)合力不为零，但合外力的方向与运动方向在同一直线上，物体做匀变速直线运动。
2.处理方法
(1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式。
(2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律。
例1 (多选)如图所示，一质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E、区域足够大的匀强电场中，以初速度v0沿ON在竖直面内做匀变速直线运动。ON与水平面的夹角为30°，且mg=qE，重力加速度为g，则(　　)
A.电场方向竖直向上
B.小球运动的加速度大小为g
C.小球上升的最大高度为
D.小球返回原位置所用时间为
BC
解析　设静电力与水平方向夹角为θ，根据题意可知小球所受静电力和重力的合力方向与小球速度方向共线，结合题意，对小球受力分析可知静电力方向一定斜向上。将静电力和重力分解成沿速度方向和垂直速度方向的分力。则在垂直速度方向，根据平衡条件有mgcos 30°=qEsin(θ-30°)，根据题意代入数据可得θ=90°或θ=150°，当θ=90°时，重力和静电力等大反向，小球所受合力为零，小球做匀速直线运动，不符合题意。
故小球所受静电力方向与水平方向夹角为150°。若小球带正
电，则电场方向与静电力方向同向，若小球带负电、则电场
方向与静电力方向反向，故A错误;根据以上分析可知，小球
受力如图所示，其合力大小为F=mg，小球运动的加速度大小
为a==g，故B正确;设P点为小球沿ON方向所能到达的最高点，OP=sOP，则sOP==，小球上升的最大竖直高度为h=sOPsin 30°=，故C正确;根据对称性可知小球返回原位置所用时间为t==，故D错误。
训练 如图，长度为L的轻质绝缘细杆两端连接两个质量均为m的带电小球A和B，两小球均可看作质点，带电荷量为qA=+6q、qB=-2q。将小球从图示位置由静止释放，下落一段时间后B进入位于下方的匀强电场区域。匀强电场方向竖直向上，电场强度E=，重力加速度为g。求：
(1)小球A刚进入电场时的速度大小;
(2)要使小球B第一次下落时不穿出电场下边界，电场区域的最小高度H。
答案　(1)　(2)3.5L
解析　(1)设小球A刚进入电场时的速度大小为v0，
从释放到进入电场由动能定理可得
2mg+|qB|EL=×2m-0
解得v0=。
(2)从释放到小球B第一次下落时不穿出电场下边界，由动能定理可得
2mg+|qB|EH-qAE(H-L)=0-0
解得H=3.5L。
提升2　带电粒子(体)在电场和重力场中的曲线运动
例2 (多选)如图所示，一带正电的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
AB
A.Q点的电势比P点低
B.油滴在Q点的动能比它在P点的大
C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
解析　轨迹向上弯曲且相对于过轨迹最低点P的竖直线对
称，合力竖直向上，静电力竖直向上，因为油滴带正电，
所以电场强度方向竖直向上，Q点的电势比P点低，故A正
确;油滴向上运动时合力做正功，动能增大，所以油滴在Q点的动能比它在P点的大，故B正确;油滴向上运动时静电力做正功，电势能减小，所以油滴在Q点的电势能比它在P点的小，故C错误;由于油滴受重力、静电力都为恒力，加速度恒定且不为零，故D错误。
例3 空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t;小球B
从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小;
解析　设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有mg+qE=ma，a·=gt2
联立解得E=。
答案　　
(2)小球B运动到P点时的动能。
解析　设小球B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有mgh+qEh=Ek-m
且有v1·=v0t，h=gt2
联立解得Ek=2m(+g2t2)。
答案　2m(+g2t2)
总结提升
处理带电粒子(体)在电场和重力场中曲线运动的方法
(1)明确研究对象并对其进行受力分析。
(2)利用运动的合成与分解把曲线运动转化为直线运动，然后利用牛顿运动定律、运动学公式进行处理。
(3)涉及功和能量的问题时常用能量守恒定律、功能关系等处理。
提升3　带电粒子(体)在电场和重力场中的圆周运动
1.首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。
2.用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。
(1)等效重力法
将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效
重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的
方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a=视
为等效重力场中的“等效重力加速度”。
(2)几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点)
①几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。
②物理最高点(最低点)：是指“等效重力
F合”的(反向)延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。
例4 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电荷的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图所示。珠子所受静电力是重力的。将珠子从环上的最低点A由静止释放(重力加速度为g)，则：
(1)珠子所能获得的最大动能是多少
解析　因qE=mg，所以珠子所受静电力与重力的合力F合与竖直方向的夹角θ满足
tan θ==，故θ=37°
如图所示，则B点为等效最低点，珠子从A点由静止释放后从A到B过程中做加速运动，珠子在B点动能最大，对圆环的压力最大，由动能定理得
qErsin θ-mgr(1-cos θ)=Ekm
解得Ekm=mgr。
答案　mgr
(2)珠子对圆环的最大压力是多少
解析　设珠子在B点受圆环弹力大小为FN，有FN-F合=m
则FN=F合+m=+mg=mg
由牛顿第三定律知珠子对圆环的最大压力大小为mg。
答案　mg
总结提升
等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路
随堂对点自测
2
BD
1.[带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动](多选)如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子(　　)
A.所受重力与静电力平衡
B.电势能逐渐增加
C.动能逐渐增加
D.做匀变速直线运动
解析　根据题意可知，粒子做直线运动，则静电力与重力的合力与速度方向反向，如图所示，则粒子做匀减速直线运动，动能减小，A、C错误，D正确;由于静电力做负功，则电势能增加，B正确。
2.[带电粒子(体)在电场和重力场中的曲线运动]如图所示，长为l的轻质细线固定在O点，细线的下端系住质量为m、带电荷量为+q的小球，小球的最低点距离水平面的高度为h，在小球最低点与水平面之间高为h的空间内分布着电场强度为E的水平向右的匀强电场。固定点O的正下方处有一小障碍物P，现将小球从细线处于水平状态由静止释放，已知重力加速度为g。
(1)细线在刚要接触障碍物P时，小球的速度是多大
答案　　
解析　由机械能守恒定律得mgl=mv2，得v=。
(2)细线在刚要接触障碍物P和细线刚接触到障碍物P时，细线的拉力发生多大变化
答案　增大2mg
解析　细线在刚要接触障碍物P时，设细线的拉力为FT1，
由牛顿第二定律得FT1-mg=m
细线在刚接触到障碍物P时，设细线的拉力为FT2，由牛顿第二定律得FT2-mg=m
可解得FT2-FT1=2mg，即细线的拉力增大2mg。
(3)若细线在刚要接触障碍物P时断开，小球运动到水平面时
的动能为多大
答案　 mgh+mgl++2qE
解析　细线断开后小球在竖直方向做自由落体运动，
运动时间t=，小球在水平方向做匀加速运动，运动的距离x=vt+·t2
小球运动到水平面的过程，由动能定理得
mgh+qEx=Ek-mv2
解得Ek=mgh+mgl++2qE。
课后巩固训练
3
基础对点练
BD
题组一　带电粒子(体)在电场和重力场中的直线运动
1.(多选)如图所示为匀强电场中的一组等间距的竖直直线，一个带电粒子从A点以一定的初速度斜向上射入电场，结果粒子沿初速度方向斜向右上方做直线运动，则下列说法正确的是(　　)
A.若竖直直线是电场线，电场的方向一定竖直向上
B.若竖直直线是电场线，粒子沿直线斜向上运动过程动能保持不变
C.若竖直直线是等势线，粒子一定做匀速直线运动
D.若竖直直线是等势线，粒子沿直线斜向上运动过程电势能增大
解析　若竖直直线是电场线，则粒子受到的静电力在竖直方向
上，粒子还受到竖直向下的重力，由于粒子的初速度不在竖直
方向上，所以粒子一定做匀速直线运动，其动能不变，则粒子
受到的静电力方向竖直向上，由于粒子的电性不确定，所以不
能确定电场线方向，A错误，B正确;若竖直直线是等势线，则静电力水平，由于粒子斜向右上方做直线运动，因此静电力一定水平向左，合力与粒子运动的速度方向相反，粒子斜向右上方做匀减速直线运动，粒子受到的静电力做负功，电势能增大，C错误，D正确。
BC
2.(多选)(2025·广东深圳南头中学期末)在某空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m、带电荷量为+q的小球从某高度由静止开始向上做匀加速直线运动，经时间t运动到P点，此时撤去电场，又经时间2t小球回到P点，速度大小为v，不计空气阻力，已知重力加速度为g，小球从静止到返回P点的过程中，则下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小为
B.小球所受静电力的大小为2mg
C.小球上升的最大高度为
D.小球所受电场力做的功为mv2
解析　设电场强度大小为E，小球由静止开始向上做匀加速直线运动，则qE-mg=ma，v=at，撤去电场，又经时间2t小球回到P点，则v=g·=gt，可得a=g，E=，故A错误;小球所受静电力的大小为F=qE=2mg，故B正确;小球上升的最大高度为hm=，故C正确;小球由静止开始向上做匀加速直线运动的位移为x==，小球所受电场力做的功为W=qEx=mv2，故D错误。
BD
题组二　带电粒子(体)在电场和重力场中的曲线运动
3.(多选)如图所示，有A、B、C三个质量相等，带正电、带负电和不带电的小球，从平行板电场的左侧不同位置以相同的初速度垂直于电场方向进入电场，它们落在同一点，极板平行于水平面，可以判断(　　)
A.小球A带正电，小球B不带电
B.三个小球在电场中运动的时间相等
C.三个小球到达极板时的动能关系为EkAD.三个小球在电场中运动时的加速度关系为aA>aB>aC
解析　小球在水平方向做匀速直线运动，落在同一位
置，水平位移相同，根据t=可知时间相等，再根据
小球在竖直方向做匀加速直线运动有y=at2，则加速
度aA>aB>aC，所以A带负电、B不带电、C带正电，故A错误，B、D正确;落在下极板上时，水平方向的速度相同，竖直方向的速度vy=at，可知vAy>vBy>vCy，三个小球到达极板时的动能关系为EkA>EkB>EkC，故C错误。
BD
4.(多选)水平地面上方有水平向右的匀强电场，从地面上的A点斜向右上方以速度v0=10 m/s抛出一个带电荷量为+q、质量为m的小球，速度方向与水平地面的夹角θ=53°，轨迹如图所示，点B为轨迹最高点，D、E两点高度相等，小球落在水平地面的C点，忽略空气阻力的影响，g取10 m/s2，匀强电场的电场强度大小为E=，则(　　)
A.小球在D、E两点的速度大小相等
B.小球在B点的速度为10 m/s
C.小球落地时与水平方向的夹角仍为53°
D.A、C两点的距离为16 m
解析　D、E两点高度相等，小球从D到E重力做功为零，
静电力做正功，所以小球在D、E两点的速度大小不相等，
故A错误;小球在竖直方向与水平方向的初速度分别为vx0=
v0cos 53°=6 m/s，vy0=v0sin 53°=8 m/s，点B为轨迹最高点，
所以在B点竖直速度为零，vy0=gt，ax=，vx=vx0+axt，联立解得vx=10 m/s，t=0.8 s，ax=5 m/s2，即小球在B点速度为10 m/s，故B正确;小球从A到C的时间为从A到B的时间的两倍，则到C点时，水平速度为vxC=vx0+ax·2t=14 m/s，则小球落地时与水平方向的夹角的正切值为tan β==，故C错误;A、C两点距离为x==16 m，故D正确。
AC
题组三　带电粒子(体)在电场和重力场中的圆周运动
5.(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则(　　)
A.小球可能做匀速圆周运动
B.当小球运动到最高点a时，细线的张力一定最小
C.当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小
D.当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
解析　当重力等于静电力时，只有细线的拉力提供向心力，小球可能做匀速圆周运动，故A正确;当重力小于静电力时，a点为等效最低点，则小球运动到最高点a时，细线的张力最大，故B错误;根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，在圆周上a点的电势最高，由Ep=qφ知，当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小，故C正确;当重力小于静电力时，a点为等效最低点，则小球运动到最高点a时，小球的速度最大，故D错误。
AB
6. (多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.匀强电场的场强E=
B.小球动能的最小值为Ek=
C.小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D.小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过
程中，其电势能先减小后增大
解析　小球静止时细线与竖直方向成θ角，对小球受力分
析，如图所示，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，
根据平衡条件，有qE=mgtan θ，解得E=，故A正确;
小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点
A时速度最小，根据牛顿第二定律，有=m，则最小动
能Ek=mv2=，故B正确;小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置时机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端时机械能最小，故C错误;小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，故D错误。
B
7.(2026·广东佛山高二期末)如图所示，可视为质点的质量为m且电荷量为q的带正电小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O点，绳长为L，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为E=，小球初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　)
A.小球在运动过程中机械能守恒
B.小球在运动过程中机械能和电势能之和守恒
C.小球在运动过程的最小速度至少为
D.小球在运动过程的最大速度至少为5
综合提升练
解析　小球在运动的过程中，只有重力和静电力做功，
机械能不守恒，但机械能和电势能之和守恒，故A错误，
B正确;设小球在电场中运动的等效最高点和等效最低点
分别为A点和B点，如图所示，等效重力G'=mg，小球在
等效最高点，等效重力恰好提供向心力，有G'=m，得v1=，故C错误;小球由等效最高点运动到等效最低点，由动能定理有G'·2L=m-m，解得v2=，故D错误。
8.如图所示，水平放置的两平行金属板A、B的间距为d，电容为C，开始时两极板均不带电，A板接地且中央有小孔。现将带电荷量为q、质量为m的带电液滴从小孔(和A板面积相比足够小)正上方h高处的O点无初速度滴下，液滴落到B板后电荷全部传给B板，已知重力加速度为g。
(1)若液滴在A、B间可做匀速直线运动，则此液滴是第几滴
(2)能够到达B板的液滴不会超过多少滴
答案　(1)+1　(2)+1
解析　(1)随着液滴的不断下落，B板所带电荷量不断增加，由C=知，两极板间电势差也不断增加。由E=知，两极板间电场强度也不断增加。当带电液滴做匀速直线运动时，由平衡条件有qE=mg
又E==，Q=nq,联立解得n=
故第+1滴带电液滴下落的运动为匀速直线运动。
(2)当到达B板的液滴增多时，电容器所带电荷量增大，两极板间电势差也增大。设能够到达B板的液滴不会超过n'滴，且第(n'-1)滴到达B板的速度恰好为零。对第n'滴液滴，由动能定理得qU'=mg(h+d)
又U'==,联立解得n'=+1。
9.如图所示，光滑斜面与光滑竖直圆弧轨道相切于A点，B点
为圆弧轨道的最低点，C点为圆弧轨道的最高点，整个空
间存在水平向左的匀强电场。一质量为m=1 kg、电荷量为
-q的带电小球从斜面上由静止释放，小球始终能沿轨道运
动。已知电场强度E=，斜面与水平方向的夹角θ=53°，圆弧轨道半径R=1 m，g取10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。
(1)求刚释放小球时小球的加速度a的大小;
(2)若小球恰能到达C点，求释放点到A点的距离s及此运动过程中小球对轨道的最大压力。
培优加强练
答案　(1)12.5 m/s2　(2)1.2 m　67.5 N，方向与竖直方向成37°角斜向右下
解析　(1)对小球受力分析，小球所受静电力水平向右，垂直轨道方向，有mgcos θ=qEsin θ，可知小球始终沿轨道运动，根据牛顿第二定律有
mgsin θ+qEcos θ=ma
解得a=12.5 m/s2。
(2)若小球恰好能到达C点，在C点，由牛顿第二定律有
mg=m
从释放到到达C点，由动能定理得
mg(ssin θ-R-Rcos θ)+qE(scos θ+Rsin θ)=m
联立解得s=1.2 m
设小球在B点右侧某位置达到最大速度，该位置和圆心连线与竖直方向成α角，则该位置小球对轨道的压力最大，由受力分析得tan α=
解得α=37°
由释放点到该位置的过程，由动能定理，有
mg(ssin θ-Rcos θ+Rcos α)+qE(scos θ+Rsin θ+Rsin α)=mv2
解得v= m/s
对该位置，由牛顿第二定律得FN-mgcos α-qEsin α=m
解得FN=67.5 N
由牛顿第三定律得小球对轨道的最大压力大小为67.5 N，方向与竖直方向成37°角斜向右下。
本节内容结束
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