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第一课时　两点间的距离公式
一、基础巩固
1.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则线段AB的长为(　　)
A.10 B.5
C.8 D.6
2.(多选)对于,下列说法正确的是(　　)
A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B.可看作点(x,0)与点(－1,－2)的距离
C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D.可看作点(x,－1)与点(－1,1)的距离
3.已知过点M(－2,a),N(a,4)的直线的斜率为－,则|MN|等于(　　)
A.10 B.180
C.6 D.6
4.已知点A(1,2),B(－1,1),C(0,－1),D(2,0),则四边形ABCD的形状为(　　)
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.正方形
5.已知A(5,2a－1),B(a＋1,a－4),当|AB|取最小值时,实数a的值是(　　)
A.－ B.－
C. D.
6.(多选)已知点M(x,－4)与点N(2,3)间的距离为7,则x＝(　　)
A.－9 B.－5
C.5 D.9
7.过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直,则|AB|＝　　　　.
8.已知△ABC的顶点A(2,3),B(－1,0),C(2,0),则△ABC的周长是　　　　.
9.在平面直角坐标系xOy中,已知A(4,3),B(5,2),C(1,0),平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|,则点P的坐标为　　　　.
10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0),B(a,0),C(0,a).求证:△ABC是等边三角形.
二、综合运用
11.(多选)已知点M(4,3),过原点的直线l与直线y＝3交于点A,若|AM|＝2,则直线l的方程为(　　)
A.x－2y＝0 B.2x－y＝0
C.3x－2y＝0 D.2x－3y＝0
12.已知x,y∈R,S＝,则S的最小值是　　　　.
13.已知直线l1:2x＋y－6＝0和点A(1,－1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|＝5,求直线l的方程.
三、拓展提高
14.如图,在△ABC中,|AB|＝|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点.求证:|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
第一课时　两点间的距离公式
一、基础巩固
1.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则线段AB的长为(　　)
A.10 B.5
C.8 D.6
答案　A
解析　设A(a,0),B(0,b),则a＝6,b＝8,即A(6,0),B(0,8),所以|AB|＝＝10,故选A.
2.(多选)对于,下列说法正确的是(　　)
A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B.可看作点(x,0)与点(－1,－2)的距离
C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D.可看作点(x,－1)与点(－1,1)的距离
答案　BCD
解析　＝,可看作点(x,0)与点(－1,－2)的距离,可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离,可看作点(x,－1)与点(－1,1)的距离,故选项A不正确.
3.已知过点M(－2,a),N(a,4)的直线的斜率为－,则|MN|等于(　　)
A.10 B.180
C.6 D.6
答案　D
解析　由已知得＝－,解得a＝10,∴|MN|＝＝6,故选D.
4.已知点A(1,2),B(－1,1),C(0,－1),D(2,0),则四边形ABCD的形状为(　　)
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.正方形
答案　D
解析　由两点间的距离公式可得,
|AB|＝,
|BC|＝,
|CD|＝,
|DA|＝,
所以|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DA|.
又|AC|＝,
|BD|＝,
所以|AC|＝|BD|,
故四边形ABCD是正方形,故选D.
5.已知A(5,2a－1),B(a＋1,a－4),当|AB|取最小值时,实数a的值是(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　C
解析　∵A(5,2a－1),B(a＋1,a－4),
∴|AB|＝
＝
＝,∴当a＝时,|AB|取得最小值.
6.(多选)已知点M(x,－4)与点N(2,3)间的距离为7,则x＝(　　)
A.－9 B.－5
C.5 D.9
答案　BD
解析　由|MN|＝7,得|MN|＝＝7,即x2－4x－45＝0,解得x＝9或x＝－5,故所求x的值为9或－5,故选BD.
7.过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直,则|AB|＝　　　　.
答案　2
解析　因为过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直,所以kAB＝＝1,即a－b＝2,所以|AB|＝＝2.
8.已知△ABC的顶点A(2,3),B(－1,0),C(2,0),则△ABC的周长是　　　　.
答案　6＋3
解析　由两点间距离公式得
|AB|＝＝3,
|BC|＝＝3,
|CA|＝＝3.
故△ABC的周长为6＋3.
9.在平面直角坐标系xOy中,已知A(4,3),B(5,2),C(1,0),平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|,则点P的坐标为　　　　.
答案　(3,1)
解析　设点P的坐标为(x,y),
由
可得
解得因此,点P的坐标为(3,1).
10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0),B(a,0),C(0,a).求证:△ABC是等边三角形.
证明　由两点间的距离公式得
|AB|＝＝2|a|,
|BC|＝＝2|a|,
|CA|＝＝2|a|.
所以|AB|＝|BC|＝|CA|,
故△ABC是等边三角形.
二、综合运用
11.(多选)已知点M(4,3),过原点的直线l与直线y＝3交于点A,若|AM|＝2,则直线l的方程为(　　)
A.x－2y＝0 B.2x－y＝0
C.3x－2y＝0 D.2x－3y＝0
答案　AC
解析　设点A的坐标为(t,3),由|AM|＝＝2,解得t＝2或t＝6.当t＝2时,点A的坐标为(2,3),则直线l的斜率为,此时直线l的方程为y＝x,即3x－2y＝0；当t＝6时,点A的坐标为(6,3),则直线l的斜率为,此时直线l的方程为y＝x,即x－2y＝0.综上所述,直线l的方程为x－2y＝0或3x－2y＝0.
12.已知x,y∈R,S＝,则S的最小值是　　　　.
答案　2
解析　S＝可以看作是点(x,y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和,数形结合(图略)易知最小值为2.
13.已知直线l1:2x＋y－6＝0和点A(1,－1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|＝5,求直线l的方程.
解　当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y＋1＝k(x－1),
解方程组
即B.
由|AB|＝＝5,
解得k＝－,
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1),
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时,方程为x＝1.
此时,与l1的交点为(1,4),也满足题意.
综上所述,直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
三、拓展提高
14.如图,在△ABC中,|AB|＝|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点.求证:|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
证明　如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(－b,0),C(b,0),D(m,0)(－b则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2,
|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2,
|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|
＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2.
所以|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2,
所以|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.

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