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第三课时　两条平行直线间的距离公式
一、基础巩固
1.两条平行线l1:3x＋4y－2＝0,l2:9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)
A. B.
C. D.
2.P,Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
3.(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可以为(　　)
A.2x＋y＝0 B.2x－y－2＝0
C.2x＋y－2＝0 D.2x＋y＋2＝0
4.(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2,实数c的值可以为(　　)
A.9 B.－9
C.11 D.－11
5.两平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(　　)
A.0C.06.(多选)若直线m被平行直线l1:x－y＋1＝0与l2:x－y＋3＝0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是(　　)
A.15° B.30°
C.45° D.75°
7.一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于的直线方程为　　　　　　.
8.已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行,则m＝　　　　,两平行直线间的距离为　　　　.
9.与三条直线l1:x－y＋2＝0,l2:x－y－3＝0,l3:x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为　　　　　　.
10.已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x－y＋1＝0与l2:x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上,求直线l的方程.
二、综合运用
11.正方形ABCD的中心为点O(－1,0),AB边所在的直线方程是x＋3y－5＝0,则CD边所在的直线方程为(　　)
A.x＋3y＋7＝0 B.3x－y－3＝0
C.3x－y＋9＝0 D.x＋3y－27＝0
12.已知m,n,a,b∈R,且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1,则的最小值为　　　　.
13.如图,已知直线l1:x＋y－1＝0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,求直线l2的方程.
三、拓展提高
14.已知三条直线l1:2x－y＋a＝0(a>0),直线l2:4x－2y－1＝0和直线l3:x＋y－1＝0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1
的距离与P点到l3的距离之比是∶ 若能,求出P点坐标；若不能,请说明理由.
第三课时　两条平行直线间的距离公式
一、基础巩固
1.两条平行线l1:3x＋4y－2＝0,l2:9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　l1的方程可化为9x＋12y－6＝0.由平行线间的距离公式,得d＝,故选C.
2.P,Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行,故|PQ|的最小值即两条平行直线间的距离,故d＝.
3.(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可以为(　　)
A.2x＋y＝0 B.2x－y－2＝0
C.2x＋y－2＝0 D.2x＋y＋2＝0
答案　AD
解析　根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠1),因为两直线间的距离等于,所以d＝,解得C＝0或C＝2,故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
4.(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2,实数c的值可以为(　　)
A.9 B.－9
C.11 D.－11
答案　BC
解析　∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2,∴＝2,解得c＝11或c＝－9.
5.两平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(　　)
A.0C.0答案　B
解析　当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大为|AB|＝5,所以06.(多选)若直线m被平行直线l1:x－y＋1＝0与l2:x－y＋3＝0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是(　　)
A.15° B.30°
C.45° D.75°
答案　AD
解析　两平行线间的距离d＝,故m与l1或l2的夹角为30°.又l1,l2的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°,故选AD.
7.一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于的直线方程为　　　　　　.
答案　x－2y＋9＝0(答案不唯一)
解析　设该直线方程为x－2y＋b＝0(b≠3),
由两条平行直线间的距离公式可知>,解得b<－2或b>8,
则该直线可为x－2y＋9＝0,答案不唯一.
8.已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行,则m＝　　　　,两平行直线间的距离为　　　　.
答案　2　
解析　由题意得直线x＋y－1＝0与2x＋my＋3＝0平行,则 m＝2,即直线2x＋my＋3＝0为2x＋2y＋3＝0,又直线x＋y－1＝0可化为2x＋2y－2＝0,所以两直线之间的距离d＝.
9.与三条直线l1:x－y＋2＝0,l2:x－y－3＝0,l3:x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为　　　　　　.
答案　x＋y＝0或x＋y－10＝0
解析　易知l1∥l2,且它们之间的距离
d＝.
设所求直线为l4,则l4∥l3,
所以可设l4:x＋y＋c＝0(c≠－5),
则,
解得c＝0或－10,
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
10.已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x－y＋1＝0与l2:x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上,求直线l的方程.
解　法一　因为点M在直线x＋y－3＝0上,
所以设点M的坐标为(t,3－t),则点M到直线l1,l2的距离相等,
即,
解得t＝,所以M.
又直线l经过点A(2,4),
所以直线l的方程为,
即5x－y－6＝0.
法二　设与l1,l2平行且距离相等的直线为l3:x－y＋c＝0(c≠1且c≠－1),由两平行直线间的距离公式得,解得c＝0,即l3:x－y＝0.
由题意得中点M在直线l3上,又点M在直线x＋y－3＝0上,
所以由
所以M.
又l过点A(2,4),
所以直线l的方程为5x－y－6＝0.
二、综合运用
11.正方形ABCD的中心为点O(－1,0),AB边所在的直线方程是x＋3y－5＝0,则CD边所在的直线方程为(　　)
A.x＋3y＋7＝0 B.3x－y－3＝0
C.3x－y＋9＝0 D.x＋3y－27＝0
答案　A
解析　点O(－1,0)到直线x＋3y－5＝0的距离d＝,设与边AB平行的边CD所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5),则点O(－1,0)到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝,解得m＝－5(舍去)或m＝7,所以CD边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
12.已知m,n,a,b∈R,且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1,则的最小值为　　　　.
答案　1
解析　设点A(m,n),B(a,b),
直线l1:3x＋4y＝6,直线l2:3x＋4y＝1,
则|AB|＝,
由题意知点A(m,n)在直线l1:3x＋4y＝6上,点B(a,b)在直线l2:3x＋4y＝1上,显然l1∥l2,
所以|AB|的最小值就是两平行线之间的距离,
即|AB|min＝＝1.
13.如图,已知直线l1:x＋y－1＝0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,求直线l2的方程.
解　设直线l2的方程为y＝－x＋b(b>1),
由题意知A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).
所以AD＝,BC＝b.
梯形的高h就是两平行直线l1与l2间的距离,
故h＝(b>1),
由梯形面积公式得×＝4,
所以b2＝9,b＝±3.又b>1,所以b＝3.
所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
三、拓展提高
14.已知三条直线l1:2x－y＋a＝0(a>0),直线l2:4x－2y－1＝0和直线l3:x＋y－1＝0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1
的距离与P点到l3的距离之比是∶ 若能,求出P点坐标；若不能,请说明理由.
解　(1)∵l2的方程为2x－y－＝0,
∴l1和l2间的距离d＝,
∴.∵a>0,∴a＝3.
(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1和l2平行的直线l':2x－y＋c＝0(c≠3,且c≠
－)上,
且×,
即c＝或c＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得
·,
故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限,∴3x0＋2＝0不符合题意.
联立方程
解得x0＝－3,y0＝,应舍去.
联立解得x0＝,y0＝.
所以P即为同时满足三个条件的点.

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