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周测卷2　(范围:第一章§1.5~§1.6)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.直线l1:3x＋4y－7＝0与直线l2:6x＋8y＋1＝0之间的距离为(　　)
A.8 B.4
C. D.
2.经过直线l1:x－3y＋4＝0和l2:2x＋y＋5＝0的交点,且经过原点的直线的方程是(　　)
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.3x＋19y＝0 D.19x－3y＝0
3.已知点A(－1,2),B(2,),线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,则|PA|＝(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
4.若光线从点A(－3,5)射到直线l:3x－4y＋4＝0上,反射后经过点B(2,15),则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为(　　)
A.5 B.5
C.5 D.5
5.某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0,另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0,则|c1－c2|＝(　　)
A.2 B.2
C.2 D.4
6.已知定点P(－2,0)和直线l:(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为(　　)
A.2 B.
C. D.2
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知两点A(3,2),B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等,则m的值为(　　)
A.－6 B.1
C.－ D.
8.已知直线l的一个方向向量为u＝,且l经过点(1,－2),则下列结论中正确的是(　　)
A.l的倾斜角等于150°
B.l在x轴上的截距等于
C.l与直线x－3y＋2＝0垂直
D.l上不存在与原点距离等于的点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知直线l1,l2关于y轴对称,l1的方程为2x－3y＝0,则点(2,－1)到直线l2的距离为　　　　.
10.有一光线从点A(－3,5)射到直线l:3x－4y＋4＝0后,再反射到点B(2,15),则入射光线所在直线的方程为　　　　　　.
11.已知x,y为实数,则代数式的最小值是　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)求过直线l1:x－2y＋3＝0与直线l2:2x＋3y－8＝0的交点,且到点P(0,4)的距离为2的直线方程.
13.(15分)已知直线l:3x－y＋3＝0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程.
14.(15分)已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0.
(1)证明:直线恒过定点P；
(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少
(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
周测卷2　(范围:第一章§1.5~§1.6)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.直线l1:3x＋4y－7＝0与直线l2:6x＋8y＋1＝0之间的距离为(　　)
A.8 B.4
C. D.
答案　D
解析　由题意,l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d＝,故选D.
2.经过直线l1:x－3y＋4＝0和l2:2x＋y＋5＝0的交点,且经过原点的直线的方程是(　　)
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.3x＋19y＝0 D.19x－3y＝0
答案　C
解析　由和原点的直线方程为y＝－x,即3x＋19y＝0,故选C.
3.已知点A(－1,2),B(2,),线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,则|PA|＝(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
答案　D
解析　线段AB的中点坐标为,线段AB所在直线的斜率kAB＝,所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝－.令y＝0,得－＝－,解得x＝1,因此,P(1,0).所以|PA|＝＝2,故选D.
4.若光线从点A(－3,5)射到直线l:3x－4y＋4＝0上,反射后经过点B(2,15),则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为(　　)
A.5 B.5
C.5 D.5
答案　B
解析　设A(－3,5)关于直线l:3x－4y＋4＝0的对称点为A'(x',y'),则根据题意有
易知所求的路程即为|A'B|,
由两点间的距离公式得所经过的路程为
|A'B|＝＝5,故选B.
5.某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0,另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0,则|c1－c2|＝(　　)
A.2 B.2
C.2 D.4
答案　B
解析　直线x＋2y＋1＝0与x＋2y＋3＝0的距离d1＝,直线3x－4y＋c1＝0与3x－4y＋c2＝0的距离d2＝,又d1＝d2,故,|c1－c2|＝2.
6.已知定点P(－2,0)和直线l:(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为(　　)
A.2 B.
C. D.2
答案　B
解析　将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0,所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系,但不包含直线3x＋2y－5＝0.设两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点为Q,由得交点Q(1,1),所以直线l恒过定点Q(1,1).又易得PQ与直线3x＋2y－5＝0不垂直,于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝,即点P到直线l的距离的最大值为.
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知两点A(3,2),B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等,则m的值为(　　)
A.－6 B.1
C.－ D.
答案　AD
解析　由题意得,解得m＝－6或m＝,故选AD.
8.已知直线l的一个方向向量为u＝,且l经过点(1,－2),则下列结论中正确的是(　　)
A.l的倾斜角等于150°
B.l在x轴上的截距等于
C.l与直线x－3y＋2＝0垂直
D.l上不存在与原点距离等于的点
答案　CD
解析　因为直线l的一个方向向量为u＝,所以直线l的斜率k＝＝－,设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°),则tan α＝－,所以α＝120°,所以A错误；因为l经过点(1,－2),所以直线l的方程为y＋2＝－(x－1),令y＝0,则x＝－＋1,所以l在x轴上的截距为－＋1,所以B错误；直线x－3y＋2＝0的斜率为,直线l的斜率为－,因为－×＝－1,所以l与直线x－3y＋2＝0垂直,所以C正确；原点到直线l的距离d＝>,所以l上不存在与原点距离等于的点,所以D正确,故选CD.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知直线l1,l2关于y轴对称,l1的方程为2x－3y＝0,则点(2,－1)到直线l2的距离为　　　　.
答案　
解析　因为直线l1,l2关于y轴对称,l1的方程为2x－3y＝0,
所以l2的方程为2(－x)－3y＝0,
即2x＋3y＝0,
所以点(2,－1)到直线l2的距离为
.
10.有一光线从点A(－3,5)射到直线l:3x－4y＋4＝0后,再反射到点B(2,15),则入射光线所在直线的方程为　　　　　　.
答案　6x＋17y－67＝0
解析　设点B(2,15)关于直线l:3x－4y＋4＝0的对称点为B'(a,b),
则
解得则B'(14,－1),
故入射光线AB'所在直线的方程为
y－5＝(x＋3),
即6x＋17y－67＝0.
11.已知x,y为实数,则代数式的最小值是　　　　.
答案　
解析　如图所示,设P(0,y),A(1,2),Q(x,0),B(3,3),
则＝|PA|＋|BQ|＋|PQ|,
分别作A关于y轴的对称点A'(－1,2),B关于x轴的对称点B'(3,－3),
连接A'P,A'B',B'Q,
则≥|A'B'|＝,当且仅当P,Q分别为A'B'与y轴、x轴的交点时,等号成立.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)求过直线l1:x－2y＋3＝0与直线l2:2x＋3y－8＝0的交点,且到点P(0,4)的距离为2的直线方程.
解　由
∴l1,l2交点为(1,2).
由题意知,直线斜率存在,
设所求直线方程为y－2＝k(x－1),
即kx－y＋2－k＝0,
∵P(0,4)到直线距离为2,
∴2＝,
解得k＝0或k＝.
∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
13.(15分)已知直线l:3x－y＋3＝0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程.
解　设P(x,y)关于直线l:3x－y＋3＝0的对称点为P'(x',y').
∵kPP'·kl＝－1,
即×3＝－1. ①
又PP'的中点在直线3x－y＋3＝0上,
∴3×＋3＝0. ②
由①②得
(1)把x＝4,y＝5代入③④得x'＝－2,
y'＝7,
∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为
(－2,7).
(2)用③④中的x',y'分别代换x－y－2＝0中的x,y,得关于l的对称直线方程为
－2＝0,
化简得7x＋y＋22＝0.
14.(15分)已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0.
(1)证明:直线恒过定点P；
(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少
(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
(1)证明　直线方程(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0,
整理得(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0.
因为对任意m等式恒成立,
所以所以直线恒过定点P(－1,－2).
(2)解　由题意得,点Q与定点P(－1,－2)的距离就是点Q到直线距离的最大值,
即＝2.
因为kPQ＝,
所以(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－,可得－＝－,解得m＝.
综上,当m＝时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为2.
(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,直线方程为y＋2＝k(x＋1),k<0,
则A(－1,0),B(0,k－2),
所以S△AOB＝|－1|·|k－2|
＝(－k＋2)
＝2＋
≥2＋2＝4,
当且仅当k＝－2时取等号,所以△AOB的面积的最小值为4,此时直线的方程为2x＋y＋4＝0.

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