资源简介

第二课时　圆的标准方程的应用
一、基础巩固
1.圆心在y轴上,半径长为,且过点(1,－2)的圆的标准方程为(　　)
A.x2＋(y＋1)2＝2
B.x2＋(y－3)2＝2
C.x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2
D.x2＋(y－1)2＝2或x2＋(y－3)2＝2
2.已知圆C过点(0,1),(－2,3)且圆心在x轴负半轴上,则圆C的标准方程为(　　)
A.(x＋3)2＋y2＝10 B.(x－3)2＋y2＝10
C.(x＋4)2＋y2＝10 D.(x－4)2＋y2＝10
3.若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长,则a等于(　　)
A.9 B.－9
C.1 D.－1
4.方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　)
A.一个圆
B.两个点
C.一个点和一个圆
D.一条直线和一个圆
5.圆心在直线2x＋y＝0上,并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
6.(多选)与直线x＝2相切于点(2,0)且半径为1的圆的方程有(　　)
A.(x－1)2＋y2＝1 B.(x－3)2＋y2＝1
C.(x＋1)2＋y2＝1 D.(x＋3)2＋y2＝1
7.已知点A(1,6),B(－5,2),C(1,k),若C点在以AB为直径的圆外,则k的取值范围是　　　　.
8.经点P(2,－3)作圆x2＋y2＝20的弦AB,使点P平分AB,则弦AB所在的直线方程是　　　　　　.
9.已知点P(x,y)为圆x2＋y2＝1上的动点,则x2－4y的最小值为　　　　.
10.已知圆C经过点A(－1,0)和B(3,4),且圆心C在直线x＋3y－15＝0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点Q(－1,m)(m>0)在圆C上,求△QAB的面积.
二、综合运用
11.(多选)设有一组圆Ck:(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R),下列命题正确的是(　　)
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.每个圆的面积均为4π
12.圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值和最小值分别为　　　　.
13.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.
三、拓展提高
14.已知圆C:(x－3)2＋(y－4)2＝1,点A(0,－1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d＝|PA|2＋|PB|2,求d的最大值及最小值.
第二课时　圆的标准方程的应用
一、基础巩固
1.圆心在y轴上,半径长为,且过点(1,－2)的圆的标准方程为(　　)
A.x2＋(y＋1)2＝2
B.x2＋(y－3)2＝2
C.x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2
D.x2＋(y－1)2＝2或x2＋(y－3)2＝2
答案　C
解析　设圆心为(0,a),则圆的标准方程为x2＋(y－a)2＝2,将点(1,－2)代入圆的标准方程得12＋(－2－a)2＝2,解得a＝－1或a＝－3,所以圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2.
2.已知圆C过点(0,1),(－2,3)且圆心在x轴负半轴上,则圆C的标准方程为(　　)
A.(x＋3)2＋y2＝10 B.(x－3)2＋y2＝10
C.(x＋4)2＋y2＝10 D.(x－4)2＋y2＝10
答案　A
解析　设圆C的圆心C(m,0),m<0,半径为r,则所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋y2＝10.
3.若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长,则a等于(　　)
A.9 B.－9
C.1 D.－1
答案　B
解析　因为直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长,所以直线2x－5y＋a＝0经过该圆的圆心(2,－1),即2×2－5×(－1)＋a＝0,解得a＝－9.
4.方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　)
A.一个圆
B.两个点
C.一个点和一个圆
D.一条直线和一个圆
答案　D
解析　(x－1)＝0可转化为x－1＝0或x2＋y2＝3,因此表示一条直线和一个圆.
5.圆心在直线2x＋y＝0上,并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　C
解析　设圆心坐标为(a,b),
则
解得
所以该圆的半径r＝＝5.
6.(多选)与直线x＝2相切于点(2,0)且半径为1的圆的方程有(　　)
A.(x－1)2＋y2＝1 B.(x－3)2＋y2＝1
C.(x＋1)2＋y2＝1 D.(x＋3)2＋y2＝1
答案　AB
解析　如图所示,由图形知,与直线x＝2相切于点(2,0)且半径为1的圆的圆心为(1,0)或(3,0),所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1或(x－3)2＋y2＝1,故选AB.
7.已知点A(1,6),B(－5,2),C(1,k),若C点在以AB为直径的圆外,则k的取值范围是　　　　.
答案　(－∞,2)∪(6,＋∞)
解析　因为点A(1,6),B(－5,2),则以AB为直径的圆的圆心坐标为(－2,4),
半径r＝,
所以圆的方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝13,
因为点C(1,k)在以AB为直径的圆外,
所以(1＋2)2＋(k－4)2>13,
解得k>6或k<2.
故k的取值范围是(－∞,2)∪(6,＋∞).
8.经点P(2,－3)作圆x2＋y2＝20的弦AB,使点P平分AB,则弦AB所在的直线方程是　　　　　　.
答案　2x－3y－13＝0
解析　设圆x2＋y2＝20的圆心为O,则O(0,0).
由P是AB的中点,知AB⊥OP.
因为22＋(－3)2＝13<20,
所以点P在圆O内,且kOP＝＝－,
所以弦AB所在直线的斜率是kAB＝－
＝,
则弦AB所在直线的方程是y＋3＝(x－2),
整理可得,2x－3y－13＝0.
9.已知点P(x,y)为圆x2＋y2＝1上的动点,则x2－4y的最小值为　　　　.
答案　－4
解析　∵点P(x,y)为圆x2＋y2＝1上的动点,∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.由y∈[－1,1],∴当y＝1时,－(y＋2)2＋5有最小值－4.
10.已知圆C经过点A(－1,0)和B(3,4),且圆心C在直线x＋3y－15＝0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点Q(－1,m)(m>0)在圆C上,求△QAB的面积.
解　(1)依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点.
∵AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,
∴AB的垂直平分线的方程为
y－2＝－(x－1),
即y＝－x＋3.
由
即圆心C(－3,6),∴半径r＝＝2.
故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.
(2)∵点Q(－1,m)(m>0)在圆C上,
∴m＝12或m＝0(舍去),
∴Q(－1,12),|AQ|＝12,
直线AQ的方程为x＝－1,
点B到直线AQ的距离为4,
∴△QAB的面积S＝×|AQ|×4＝×12×4＝24.
二、综合运用
11.(多选)设有一组圆Ck:(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R),下列命题正确的是(　　)
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.每个圆的面积均为4π
答案　ABD
解析　圆心坐标为(k,k),在直线y＝x上,A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4,化简得2k2－6k＋5＝0,∵Δ＝36－40＝－4<0,∴2k2－6k＋5＝0无实数根,∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4,化简得k2－4k＋2＝0,∵Δ＝16－8＝8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误；由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.
12.圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值和最小值分别为　　　　.
答案　7,3
解析　∵32＋42＝25>4,∴点A(3,4)在圆外,已知圆的半径r＝2,|OA|＝＝5,故圆上的点到点A的最大距离为|OA|＋r＝7,最小距离为|OA|－r＝3.
13.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.
解　(1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
由题意得
∴
又点P(x0,y0)在圆x2＋y2＝4上,
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4,
即(x－1)2＋y2＝1.
故线段AP的中点M的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|＝|BN|.
设O为圆x2＋y2＝4的圆心,
连接ON,则ON⊥PQ,
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2
＝|ON|2＋|BN|2,
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4,
化简得x2＋y2－x－y－1＝0.
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
三、拓展提高
14.已知圆C:(x－3)2＋(y－4)2＝1,点A(0,－1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d＝|PA|2＋|PB|2,求d的最大值及最小值.
解　设P(x,y),
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
因为圆心C的坐标为(3,4),
所以|CO|2＝32＋42＝25,
所以(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.
所以d的最小值为2×16＋2＝34.
最大值为2×36＋2＝74.

展开更多......

收起↑