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2.2　圆的一般方程
一、基础巩固
1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
2.若圆x2＋y2－2kx－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则k等于(　　)
A. B.－
C.3 D.－3
3.已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆面积最大时，圆心坐标为(　　)
A.(1，1) B.(0，1)
C.(－1，0) D.(0，－1)
4.(多选)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　)
A.－2 B.0
C.1 D.
5.圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为1的点共有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.(多选)已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　　)
A.当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆
B.当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆
C.当a＝0时，表示圆的半径为2
D.当a＝8时，表示圆的圆心到y轴的距离等于半径
7.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是　　　　.
8.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为　　　　.
9.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，给出下列叙述：①圆心在直线y＝－x上；②圆心在x轴上；③过原点；④半径为a.其中叙述正确的是　　　　.(填序号)
10.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心坐标和半径；
(2)求证：不论m为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆.
二、综合运用
11.(多选)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　)
A.圆心是(－1，2)
B.半径是2
C.a＋b＝1
D.ab的取值范围是
12.点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　　　　.
13.已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径.
(1)圆的面积最小；
(2)圆心距离坐标原点最近.
三、拓展提高
14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：
x2＋y2＝|x|＋|y|是一条形状优美的曲线，求曲线C围成的图形的面积.
2.2　圆的一般方程
一、基础巩固
1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
答案　A
解析　方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)，故选A.
2.若圆x2＋y2－2kx－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则k等于(　　)
A. B.－
C.3 D.－3
答案　B
解析　圆心为(k，0)在直线2x－y＋3＝0上，所以2k－0＋3＝0，所以k＝－，故选B.
3.已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆面积最大时，圆心坐标为(　　)
A.(1，1) B.(0，1)
C.(－1，0) D.(0，－1)
答案　D
解析　∵r＝，
∴当S最大即r最大时，k＝0，此时圆心坐标为(0，－1).
4.(多选)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　)
A.－2 B.0
C.1 D.
答案　ABD
解析　根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，结合选项则a的值可以为－2，0，.
5.圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为1的点共有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案　C
解析　圆的方程x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2，圆心(－1，1)到直线l：x＋y＋＝0的距离d＝＝1，所以d＝r，所以圆上到直线l的距离为1的点共有3个.故选C.
6.(多选)已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　　)
A.当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆
B.当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆
C.当a＝0时，表示圆的半径为2
D.当a＝8时，表示圆的圆心到y轴的距离等于半径
答案　BCD
解析　方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0可化为(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2a.若方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0表示圆，则20－2a>0，即a<10，故A错误；
当a<10时，方程表示圆心为(2，－4)的圆，故B正确；
当a＝0时，方程表示的圆的半径为＝2，故C正确；
当a＝8时，方程表示的圆的半径为＝2，等于圆心(2，－4)到y轴的距离，故D正确.
7.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　(－∞，－13)
解析　因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m<0，解得m<－13，又由4＋9－4m>0，得m<，故m<－13.
8.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为　　　　.
答案　x2＋y2－8x＋6y＝0
解析　设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
9.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，给出下列叙述：①圆心在直线y＝－x上；②圆心在x轴上；③过原点；④半径为a.其中叙述正确的是　　　　.(填序号)
答案　①③
解析　将圆的方程化为标准方程为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，可知a≠0，圆心为(－a，a)，半径为|a|，故①③正确.
10.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心坐标和半径；
(2)求证：不论m为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆.
(1)解　圆的方程x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0，
可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
∴圆心坐标为(1－m，2m)，半径为3.
(2)证明　设圆心为(x，y)，
由(1)可知，则2x＋y＝2，
∴不论m为何实数，该圆的圆心恒在直线2x＋y－2＝0上，
由(1)可得，圆的半径为定值3，
故不论m为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆.
二、综合运用
11.(多选)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　)
A.圆心是(－1，2)
B.半径是2
C.a＋b＝1
D.ab的取值范围是
答案　ABC
解析　原方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故其圆心是(－1，2)，半径是2.由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，所以a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－≤，所以ab的取值范围是.
12.点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　　　　.
答案　9π
解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为
＝3，
∴该圆的面积为9π.
13.已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径.
(1)圆的面积最小；
(2)圆心距离坐标原点最近.
解　因为(m－2)2＋(m＋1)2－4(m－2)＝2m2－6m＋13＝2>0恒成立，
所以无论m为何值，方程总表示圆，且圆心坐标为，
圆的半径r＝.
(1)当圆的半径最小时，圆的面积最小.
r＝≥，当且仅当m＝时，等号成立，此时面积最小.
所以当圆的面积最小时，圆心坐标为
，半径r＝.
(2)圆心到坐标原点的距离d＝≥，当且仅当m＝时，圆心到坐标原点的距离最近，此时，圆心坐标为，半径r＝.
三、拓展提高
14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：
x2＋y2＝|x|＋|y|是一条形状优美的曲线，求曲线C围成的图形的面积.
解　以－x，－y代换x，y，方程x2＋y2＝|x|＋|y|不变，故曲线C：x2＋y2＝|x|＋|y|关于原点及x轴，y轴对称，当x≥0，y≥0时，
可得x2＋y2－x－y＝0，
即，
可得此时曲线是以C为圆心，r＝为半径的半圆，
由此作出曲线C的图象，如图所示，
所以曲线C围成的图形的面积是×＋2×π×＝2＋π.

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