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2.3　直线与圆的位置关系
一、基础巩固
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
2.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长为(　　)
A. B.
C.1 D.5
3.以点(3，－1)为圆心，且与直线x－3y＋4＝0相切的圆的方程是(　　)
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝20
B.(x－3)2＋(y＋1)2＝10
C.(x＋3)2＋(y－1)2＝10
D.(x＋3)2＋(y－1)2＝20
4.(多选)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程可以是(　　)
A.2x＋y＋＝0 B.2x＋y－＝0
C.2x＋y＋5＝0 D.2x＋y－5＝0
5.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB面积的最小值是(　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
6.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程有(　　)
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
7.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为　　　　　　　　.
8.若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝　　　　.
9.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有　　　　个.
10.已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切.
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程.
二、综合运用
11.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　)
A.|b|＝
B.－1C.－1≤b<1
D.非以上答案
12.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　.
13.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
三、拓展提高
14.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
2.3　直线与圆的位置关系
一、基础巩固
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案　C
解析　圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交，故选C.
2.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长为(　　)
A. B.
C.1 D.5
答案　A
解析　圆心坐标为(2，－2)，半径为.圆心到直线x－y－5＝0距离为，所以弦长为2，故选A.
3.以点(3，－1)为圆心，且与直线x－3y＋4＝0相切的圆的方程是(　　)
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝20
B.(x－3)2＋(y＋1)2＝10
C.(x＋3)2＋(y－1)2＝10
D.(x＋3)2＋(y－1)2＝20
答案　B
解析　因为点(3，－1)到直线x－3y＋4＝0的距离是d＝.所以圆的半径为，则圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝10，故选B.
4.(多选)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程可以是(　　)
A.2x＋y＋＝0 B.2x＋y－＝0
C.2x＋y＋5＝0 D.2x＋y－5＝0
答案　CD
解析　依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则圆心(0，0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为，解得c＝±5.故所求切线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
5.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB面积的最小值是(　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
答案　B
解析　圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，是以C(1，1)为圆心，1为半径的圆.
由于四边形PACB的面积＝2××|PA|×|AC|＝|PA|，
而|PA|＝，
因此当|PC|最小时，四边形PACB面积最小，
又|PC|的最小值等于圆心C到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离d，
而d＝＝3，
故四边形PACB面积的最小值为＝2.
6.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程有(　　)
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
答案　ABD
解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则，解得k＝±1.
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则，解得a＝4(a＝0舍去).
7.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为　　　　　　　　.
答案　2x－y＝0
解析　由x2＋y2－2x－4y＋4＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝1，故圆心为(1，2)，半径r＝1.
又弦长为2，故弦为直径，即弦所在直线过圆心(1，2)，又直线过原点，因此所求直线方程是2x－y＝0.
8.若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝　　　　.
答案　－
解析　圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)，半径等于1.
由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得＝1，求得k＝－.
9.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有　　　　个.
答案　3
解析　圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为.因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l在圆心同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为，共3个点.
10.已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切.
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程.
解　(1)由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a>0)，
由题意，得，
解得a＝－6(舍)或a＝2，
所以圆的半径为r＝，
则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.
(2)若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为，则|AB|＝2＝2，符合题意；
若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y－k＋3＝0.
弦心距d＝，
得|AB|＝2＝2，
解得k＝－，
直线方程为y＝－x＋，
即4x＋3y－13＝0，
综上，直线l的方程为
x＝1或4x＋3y－13＝0.
二、综合运用
11.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　)
A.|b|＝
B.－1C.－1≤b<1
D.非以上答案
答案　B
解析　曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个圆，仅仅是圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－112.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　.
答案　10
解析　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直，设点F为圆心，坐标为(1，3)，故|EF|＝，所以|BD|＝2＝2，则S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10.
13.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
解　建立如图所示的平面直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上.
由题意，点P，B的坐标分别为(0，4)，(10，0).设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.
于是得到方程组
解得b＝－10.5，r2＝14.52.
所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52，
把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，
即y＋10.5＝(P2的纵坐标y>0，平方根取正值).
所以y＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m).
故支柱A2P2的高度约为3.86 m.
三、拓展提高
14.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明　l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
由
解得
即l恒过定点A(3，1).
因为圆心为C(1，2)，|AC|＝<5(半径)，所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，
所以l的斜率为2.又l过点A(3，1)，
所以l的方程为2x－y－5＝0.

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