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2.4　圆与圆的位置关系
一、基础巩固
1.两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.内含
2.圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成的图形的面积为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
3.半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　)
A.x2＋y2－6x－8y＝0
B.x2＋y2＋6x－8y＝0
C.x2＋y2＋6x＋8y＝0
D.x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2＋6x＋8y＝0
4.已知圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2＝16有公共点，则r的取值范围为(　　)
A.(0，1] B.[1，5]
C.[1，9] D.[5，9]
5.(多选)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是(　　)
A.(x－4)2＋(y－6)2＝6
B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C.(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36
6.(多选)已知圆C1与x轴相切，且C1在直线y＝x上，圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，若圆C1与圆C2相切，则圆C1的半径长可能是(　　)
A. B.2
C.4＋2 D.4－2
7.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是　　　　　　.
8.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上.存在正实数r＝　　　　，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个.
9.已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y＋10＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是　　　　，公共弦AB长度为　　　　.
10.已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含
二、综合运用
11.(多选)以下四个命题正确的是(　　)
A.直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)恒过定点(－3，－3)
B.圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋＝0的距离都等于1
C.曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D.已知圆C：x2＋y2＝1，点P为直线＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点
12.若圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－2ax－2ay－5a＝0有且仅有一条公切线，则a＝　　　　；此公切线的方程为　　　　.
13.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
三、拓展提高
14.如图，已知☉C的圆心在坐标原点，且与直线x＋3y＋4＝0相切.点P在直线x＝8上，过点P引☉C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)求四边形OAPB面积的最小值；
(2)求证：直线AB过定点.
2.4　圆与圆的位置关系
一、基础巩固
1.两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.内含
答案　C
解析　法一　把两圆的方程分别配方，化为标准方程分别为(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心分别为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径分别为r1＝2，r2＝，则圆心距|C1C2|＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2<|C1C2|法二　联立方程
解得即方程组有两组解，也就是说两圆的交点个数为2，故两圆相交.
2.圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成的图形的面积为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
答案　B
解析　两圆的公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.与坐标轴的交点分别为(－2，0)，(0，2)，所得三角形的面积为×2×2＝2，故选B.
3.半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　)
A.x2＋y2－6x－8y＝0
B.x2＋y2＋6x－8y＝0
C.x2＋y2＋6x＋8y＝0
D.x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2＋6x＋8y＝0
答案　B
解析　已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，由题知所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)，故圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝52，化成一般式为x2＋y2＋6x－8y＝0，故选B.
4.已知圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2＝16有公共点，则r的取值范围为(　　)
A.(0，1] B.[1，5]
C.[1，9] D.[5，9]
答案　C
解析　由题知：C1(1，－2)，r1＝r，C2(4，2)，r2＝4，|C1C2|＝＝5.因为C1和C2有公共点，所以|r－4|≤|C1C2|≤r＋4，解得1≤r≤9，故选C.
5.(多选)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是(　　)
A.(x－4)2＋(y－6)2＝6
B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C.(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36
答案　CD
解析　由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，又由两圆内切，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.
6.(多选)已知圆C1与x轴相切，且C1在直线y＝x上，圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，若圆C1与圆C2相切，则圆C1的半径长可能是(　　)
A. B.2
C.4＋2 D.4－2
答案　BCD
解析　由题意可知C1(a，a)，r＝|a|，又C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，所以圆C2的圆心为(1，2)，半径为1，若圆C1与圆C2相切，则＝|a|＋1或＝||a|－1|，解得a＝4＋2或a＝4－2或a＝2，故选BCD.
7.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是　　　　　　.
答案　a2＋b2>3＋2
解析　由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1.因为两圆外离，所以>＋1，即a2＋b2>3＋2.
8.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上.存在正实数r＝　　　　，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个.
答案　5－5
解析　原点(0，0)到直线x－y＋10＝0的距离d＝＝5，当满足r＋5＝d时，即r＝5－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切.
9.已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y＋10＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是　　　　，公共弦AB长度为　　　　.
答案　2x＋y＋3＝0　
解析　圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝16，其中圆心C1(1，－5)，半径为4；圆C2的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，其中圆心C2(－1，－1)，半径为1，而线段AB的垂直平分线恰为直线C1C2，其方程为y＋1＝×(x＋1)，即2x＋y＋3＝0；两圆的方程相减可得线段AB所在的直线方程为4x－8y－9＝0，所以圆心C2(－1，－1)到直线AB的距离d＝，所以|AB|＝2＝2.
10.已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含
解　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，
即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
(4)当|C1C2|<3，即0二、综合运用
11.(多选)以下四个命题正确的是(　　)
A.直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)恒过定点(－3，－3)
B.圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋＝0的距离都等于1
C.曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D.已知圆C：x2＋y2＝1，点P为直线＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点
答案　BCD
解析　由(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0，得3x＋4y－3＋m(x＋3)＝0，得解得所以直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)恒过定点(－3，3)，故A错误；
因为圆心(0，0)到直线l：x－y＋＝0的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线l：x－y＋＝0的距离等于1，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线C1：x2＋y2＋2x＝0化为标准式(x＋1)2＋y2＝1，曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0化为标准式(x－2)2＋(y－4)2＝20－m>0，圆心距为＝5＝1＋，解得m＝4，故C正确；
设点P的坐标为(m，n)，所以＝1，以OP为直径的圆的方程为，即x2＋y2－mx－ny＝0，两圆的方程作差得直线AB的方程为mx＋ny＝1，消去n，得m＋2y－1＝0，令x－＝0，2y－1＝0，解得x＝，y＝，故直线AB经过定点，故D正确.
12.若圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－2ax－2ay－5a＝0有且仅有一条公切线，则a＝　　　　；此公切线的方程为　　　　.
答案　1　x＋y＋2＝0
解析　如图，由题意得C1与C2相内切，又C2：(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5a，
所以|C1C2|＝－1，
所以2a＋1＝，解得a＝1，
所以C2(，1)，.
联立解得，所以切点的坐标为，故所求公切线的方程为y＋＝－，即x＋y＋2＝0.
13.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
解　(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，
可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，
两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.
因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0，0)，
即r2＝9(r>0)，
解得r＝3.
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，
所以，
由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得，
解得λ＝1，故所求圆的方程为
x2＋y2－x－2y＝0.
三、拓展提高
14.如图，已知☉C的圆心在坐标原点，且与直线x＋3y＋4＝0相切.点P在直线x＝8上，过点P引☉C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)求四边形OAPB面积的最小值；
(2)求证：直线AB过定点.
(1)解　依题意得，圆心(0，0)到直线x＋3y＋4＝0的距离d＝r，
∴r＝d＝，
∴圆C的方程为x2＋y2＝.
如图所示，连接OA，OB，OP，
∵PA，PB是圆C的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴S四边形OAPB＝2S△OAP
＝2×|OA|·|PA|＝.
∴当|PO|取最小值8时，
(S四边形OAPB)min＝×.
(2)证明　由(1)得，A，B在以OP为直径的圆上，
设点P的坐标为(8，b)，b∈R，
则线段OP的中点坐标为，
∴以OP为直径的圆的方程为
(x－4)2＋＝16＋，
即x2＋y2－8x－by＝0.
∵AB为两圆的公共弦，
∴由
得直线AB的方程为8x＋by＝，b∈R，
即8＋by＝0，
则直线AB恒过定点.

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