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周测卷3　(范围：第一章§2)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.若曲线x2＋y2＋2x＋my＋2＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)
A.(2，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2.经过点(1，0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)
A.(x－1)2＋y2＝1
B.(x－1)2＋(y－1)2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
3.已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1，0)，则圆C的圆心轨迹是(　　)
A.点 B.直线
C.线段 D.圆
4.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A.x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0
C.x2＋y2＋2x－3＝0 D.x2＋y2－4x＝0
5.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
6.平面直角坐标系内，过点D(，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)
A.a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B.2ax1＋2by1＝a2＋b2
C.x1＋x2＝a
D.y1＋y2＝2b
8.在同一平面直角坐标系中，直线ax－y＋a＝0与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置关系可能是(　　)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.已知圆C(C为圆心，且点C在第一象限)经过A(0，0)，B(2，0)，且△ABC为直角三角形，则圆C的标准方程是　　　　.
10.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋8＝0的最大距离是　　　　.
11.若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0，C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距最短，并判断两圆此时的位置关系.
13.(15分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；
(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程.
14.(15分)某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)，在圆弧的两端点A，B处分别建有监测站，A与B之间的直线距离为10海里.
(1)求海域ABCD的面积；
(2)现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点4海里，在B点测得其距B点2海里.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD，请说明理由.
周测卷3　(范围：第一章§2)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.若曲线x2＋y2＋2x＋my＋2＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)
A.(2，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案　C
解析　由题意得22＋m2－8>0，解得m<－2或m>2.即m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
2.经过点(1，0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)
A.(x－1)2＋y2＝1
B.(x－1)2＋(y－1)2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　B
解析　由得即所求圆的圆心坐标为(1，1).由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，故选B.
3.已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1，0)，则圆C的圆心轨迹是(　　)
A.点 B.直线
C.线段 D.圆
答案　D
解析　∵圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1，0)，∴1－2a＋a2＋b2－1＝0，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.
4.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A.x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0
C.x2＋y2＋2x－3＝0 D.x2＋y2－4x＝0
答案　D
解析　由题意设圆心坐标为C(a，0)(a>0).因为圆C与直线3x＋4y＋4＝0相切，圆C的半径为2，所以＝2，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选D.
5.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案　A
解析　设圆心C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，
所以|OC|≥5－1＝4，
当且仅当C在线段OM上时取等号.
6.平面直角坐标系内，过点D(，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案　A
解析　曲线y＝表示以原点O为圆心，1为半径的上半圆，如图所示：
△AOB的面积S＝|OA||OB|·sin ∠AOB＝sin ∠AOB.要使三角形的面积最大，则需sin ∠AOB＝1，即∠AOB＝90°，则|AB|＝.取AB的中点C，连接OC，则|OC|＝|AB|＝，∵|OD|＝，∴sin ∠ODC＝，则∠ODC＝30°，∴∠ADx＝150°，即直线l的倾斜角为150°，则直线l的斜率k＝tan 150°＝－，故选A.
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)
A.a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B.2ax1＋2by1＝a2＋b2
C.x1＋x2＝a
D.y1＋y2＝2b
答案　ABC
解析　由题意，圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2.分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点坐标代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项A，B是正确的；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C是正确的，选项D是不正确的，故选ABC.
8.在同一平面直角坐标系中，直线ax－y＋a＝0与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置关系可能是(　　)
答案　AD
解析　圆(x＋a)2＋y2＝a2的圆心为(－a，0)，半径为|a|.圆心(－a，0)到直线ax－y＋a＝0的距离d＝.不妨令<|a|，可得<1，即1－2a＋a2<1＋a2，当a>0时，不等式恒成立，说明直线与圆相交，且直线的斜率为正数；当a<0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，且直线的斜率为负数，所以A，D可能，B，C不可能，故选AD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.已知圆C(C为圆心，且点C在第一象限)经过A(0，0)，B(2，0)，且△ABC为直角三角形，则圆C的标准方程是　　　　.
答案　(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析　设圆C的半径为R，因为|CA|＝|CB|＝R，△ABC为直角三角形，所以∠C＝90°.因为点A(0，0)，B(2，0)，C在第一象限，所以C(1，1)，且R＝，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
10.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋8＝0的最大距离是　　　　.
答案　4
解析　由题意可得，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心的坐标为(1，1)，半径r＝1，则圆心到直线的距离d＝＝3，所以最大距离是3＋1＝4.
11.若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是　　　　.
答案　＋3
解析　由x2＋y2＋4x－2y－4＝0可得(x＋2)2＋(y－1)2＝9，表示以(－2，1)为圆心，3为半径的圆，，表示圆上一点P(x，y)到(0，0)的距离，作出图形，当圆上一点P位于M时，有最大值|OM|，|OM|＝|OC|＋3＝＋3＝＋3.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0，C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距最短，并判断两圆此时的位置关系.
解　两圆的标准方程分别是C1：(x＋k)2＋y2＝1，C2：x2＋(y＋k＋1)2＝1，
圆心坐标分别是C1(－k，0)，C2(0，－k－1)，且两圆的半径长均为1.
则圆心距|C1C2|＝
＝.
所以当k＝－时，圆心距有最小值，此时圆C1与圆C2的半径分别为r1＝1，r2＝1，且|C1C2|min＝.
因为0<|C1C2|<2，所以此时两圆相交.
13.(15分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；
(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程.
解　(1)圆C的方程变形为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心C的坐标为(－1，2)，半径为.
(2)因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，所以设直线l的方程为x＋y＋a＝0(a≠0)，
因为直线l与圆C相切，
所以，
所以a＝1或a＝－3，所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
14.(15分)某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)，在圆弧的两端点A，B处分别建有监测站，A与B之间的直线距离为10海里.
(1)求海域ABCD的面积；
(2)现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点4海里，在B点测得其距B点2海里.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD，请说明理由.
解　(1)因为∠AOB＝，|AB|＝10海里，
|AD|＝|BC|＝2海里，
所以|OA|＝|OB|＝|AB|＝10海里，
|OD|＝|OA|＋|AD|＝12海里，
所以S海域ABCD＝·π(|OD|2－|OA|2)
＝π·(122－102)＝(平方海里).
(2)以O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系(令点A在第一象限，图略).由题意知，点P在以B为圆心，2海里为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝76上；点P也在以A为圆心，4海里为半径的圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上.
由
解得或
又海域ABCD内的点(x，y)满足
由32＋(3)2＝36<100，
92＋(5)2＝156>144，
可知这艘不明船只没有进入海域ABCD.

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