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第二课时　椭圆的标准方程的综合应用
一、基础巩固
1.若点P(a，1)在椭圆＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A.
B.∪
C.
D.
2.点P(4cos α，2sin α)(α∈R)与椭圆C：＝1的位置关系是(　　)
A.点P在椭圆C上
B.不能确定，与α的取值有关
C.点P在椭圆C内
D.点P在椭圆C外
3.已知F是椭圆＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)
A.6 B.15
C.20 D.12
4.已知圆B：(x＋2)2＋y2＝64，点A(2，0)，动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
5.(多选)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则下列说法中正确的是(　　)
A.|PF1|＝5，|PF2|＝3
B.△PF1F2为直角三角形
C.△PF1F2的面积为6
D.＝12
6.(多选)已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
7.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P，则椭圆的方程为　　　　　　　　.
8.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＝1上，则＝　　　　.
9.已知椭圆C：＝1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝　　　　.
10.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.
(2)与椭圆＝1有相同焦点，且过点(3，).
二、综合运用
11.(多选)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A.|AF|＋|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m＝时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
12.已知F1，F2为椭圆C：＝1的左、右焦点，点P为C上一点，则|PF1|·|PF2|的最小值为　　　　，的最小值为　　　　.
13.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求点P的坐标.
三、拓展提高
14.用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点P1折叠到点A，连接OP1，标记出OP1与折痕l1的交点M1(如图)，若不断在圆周上取新的点P2，P3，…进行折叠并得到标记点M2，M3，…，试判断点M1，M2，M3，…形成的轨迹的形状是什么.
第二课时　椭圆的标准方程的综合应用
一、基础巩固
1.若点P(a，1)在椭圆＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A.
B.∪
C.
D.
答案　B
解析　由题意知>1，即a2>，解得a>或a<－.
2.点P(4cos α，2sin α)(α∈R)与椭圆C：＝1的位置关系是(　　)
A.点P在椭圆C上
B.不能确定，与α的取值有关
C.点P在椭圆C内
D.点P在椭圆C外
答案　D
解析　把(4cos α，2sin α)(α∈R)代入椭圆方程的左边，得＝4(cos 2α＋sin 2α)＝4>1，因此点P在椭圆C外.故选D.
3.已知F是椭圆＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)
A.6 B.15
C.20 D.12
答案　D
解析　由题意可知a＝5，b＝3，c＝＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S＝|OF|·|y1－y2|≤c·2b＝12.
4.已知圆B：(x＋2)2＋y2＝64，点A(2，0)，动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
答案　C
解析　由题意得|PA|＝|PC|，
则|PB|＋|PA|＝|PB|＋|PC|＝|BC|＝8>|AB|＝4，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，
∴点P的轨迹方程是＝1，故选C.
5.(多选)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则下列说法中正确的是(　　)
A.|PF1|＝5，|PF2|＝3
B.△PF1F2为直角三角形
C.△PF1F2的面积为6
D.＝12
答案　ABC
解析　由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝4，
∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
故△PF1F2为直角三角形，
∴×3×4＝6.
6.(多选)已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
答案　AD
解析　由题得，2c＝8，2a＝16，则a＝8，c＝4，而b2＝a2－c2＝48，所以椭圆的标准方程是＝1或＝1，故选AD.
7.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P，则椭圆的方程为　　　　　　　　.
答案　＝1
解析　根据题意知|PO|＝＝c，
故F1(－，0)，F2(，0).
∴|PF1|＋|PF2|＝＝4＋2＝6＝2a，
∴a＝3，∴b＝2，
∴椭圆的方程为＝1.
8.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＝1上，则＝　　　　.
答案　
解析　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，
顶点B在椭圆＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，|AC|＝2c＝6，
∴由正弦定理可知.
9.已知椭圆C：＝1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝　　　　.
答案　12
解析　如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，
因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，
所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)
＝4a＝12.
10.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.
(2)与椭圆＝1有相同焦点，且过点(3，).
解　(1)由题意知，2a＝26，即a＝13，
又c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为
＝1或＝1.
(2)法一　因为所求椭圆与椭圆＝1有相同焦点，
所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＝1(a>b>0).
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
所以a2－b2＝16. ①
又点(3，)在椭圆上，所以＝1. ②
由①②得b2＝20，a2＝36，
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
法二　因为所求椭圆与椭圆＝1有相同的焦点，所以其焦点在x轴上，且焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，
设它的标准方程为＝1(a>b>0)，
又椭圆过点(3，)，由椭圆定义可知，
2a＝＝12，所以a＝6.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝20，
所以椭圆的标准方程为＝1.
法三　由题意可设其方程为＝1(λ>－9).又椭圆过点(3，)，
将此点坐标代入椭圆方程，得λ＝11，
故所求的椭圆的标准方程为＝1.
二、综合运用
11.(多选)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A.|AF|＋|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m＝时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
答案　AD
解析　设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF'|＝2a＝6，为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的范围是(0，6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；
令y＝，可得A，B两点坐标，
不妨设A(－)，B()，
∵F(，0)，∴·＝(－2，0)·(，－)＝6－6<0，∴△ABF不是直角三角形，C错误；
令y＝1，可得A，B两点坐标，
不妨设A(－，1)，B(，1)，则BF⊥x轴，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确.故选AD.
12.已知F1，F2为椭圆C：＝1的左、右焦点，点P为C上一点，则|PF1|·|PF2|的最小值为　　　　，的最小值为　　　　.
答案　12　
解析　椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，a－c≤|PF2|≤a＋c即2≤|PF2|≤6，
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝8－|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝8|PF2|－|PF2|2＝16－(|PF2|－4)2，
又2≤|PF2|≤6，所以12≤|PF1|·|PF2|≤16，所以|PF1|·|PF2|的最小值为12.
又≥，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取等号，
所以的最小值为.
13.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求点P的坐标.
解　(1)由椭圆的定义，有a＝＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－
2|PF1|·|PF2|cos 120°
＝(2＋)2＋(2－)2＋(2＋)(2－)＝15，
即4c2＝15，得c2＝，
所以b2＝a2－c2＝4－，
故椭圆C的方程为＋4y2＝1.
(2)设点P的坐标为(m，n)，
因为|PF1|>|PF2|，所以m>0.
|PF1||PF2|sin 120°
＝×(2＋)×(2－)×，
又×2c|n|＝，
所以，
解得n＝±，
将点P的坐标代入椭圆C的方程，
得＝1，
解得m＝(负值舍去)，
故点P的坐标为或.
三、拓展提高
14.用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点P1折叠到点A，连接OP1，标记出OP1与折痕l1的交点M1(如图)，若不断在圆周上取新的点P2，P3，…进行折叠并得到标记点M2，M3，…，试判断点M1，M2，M3，…形成的轨迹的形状是什么.
解　点M1，M2，M3，…形成的轨迹是椭圆，证明如下：
设P是圆O上任意一点，OP与折痕l的交点M，
所以有|MP|＝|MA|，而|MP|＝|OP|－|OM|，
所以有|OP|－|OM|＝|MA| |MA|＋|OM|＝|OP|，
因为O和A是定点，且点A在圆O内，
所以|OA|<|OP|，|OP|为圆O的半径，为定值，
因此点M的轨迹是以O和A为焦点的椭圆，
所以点M1，M2，M3，…形成的轨迹是椭圆.

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