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2.1　双曲线及其标准方程
一、基础巩固
1.与椭圆＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线的方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
2.双曲线2x2－3y2＝6的焦点坐标是(　　)
A.(0，－) B.(－，0)
C.(，0)，(－，0) D.(0，)，(0，－)
3.设k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)
A.长轴在x轴上的椭圆
B.长轴在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
4.已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A.k>5 B.k>5或－2C.k>2或k<－2 D.－25.已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P是C的右支上一点(不在x轴上)，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则MO的长是(　　)
A.随P点位置变化而变化
B.2
C.4
D.5
6.(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有 (　　)
A.点P到x轴的距离为
B.|PF1|＋|PF2|＝
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2＝
7.双曲线＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为　　　　.
8.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线的焦距为　　　　.
9.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为　　　　　　.
10.如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP，BP运到P处，其中|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，怎样运土才能最省工
二、综合运用
11.双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况.如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知AB＝34海里，AC＝20海里，现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建系(单位长度为1海里).现根据船P接收到C与A发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P在双曲线＝1的左支上，根据船P接收到A与B发出的电磁波的时间差，计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离多30海里，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.(45，±16)
12.若点P在曲线C1：＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是　　　　.
13.已知椭圆C：＝1(a>b>0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C：＝1(a>0，b>0)写出具有类似特征的性质，并加以证明.
三、拓展提高
14.设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点.求||MP|－|FP||的最大值.
2.1　双曲线及其标准方程
一、基础巩固
1.与椭圆＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线的方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
答案　B
解析　由已知得椭圆的焦点为(0，3)，(0，－3)，
所以双曲线的焦点为(0，3)，(0，－3)，
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
所以解得
所以双曲线的方程为＝1.故选B.
2.双曲线2x2－3y2＝6的焦点坐标是(　　)
A.(0，－) B.(－，0)
C.(，0)，(－，0) D.(0，)，(0，－)
答案　C
解析　因为双曲线方程可化为＝1，所以c2＝2＋3＝5，得c＝±，所以焦点坐标为
(－，0)，(，0)，故选C.
3.设k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)
A.长轴在x轴上的椭圆
B.长轴在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
答案　D
解析　因为k>1，所以1－k<0，k2－1>0，所以方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选D.
4.已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A.k>5 B.k>5或－2C.k>2或k<－2 D.－2答案　B
解析　因为方程对应的图形是双曲线，
所以(k－5)(|k|－2)>0.
即或
解得k>5或－25.已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P是C的右支上一点(不在x轴上)，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则MO的长是(　　)
A.随P点位置变化而变化
B.2
C.4
D.5
答案　C
解析　如图所示，延长F2M交PF1于点D.
易知△PDM≌△PF2M(ASA)，
∴|PD|＝|PF2|，M为DF2的中点，
又O为F1F2的中点，
∴|OM|＝|DF1|＝(|PF1|－|PD|)
＝(|PF1|－|PF2|)＝a＝4.故选C.
6.(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有 (　　)
A.点P到x轴的距离为
B.|PF1|＋|PF2|＝
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2＝
答案　BC
解析　因为在双曲线＝1中，a＝4，b＝3，所以c＝＝5，设点P的坐标为(xP，yP)，因为·2c·|yP|＝5|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以P到x轴的距离为4，故A错误；将|yP|＝4代入＝1，得|xP|＝，不妨取P，又F1(－5，0)，F2(5，0)，则|PF1|＝，|PF2|＝，所以|PF1|＋|PF2|＝，故B正确；因为>0，所以∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，故C正确；因为|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2，即××sin ∠F1PF2＝20，则sin ∠F1PF2＝，所以∠F1PF2≠，故D错误.
7.双曲线＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为　　　　.
答案　
解析　由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝.
8.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线的焦距为　　　　.
答案　2
解析　设点P在双曲线的右支上，
由题意知解得
因为2<2c，所以|PF2|<|F1F2|，
即∠PF1F2为△PF1F2的最小内角.
所以4＝16＋4c2－2×4×2c×，
化简得c2－2c＋3＝0，
即(c－)2＝0，解得c＝.
所以焦距为2.
9.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为　　　　　　.
答案　＝1(x≥)
解析　如图，设动圆M的半径为r，则由已知得|MC1|＝r＋，
|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4，0)，C2(4，0)，
所以|C1C2|＝8，
所以|MC1|－|MC2|<|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支.
因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
所以点M的轨迹方程是＝1(x≥).
10.如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP，BP运到P处，其中|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，怎样运土才能最省工
解　如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设M是分界线上的点，
则|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，
于是有|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50(m)，
这说明点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支.
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|PB|2－2|AP||PB|cos 60°＝17 500，
所以a＝25，c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故点M的轨迹方程为＝1，
又半圆方程为x2＋y2＝4 375，y≥0，与分界线方程联立解得在第一象限的交点横坐标为，
故所求分界线的方程为
＝1，25≤x≤，y≥0，
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.
二、综合运用
11.双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况.如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知AB＝34海里，AC＝20海里，现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建系(单位长度为1海里).现根据船P接收到C与A发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P在双曲线＝1的左支上，根据船P接收到A与B发出的电磁波的时间差，计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离多30海里，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.(45，±16)
答案　B
解析　设由船P到B和到A的距离差确定的双曲线方程为
＝1(a>0，b>0，x≥a)，
由于船P到B和到A的距离差为30海里，
因此a＝15.
又AB＝34海里，故c＝17，故b2＝c2－a2＝64.
故由船P到B和到A的距离差所确定的双曲线为 ＝1(x≥15)，
联立
可得P.
12.若点P在曲线C1：＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是　　　　.
答案　10
解析　如图，连接PC2并延长交曲线C2于点Q0，连接PC3交曲线C3于点R0.|PQ|－|PR|≤|PQ0|－|PR0|＝(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.
13.已知椭圆C：＝1(a>b>0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C：＝1(a>0，b>0)写出具有类似特征的性质，并加以证明.
解　类似的性质如下：
若M，N为双曲线＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.证明如下：
设P(x，y)，M(m，n)，且x≠±m，
则N(－m，－n)，其中＝1，
即n2＝(m2－a2).
所以kPM＝，kPN＝.
又＝1，即y2＝(x2－a2)，
所以y2－n2＝(x2－m2).
所以kPM·kPN＝.
故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
三、拓展提高
14.设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点.求||MP|－|FP||的最大值.
解　(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r.
由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2，或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，
两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，所以a2＝4，b2＝1，
所以圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，
此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值.
又|MF|＝＝2，
所以||MP|－|FP||的最大值为2.

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