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2.2　双曲线的简单几何性质
一、基础巩固
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则 (　　)
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A.C的方程为＝1
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A.－ B.－4
C.4 D.
4.双曲线＝1(a>0，b>0)过点()，离心率为2，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.＝1 D.＝1
5.(多选)设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e可以为(　　)
A. B.
C. D.2
6.(多选)已知P是双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为原点，若||＝8，则下列结论正确的是(　　)
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线为y＝±x
C.△PF1F2的面积为36
D.点P到该双曲线左焦点的距离是18
7.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点C(0，2b)，若线段AC的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为　　　　.
8.记双曲线C:＝1(a>0，b>0)的离心率为e，直线y＝2x与C无公共点，则离心率e的取值范围为　　　　.
9.已知P(x，y)为双曲线C:＝1右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，则|PA|的最小值为　　　　.
10.在①m>0，且C的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为3＋，②C的焦距为6，③C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题.
问题:已知双曲线C:＝1，　　　　，求C的方程.
二、综合运用
11.(多选)已知椭圆M:＝1(a>b>0)，双曲线N:＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则下列结论正确的是(　　)
A.椭圆的离心率e1＝－1
B.双曲线的离心率e2＝2
C.椭圆上不存在点A使得·<0
D.双曲线上存在点B使得·<0
12.已知双曲线＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为　　　　.
13.已知双曲线C:3x2－y2＝3.
(1)求双曲线的两条渐近线的夹角的大小;
(2)设定点A(a，0)(a>0)，求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值.
三、拓展提高
14.如图，已知双曲线Γ:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右两顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P.
(1)若d＝(2，)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ的正切值;
(2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程.
2.2　双曲线的简单几何性质
一、基础巩固
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则 (　　)
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
答案　ABD
解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A.C的方程为＝1
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
答案　AD
解析　双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点在x轴上，
所以，因为c＝5，又c2＝a2＋b2，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为＝1，A正确;
离心率为e＝，B不正确;
焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确;
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.
3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A.－ B.－4
C.4 D.
答案　A
解析　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，b2＝－.又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.
4.双曲线＝1(a>0，b>0)过点()，离心率为2，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.＝1 D.＝1
答案　B
解析　双曲线离心率e＝＝2，故c＝2a，b＝a，将点()代入双曲线方程，得＝1，故a＝1，b＝，故双曲线方程为x2－＝1.故选B.
5.(多选)设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e可以为(　　)
A. B.
C. D.2
答案　AC
解析　当焦点在x轴上时，，
所以e2＝1＋＝1＋，所以e＝;
当焦点在y轴上时，，
所以e2＝1＋＝1＋4＝5，
所以e＝.故选AC.
6.(多选)已知P是双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为原点，若||＝8，则下列结论正确的是(　　)
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线为y＝±x
C.△PF1F2的面积为36
D.点P到该双曲线左焦点的距离是18
答案　BD
解析　因为双曲线＝1，a＝5，b＝4，c＝，所以e＝，A错误;
渐近线方程为y＝±x，B正确;
如图，取线段PF1的中点M，则||＝8＝2||，
所以|PF2|＝8，由|PF1|－|PF2|＝10，得|PF1|＝18，D正确;
∵cos ∠F1PF2＝
＝，
∴sin ∠F1PF2＝，
∴△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|·
sin ∠F1PF2＝×18×8×＝32，故C错误，故选BD.
7.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点C(0，2b)，若线段AC的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为　　　　.
答案　
解析　因为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，
所以A(－a，0)，B(a，0)，|AB|＝2a，
又C(0，2b)，线段AC的垂直平分线过点B，
所以|BC|＝|BA|，
即＝2a，得b2＝a2，
所以c2＝a2＋b2＝a2＋a2＝a2，
因此e＝.
8.记双曲线C:＝1(a>0，b>0)的离心率为e，直线y＝2x与C无公共点，则离心率e的取值范围为　　　　.
答案　(1，)
解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，
又e>1，∴e∈(1，].
9.已知P(x，y)为双曲线C:＝1右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，则|PA|的最小值为　　　　.
答案　
解析　由＝1得y2＝3x2－3.|PA|＝，x≥2，所以当x＝时，|PA|最小＝.
10.在①m>0，且C的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为3＋，②C的焦距为6，③C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题.
问题:已知双曲线C:＝1，　　　　，求C的方程.
解　选择条件①.
因为m>0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以a＝，c＝.
因为C的左支上的点到右焦点的距离的最小值为a＋c，所以＝(1＋)＝3＋，解得m＝3，故C的方程为＝1.
选择条件②.
因为C的焦距为6，所以c＝3.
若m>0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，
所以c＝＝3，解得m＝3，
则C的方程为＝1;
若m<0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，所以c＝＝3，解得m＝－3，则C的方程为＝1.
综上，C的方程为＝1或＝1.
选择条件③.
因为C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝4，即a＝2.
若m>0，则a2＝m，所以a＝＝2，解得m＝4，则C的方程为＝1;若m<0，则a2＝
－2m，所以a＝＝2，解得m＝－2，则C的方程为＝1.
综上，C的方程为＝1或＝1.
二、综合运用
11.(多选)已知椭圆M:＝1(a>b>0)，双曲线N:＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则下列结论正确的是(　　)
A.椭圆的离心率e1＝－1
B.双曲线的离心率e2＝2
C.椭圆上不存在点A使得·<0
D.双曲线上存在点B使得·<0
答案　ABD
解析　如图，设|F1F2|＝2c，由正六边形的性质可得点I，
由点I在椭圆上，可得＝1，结合a2－b2＝c2可得＝2－3(负值舍去)，
∴椭圆的离心率e1＝－1，A正确;
∴2a2－(2c)2＝[2－4(－1)2]a2<0，
∴当点A为椭圆的上顶点时，sin ∠F1AO＝>，∴∠F1AO>，∴cos ∠F1AF2<0，此时·<0，C错误;
又点I在双曲线N:＝1(m>0，n>0)的渐近线上，
∴·c，即，
∴双曲线的离心率e2＝＝2，B正确.
易知当点B为双曲线的顶点时，·<0，D正确.故选ABD.
12.已知双曲线＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为　　　　.
答案　
解析　由题意可知直线l的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝，
由s≥c，得≥c，
即5a≥2c2，则5≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0，
得≤e2≤5.
因为e>1，所以e的取值范围是.
13.已知双曲线C:3x2－y2＝3.
(1)求双曲线的两条渐近线的夹角的大小;
(2)设定点A(a，0)(a>0)，求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值.
解　(1)双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，则它们的夹角是.
(2)设P(x，y)为双曲线上任意一点，
则3x2－y2＝3，
d＝|AP|＝
＝x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
当≤1，即0当>1，即a>4时，dmin＝.
三、拓展提高
14.如图，已知双曲线Γ:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右两顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P.
(1)若d＝(2，)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ的正切值;
(2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程.
解　(1)双曲线＝1的渐近线方程为
y＝±x，即bx±ay＝0，
又渐近线方向向量为d＝(2，).
所以<1，
从而tan ，tan θ＝＝4.
(2)设P(xP，yP)，则由条件知，
xP＝(|PB|－|PA|)＋|PA|
＝(|PB|＋|PA|)＝3，
yP＝(|PC|＋|PD|)－|PC|
＝(|PD|－|PC|)＝1，
即P(3，1)，所以A(2，1)，C(3，3)，
代入双曲线方程得
解得
故双曲线Γ的方程为＝1.

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