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3.1　抛物线及其标准方程
一、基础巩固
1.抛物线y＝8x2的焦点到准线的距离是(　　)
A. B.
C.2 D.4
2.已知抛物线x2＝8y上一点P到x轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A.4 B.6
C.8 D.10
3.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓(忽略建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　)
A. B.(0，－1)
C. D.
4.已知点(1，2)在抛物线C:y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为(　　)
A.x＝－ B.y＝－
C.x＝－ D.y＝－
5.若点M(x，y)满足，则动点M的轨迹是 (　　)
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.抛物线
6.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为 (　　)
A.y2＝x B.x2＝8y
C.x2＝－8y D.y2＝－8x
7.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＝1的一个焦点，则p＝　　　　.
8.已知点A(－2，3)在抛物线C:y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为　　　　.
9.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是　　　　.
10.已知抛物线C:x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程.
二、综合运用
11.(多选)点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)
A.y＝x2 B.y＝12x2
C.y＝－x2 D.y＝36x2
12.已知抛物线C:4x＋ay2＝0恰好经过圆M:(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为　　　　，准线方程为　　　　.
13.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程:
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.
三、拓展提高
14.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标.
3.1　抛物线及其标准方程
一、基础巩固
1.抛物线y＝8x2的焦点到准线的距离是(　　)
A. B.
C.2 D.4
答案　B
解析　抛物线y＝8x2的标准方程为x2＝y，所以2p＝，所以焦点到准线的距离p＝，故选B.
2.已知抛物线x2＝8y上一点P到x轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A.4 B.6
C.8 D.10
答案　C
解析　由于抛物线x2＝8y上的一点P到x轴的距离是6，故点P的纵坐标为6.再由抛物线x2＝8y的准线为y＝－2，结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是6－(－2)＝8，故选C.
3.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓(忽略建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　)
A. B.(0，－1)
C. D.
答案　A
解析　因为点A(2，－2)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，所以－2＝a×22，所以a＝－，所以y＝－x2，即x2＝－2y，故2p＝2，，且抛物线开口向下，所以该抛物线的焦点坐标是，故选A.
4.已知点(1，2)在抛物线C:y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为(　　)
A.x＝－ B.y＝－
C.x＝－ D.y＝－
答案　D
解析　由题意可得，2＝a，则抛物线标准方程为x2＝y，故准线方程为y＝－.
5.若点M(x，y)满足，则动点M的轨迹是 (　　)
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.抛物线
答案　D
解析　依题意，动点M到点(0，0)的距离等于其到定直线3x＋4y－1＝0的距离，且点(0，0)不在直线3x＋4y－1＝0上，因此动点M的轨迹是抛物线.故选D.
6.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为 (　　)
A.y2＝x B.x2＝8y
C.x2＝－8y D.y2＝－8x
答案　AC
解析　若抛物线的焦点在x轴上，
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，
所以抛物线的方程为y2＝x.
若抛物线的焦点在y轴上，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝－8y.
7.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＝1的一个焦点，则p＝　　　　.
答案　8
解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点＝1的一个焦点，所以3p－p＝，解得p＝8或p＝0(舍去).
8.已知点A(－2，3)在抛物线C:y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为　　　　.
答案　－
解析　由已知可得抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2，0).
从而kAF＝＝－.
9.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是　　　　.
答案　9
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
10.已知抛物线C:x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程.
解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn，
AB⊥y轴，且OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n，
由△AOB的面积为16，
可得·2m·n＝16，
解得m＝n＝4，故p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
二、综合运用
11.(多选)点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)
A.y＝x2 B.y＝12x2
C.y＝－x2 D.y＝36x2
答案　AC
解析　分两类:a>0，a<0，可得y＝x2，
y＝－x2，故选AC.
12.已知抛物线C:4x＋ay2＝0恰好经过圆M:(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为　　　　，准线方程为　　　　.
答案　(1，0)　x＝－1
解析　圆M的圆心为(1，2)，
代入4x＋ay2＝0得a＝－1，
将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.
13.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程:
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.
解　(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2).
又F(1，0)，
所以kAF＝，
则直线FA的方程为y＝(x－1).
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则直线MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组
所以N.
三、拓展提高
14.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标.
解　(1)依题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，
其准线l的方程为y＝－.
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴圆心(0，0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①
由题意得F(0，1)，
则＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1).
∵＝2，
∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)，
即 ②
将②代入①，得4＝8y1＋4，即＝2y1＋1.
又＝4y1，∴4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为.

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