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周测卷4　(范围：第二章§1)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.椭圆＝1的焦点坐标为(　　)
A.(±5，0) B.(0，±5)
C.(0，±) D.(±，0)
2.设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
3.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)
A. B.
C. D.－
4.椭圆＝1(a>b>0)中，点F2为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴的上顶点，若⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
5.国家体育场“鸟巢”，如果从空中俯视，可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为(　　)
A.12 cm B.16 cm
C.18 cm D.20 cm
6.设A1，A2是椭圆＝1的长轴的两个端点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为4，则能使椭圆C的方程为＝1的是 (　　)
A.离心率为 B.椭圆C过点
C.5a2＝9b2 D.长轴长为3
8.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为θ的平面所截，截面为椭圆，若θ＝60°，则(　　)
A.椭圆的短轴长为2
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为＝1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－3
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.过点(2，1)，焦点在x轴上，且与椭圆＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为　　　　　　.
10.P是椭圆＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足，则动点Q的轨迹方程是　　　　　　.
11.已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率的最小值为，其左、右焦点分别为F1，F2，若P是椭圆上位于y轴右侧的一点，则＝　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)求证：椭圆C：＝1上任一点P(x，y)与C的右焦点F(4，0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比为定值.
13.(15分)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1).
(1)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(2)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
14.(15分)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(t，0)(其中0周测卷4　(范围：第二章§1)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.椭圆＝1的焦点坐标为(　　)
A.(±5，0) B.(0，±5)
C.(0，±) D.(±，0)
答案　C
解析　椭圆焦距2c＝2＝2，又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±).
2.设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
答案　B
解析　因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4 c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16＋2|PF1||PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
3.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)
A. B.
C. D.－
答案　C
解析　椭圆方程可化简为＝1，由题意，知m>0，所以<，所以a＝，所以椭圆的长轴长2a＝，故选C.
4.椭圆＝1(a>b>0)中，点F2为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴的上顶点，若⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设c为椭圆的半焦距，由题意可得A(－a，0)，F2(c，0)，由对称性可设B(0，b)，则＝(－c，b)，＝(a，b)，因为⊥，所以·＝－ac＋b2＝0，所以a2－c2－ac＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)，故选B.
5.国家体育场“鸟巢”，如果从空中俯视，可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为(　　)
A.12 cm B.16 cm
C.18 cm D.20 cm
答案　D
解析　因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以，即，所以，解得a小＝10.
所以小椭圆的长轴长为20 cm，故选D.
6.设A1，A2是椭圆＝1的长轴的两个端点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
答案　C
解析　设交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，
P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
∵A1，P1，P共线，
∴， ①
∵A2，P2，P共线，
∴. ②
①×②得， ③
∵P1(x0，y0)在椭圆＝1上，
∴＝1，∴＝4，
将＝4代入③得
＝－，
∴P的轨迹方程为＝1.
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为4，则能使椭圆C的方程为＝1的是 (　　)
A.离心率为 B.椭圆C过点
C.5a2＝9b2 D.长轴长为3
答案　ABC
解析　因为椭圆的焦距为4，所以c＝2，若离心率e＝，则a＝3，b2＝5，椭圆C的方程为＝1，故A正确；
若椭圆C过点，则所以椭圆C的方程为＝1，故B正确；
若解得椭圆C的方程为＝1，故C正确；
若椭圆长轴长为2a＝3，则a2＝，故D错误，故选ABC.
8.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为θ的平面所截，截面为椭圆，若θ＝60°，则(　　)
A.椭圆的短轴长为2
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为＝1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－3
答案　ABD
解析　设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，由已知可得cos 60°＝，解得a＝2，因为b＝，所以椭圆的短轴长为2，故A正确；
则椭圆的标准方程为＝1，故C不正确；
因为c2＝a2－b2＝9，所以c＝3，
所以e＝，故B正确；
设椭圆上的一点为P(x0，y0)，其中一个焦点坐标为F(3，0)，
且＝3－，
则|PF|2＝(x0－3)2＋
＝－6x0＋9＋3－
＝－6x0＋12(－2≤x0≤2)，
该抛物线的对称轴为x＝4，
故函数在区间[－2，2]上单调递减，
当x0＝2有最小值，
此时|PF＝21－12＝32－12＋(2)2
＝(2－3)2，即|PF|min＝2－3，故D正确，故选ABD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.过点(2，1)，焦点在x轴上，且与椭圆＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为　　　　　　.
答案　＝1
解析　因为所求椭圆与椭圆＝1有相同的离心率，焦点在x轴上，故可设所求椭圆的方程为＝λ(λ>0).
由椭圆过点(2，1)，得＝λ，解得λ＝，
故所求椭圆的方程为，
从而椭圆的标准方程为＝1.
10.P是椭圆＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足，则动点Q的轨迹方程是　　　　　　.
答案　＝1
解析　设Q(x，y)，∵，
∴＝－，
∵P是椭圆＝1上的任意一点，
∴＝1，
∴＝1.
11.已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率的最小值为，其左、右焦点分别为F1，F2，若P是椭圆上位于y轴右侧的一点，则＝　　　　.
答案　5
解析　依题意|PF1|>|PF2|，设＝λ(λ>1)，则|PF1|＝λ|PF2|.由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，因此|PF2|＝，又因为F2是椭圆的右焦点，所以|PF2|≥a－c，因此≥a－c，整理，得e≥，于是有，故λ＝5.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)求证：椭圆C：＝1上任一点P(x，y)与C的右焦点F(4，0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比为定值.
证明　由＝1，得y2＝9＝9－，点P到右焦点C(4，0)的距离为d＝
＝
＝，
点P到直线l：x＝的距离为，
故为定值.
13.(15分)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1).
(1)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(2)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
解　(1)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－.
又＝1，所以＝1，
化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，
因为点C异于点B，所以λ＝－7.
(2)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤
4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.
14.(15分)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(t，0)(其中0解　(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过M，N两点，
∴
∴椭圆的标准方程为＝1.
(2)存在.假设存在点P(x，y)满足题设条件，
∴|AP|2＝(x－t)2＋y2.
∵＝1，∴y2＝4，
∴|AP|2＝(x－t)2＋4
＝＋4－t2.
∵|x|≤3，0若t≤3，即当0|AP|2的最小值为4－t2，
由题意得4－t2＝1 t＝± ；
若t>3，即当|AP|2取得最小值为(3－t)2，
依题意得(3－t)2＝1，
解得t＝4或t＝2，
∵4 ，2∈，∴t＝2.
此时点P的坐标是(3，0)，故当t＝2时，存在这样的点P满足条件，点P的坐标为(3，0).

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