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周测卷5　(范围:第二章§2~§3)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.抛物线y2＝2x上横坐标为的点到焦点的距离为(　　)
A.2 B.
C.1 D.
2.已知双曲线C:＝1(b>0)的焦距为10，则C的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
3.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图，若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＝1(a>0，b>0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，则此双曲线的离心率为 (　　)
A.2 B.3
C.2 D.2
4.已知点A(0，2)，抛物线C:y2＝ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶，则a的值为(　　)
A. B.
C.1 D.4
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)
A.y2＝9x B.y2＝6x
C.y2＝3x D.y2＝x
6.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上不同时与原点O重合的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C.(6－2)π D.π
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知双曲线E:－y2＝1，则下列说法正确的是(　　)
A.E的虚轴长为1
B.E的渐近线方程为y＝±x
C.E的焦距为2
D.E的渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为1
8.已知F是抛物线C:y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点，则(　　)
A.C的准线方程为x＝－4
B.点F的坐标为(0，4)
C.|FN|＝12
D.△ONF的面积为16(O为坐标原点)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　　　　.
10.已知抛物线C:y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是　　　　;作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝　　　　.
11.已知抛物线C:x2＝4y的焦点为F，P1，P2，P3是C上不同的三点，且向量的横坐标之和为4，则直线P1P2，P2P3，P3P1的斜率之和为　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围;
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
13.(15分)双曲线x2－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，第一象限内的一点P在双曲线上，O是坐标原点.
(1)若||＝，求点P的坐标;
(2)设||＝m，||＝n，若∠F1PF2＝90°，求m＋n的值.
14.(15分)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程.
周测卷5　(范围:第二章§2~§3)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.抛物线y2＝2x上横坐标为的点到焦点的距离为(　　)
A.2 B.
C.1 D.
答案　C
解析　抛物线y2＝2x的焦点坐标为，
准线方程为x＝－，
所以该抛物线上横坐标为＝1.
2.已知双曲线C:＝1(b>0)的焦距为10，则C的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案　D
解析　设C的半焦距为c(c>0).由题可知2c＝10，即c＝5，所以b＝＝3，则C的渐近线方程为y＝±x.
3.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图，若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＝1(a>0，b>0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，则此双曲线的离心率为 (　　)
A.2 B.3
C.2 D.2
答案　B
解析　由双曲线＝1(a>0，b>0)的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，可得:解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率e＝＝3.故选B.
4.已知点A(0，2)，抛物线C:y2＝ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶，则a的值为(　　)
A. B.
C.1 D.4
答案　D
解析　如图，依题意知点F的坐标为，
设M在抛物线准线上的射影为K.
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，又|FM|∶|MN|＝1∶，
所以|KN|∶|KM|＝2∶1.
因为kFN＝＝－，kFN＝－＝－2，
所以＝2，解得a＝4.
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)
A.y2＝9x B.y2＝6x
C.y2＝3x D.y2＝x
答案　C
解析　如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a.
由抛物线定义得|BD|＝a，
故∠BCD＝30°.
在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝3＋3a.
因为2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，
从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，
所以p＝|FG|＝|FC|＝，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
6.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上不同时与原点O重合的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C.(6－2)π D.π
答案　A
解析　设直线l:2x＋y－4＝0，由题意可知，以AB为直径的圆C经过点O，所以|OC|＝|AB|＝d，其中d表示点C到直线l的距离，所以圆心C的轨迹是以O为焦点，l为准线的抛物线，设原点O到直线l的距离为d'，则d'＝，圆C半径的最小值为d'＝×，所以圆C面积的最小值为π×.故选A.
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知双曲线E:－y2＝1，则下列说法正确的是(　　)
A.E的虚轴长为1
B.E的渐近线方程为y＝±x
C.E的焦距为2
D.E的渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为1
答案　BD
解析　因为双曲线E:－y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，所以E的虚轴长为2，渐近线方程为y＝±x，焦距为2，渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为右焦点到渐近线x－2y＝0的距离d＝＝1，故B，D正确.故选BD.
8.已知F是抛物线C:y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点，则(　　)
A.C的准线方程为x＝－4
B.点F的坐标为(0，4)
C.|FN|＝12
D.△ONF的面积为16(O为坐标原点)
答案　ACD
解析　如图，不妨设点M位于第一象限，抛物线的准线l与x轴交于点F'，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.
由抛物线的标准方程可得其准线方程为x＝－4，
点F的坐标为(4，0)，则|AN|＝4，|FF'|＝8，
在直角梯形ANFF'中，易得|MB|＝＝6，由抛物线的定义得|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|FM|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8，S△ONF＝×4×8＝16.故选ACD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　　　　.
答案　－3
解析　依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3.
10.已知抛物线C:y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是　　　　;作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝　　　　.
答案　5　4
解析　由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2)(x>0)，则|FM|＝＝6，解得x＝5(x＝－7舍去).从而点M的坐标为(5，±2).易得点N(5，0)，从而S△FMN＝(xN－xF)·|MN|＝×4×2＝4.
11.已知抛物线C:x2＝4y的焦点为F，P1，P2，P3是C上不同的三点，且向量的横坐标之和为4，则直线P1P2，P2P3，P3P1的斜率之和为　　　　.
答案　2
解析　由题可知F(0，1).
设Pi(xi，yi)(i＝1，2，3)，
则＝(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3－3).
由题可知x1＋x2＋x3＝4，直线P1P2的斜率，
同理直线P2P3的斜率，
直线P3P1的斜率，
所以直线P1P2，P2P3，P3P1的斜率之和为
＝2.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围;
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
解　(1)抛物线y2＝8x的顶点(0，0)，焦点(2，0)，准线方程x＝－2，对称轴为x轴，变量x的取值范围x∈[0，＋∞).
(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.
因为F(2，0)，所以|OM|＝|OF|＝3，
所以M(3，0).
故设A(3，m)，代入y2＝8x，得m2＝24，
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3，2)，B(3，－2)，|AB|＝4，
所以|OA|＝|OB|＝.
所以△OAB的周长为2＋4.
13.(15分)双曲线x2－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，第一象限内的一点P在双曲线上，O是坐标原点.
(1)若||＝，求点P的坐标;
(2)设||＝m，||＝n，若∠F1PF2＝90°，求m＋n的值.
解　(1)设P(x，y)，x>0，y>0，
则
∵x>0，y>0，∴
∴P(，2).
(2)易知双曲线中，a＝1，b＝2，c＝，
故
解得2mn＝16，
所以(m＋n)2＝20＋16＝36，
所以m＋n＝6.
14.(15分)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程.
解　抛物线的准线为l:x＝－.
①当点A在抛物线内部时，42<2p·，
即p>时，过M作MA'⊥l，垂足为A'(图略)，
则|MF|＋|MA|＝|MA'|＋|MA|.
当A，M，A'共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，
即＝5，所以p＝3，满足p>，
所以抛物线方程为y2＝6x.
②当点A在抛物线外部时，42>2p·，
即p<时，|MF|＋|MA|≥|AF|，
当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5，
即＝5，
所以p＝1或p＝13(舍)，
所以抛物线方程为y2＝2x.
③当点A在抛物线上，
即p＝时，结合②明显不成立.
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.

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