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周测卷6　(范围:第二章§1~§4)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.无论k为何值，直线y＝kx＋2和曲线＝1的交点个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.1或2
2.若椭圆＝1与双曲线＝1有公共焦点，则m的取值为 (　　)
A.－2 B.1
C.2 D.3
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题，直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3，则抛物线方程为(　　)
A.y2＝2x B.y2＝3x
C.y2＝4x D.y2＝6x
4.过双曲线x2－＝1的一个焦点作直线交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
5.已知抛物线C:y＝x2的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且|AF|＝2，P是抛物线C的准线上的一动点，则|PA|＋|PO|的最小值为(　　)
A. B.2
C.3 D.2
6.已知双曲线C:－y2＝1的离心率为，过点P(2，0)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点)，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知椭圆C:＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则(　　)
A.椭圆的焦距为
B.椭圆方程为＋y2＝1
C.|AB|＝
D.S△OAB＝
8.已知△ABC的顶点均在抛物线E:x2＝2py(p>0)上，且△ABC的重心为抛物线E的焦点F，若|FA|＋|FB|＋|FC|＝p2，则下列说法正确的是(　　)
A.p＝6
B.△ABC的三个顶点到x轴的距离之和为18
C.△ABC的周长小于36
D.E上一动点P到直线2x－3y－5＝0的距离的最小值为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线的离心率为　　　　.
10.已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为　　　　.
11.椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，抛物线E:x2＝2py的焦点为M.
(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程;
(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积.
13.(15分)已知双曲线C:＝1(a>0，b>0)的焦距为8，离心率为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)直线l与圆O:x2＋y2＝6相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证:OM⊥ON.
14.(15分)已知A，B分别为椭圆C:＋y2＝1的左、右顶点，P为直线x＝4上的动点，直线PA，PB与椭圆C的另一个交点分别为D，E.
(1)证明:直线DE过定点;
(2)设△EDB和△EDA的面积分别为S1，S2，求|S1－S2|的最大值.
周测卷6　(范围:第二章§1~§4)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.无论k为何值，直线y＝kx＋2和曲线＝1的交点个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.1或2
答案　D
解析　因为直线y＝kx＋2过定点(0，2)，且椭圆＝1的上顶点也为(0，2)，所以当直线的斜率为0时，直线与椭圆相切，仅有一个交点;当直线的斜率不为零(或不存在)时，直线与椭圆有两个交点.故选D.
2.若椭圆＝1与双曲线＝1有公共焦点，则m的取值为 (　　)
A.－2 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　由双曲线＝1可知，椭圆和双曲线的焦点在x轴上，m>0.依题意椭圆＝1与双曲线＝1有公共焦点，所以4－m2＝m＋2，即m2＋m－2＝0，由于m>0，故上式解得m＝1.故选B.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题，直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3，则抛物线方程为(　　)
A.y2＝2x B.y2＝3x
C.y2＝4x D.y2＝6x
答案　B
解析　如图，由题意可知，|AB|＝3，|BC|＝3，可得|AC|＝＝6，所以∠CAB＝60°，△ABF是正三角形，并且F是AC的中点，所以|AF|＝3，则p＝，所以抛物线方程为y2＝3x.
4.过双曲线x2－＝1的一个焦点作直线交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案　C
解析　过双曲线x2－＝1的右焦点(，0)作直线，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝，代入双曲线方程x2－＝1，可得y＝±2，即|AB|＝4，满足条件;当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－0＝k(x－)，代入双曲线方程x2－＝1，可得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0，Δ＝(2k2)2－4(2－k2)·(－3k2－2)＝16k2＋16>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|AB|＝4＝·.
两边平方可得6k2＝3，解得k＝±.
所以斜率存在且满足条件的直线有2条.
综上，满足条件的直线共有3条.
5.已知抛物线C:y＝x2的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且|AF|＝2，P是抛物线C的准线上的一动点，则|PA|＋|PO|的最小值为(　　)
A. B.2
C.3 D.2
答案　A
解析　易得抛物线的准线方程为y＝－1.
∵|AF|＝2，
∴点A到准线的距离为2，
故A点的纵坐标为1，
把y＝1代入抛物线方程，可得x＝±2.
不妨设点A在第一象限，则A(2，1)，
设点O关于准线y＝－1的对称点为M，
则M(0，－2)，连接AM，PM，如图:
则|PO|＝|PM|，于是|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PM|≥|AM|，
当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立.
故|PA|＋|PO|的最小值为|AM|＝.故选A.
6.已知双曲线C:－y2＝1的离心率为，过点P(2，0)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点)，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
答案　A
解析　因为双曲线C:－y2＝1的离心率为，所以，解得m＝2，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
设直线l:x＝ty＋2，与双曲线C的方程联立，得(t2－2)y2＋4ty＋2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝，
又因为∠AOB为钝角，所以·<0，
所以x1x2＋y1y2<0，即<0，
解得t2－2>0，即t2>2，
所以直线l的斜率k满足k2＝<，
又A，O，B三点不可能共线，所以k≠0，
故直线l的斜率的取值范围是
∪，故选A.
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知椭圆C:＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则(　　)
A.椭圆的焦距为
B.椭圆方程为＋y2＝1
C.|AB|＝
D.S△OAB＝
答案　BC
解析　因为△AF1B的周长为8，
所以4a＝8，得a＝2，
因为y＝x－过右焦点F2，
所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，
所以椭圆的焦距为2，故A错误;
所以椭圆方程为＋y2＝1，故B正确;
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得5x2－8x＋8＝0，
解得x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝
＝，故C正确;
原点到直线y＝x－的距离d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝××，故D错误.
8.已知△ABC的顶点均在抛物线E:x2＝2py(p>0)上，且△ABC的重心为抛物线E的焦点F，若|FA|＋|FB|＋|FC|＝p2，则下列说法正确的是(　　)
A.p＝6
B.△ABC的三个顶点到x轴的距离之和为18
C.△ABC的周长小于36
D.E上一动点P到直线2x－3y－5＝0的距离的最小值为
答案　ACD
解析　由抛物线E:x2＝2py(p>0)可知，
其焦点F，准线方程为y＝－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由抛物线定义知|FA|＝y1＋，
|FB|＝y2＋，|FC|＝y3＋，
已知|FA|＋|FB|＋|FC|＝p2，
所以y1＋y2＋y3＝p2－p，
根据三角形重心坐标公式，
可得y1＋y2＋y3＝p，
代入可得p＝6，所以抛物线方程为x2＝12y，
对于A，p＝6，A正确;
对于B，△ABC的三个顶点到x轴的距离之和为y1＋y2＋y3＝p＝9，B错误;
对于C，根据三角不等式与y1，y2，y3>0，
|AB|＋|BC|＋|CA|<2(|FA|＋|FB|＋|FC|)＝p2＝36，C正确;
对于D，设与直线2x－3y－5＝0平行且与抛物线相切的直线方程为2x－3y＋m＝0，联立得x2－8x－4m＝0，由Δ＝64＋16m＝0得m＝－4，两平行线间的距离为，D正确，选ACD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线的离心率为　　　　.
答案　
解析　双曲线的焦点在y轴上，＝3，则，故，所以离心率为.
10.已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为　　　　.
答案　(1，0)
解析　由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).
11.椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是　　　　.
答案　
解析　因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是三角形面积的2倍，且△F1PQ的周长是4a＝8，
所以只需求△F1PQ面积的最大值.
设直线l的方程为x＝my＋1，
联立消去x，得
(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
于是|F1F2|·|y1－y2|
＝＝12，
设m2＋1＝t，则t≥1，
则＝12＝12.
令g(t)＝9t＋(t≥1)，易知g(t)在[1，＋∞)上为增函数，所在g(t)≥g(1)＝10，
所以≤3，所以内切圆半径r＝≤，因此△F1PQ内切圆面积的最大值是.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，抛物线E:x2＝2py的焦点为M.
(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程;
(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积.
解　(1)因为抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，抛物线E:x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M(0，1).
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，满足题意.
②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，
当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝1;
当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，
解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
综上，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
(2)结合(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，直线MF的方程为y＝－x＋1.
联立得y2＋4y－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，
所以|y1－y2|＝4，
所以S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝2.
13.(15分)已知双曲线C:＝1(a>0，b>0)的焦距为8，离心率为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)直线l与圆O:x2＋y2＝6相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证:OM⊥ON.
(1)解　由题意，得2c＝8，＝2，
解得c＝4，a＝2.
因为b2＝c2－a2＝16－4＝12，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
(2)证明　因为直线l与圆O:x2＋y2＝6相切，
所以圆心O(0，0)到直线l的距离d＝，
由(1)知，双曲线C的渐近线的斜率为±，
因为直线l与双曲线C的左、右两支相交，
所以直线l的斜率k存在，且k≠±，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
则d＝，
所以m2＝6k2＋6，
由消去y，
整理得(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0，
Δ＝(－2km)2－4(3－k2)(－m2－12)＝12(m2－4k2＋12)＝24(k2＋9)>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝<0，
所以k2<3，
因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
把x1＋x2＝，x1x2＝代入，得
·＋m2＝＝0，
所以⊥，所以OM⊥ON.
14.(15分)已知A，B分别为椭圆C:＋y2＝1的左、右顶点，P为直线x＝4上的动点，直线PA，PB与椭圆C的另一个交点分别为D，E.
(1)证明:直线DE过定点;
(2)设△EDB和△EDA的面积分别为S1，S2，求|S1－S2|的最大值.
(1)证明　设P(4，t)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，则直线PA的方程为:y＝(x＋2)，
联立得x1＝，
代入y＝(x＋2)，
得y1＝，即D，
同理可得E.
设直线DE过定点M(m，0)，则当t≠0时，，
化简得(t2＋3)(m－1)＝0，解得m＝1，直线DE过定点M(1，0)，当t＝0时，直线DE为x轴，也过定点M(1，0)，
综上，直线DE过定点M(1，0).
(2)解　S1＝|BM||y1－y2|，
S2＝|AM||y1－y2|，
|S1－S2|＝||AM|－|BM||·|y1－y2|
＝×2×|y1－y2|＝|y1－y2|.
设直线DE的方程为:x＝ny＋1，
联立得(n2＋4)y2＋2ny－3＝0，
则
所以|S1－S2|＝|y1－y2|
＝
＝
＝.
令＝u≥，则|S1－S2|＝，
y＝u＋在[，＋∞)上单调递增，
故当u＝，即n＝0时，|S1－S2|max＝.

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