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章末检测卷(二)　第二章
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知A(0，－2)，B(0，2)，动点P满足|PA|－|PB|＝2，则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线的一支
C.双曲线 D.射线
2.已知F是双曲线C:＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则
△OPF的面积为(　　)
A. B.
C. D.
3.已知F1，F2分别为椭圆C:＝1的左、右焦点，直线y＝2x与C交于两点A，B，则平行四边形AF1BF2的周长为(　　)
A.4 B.8
C.8 D.16
4.记椭圆C1:＋y2＝1(a>1)和双曲线C2:x2－y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A. B.
C. D.
5.椭圆C:＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
6.已知F是椭圆C:＝1的下焦点，P为C上一点，A，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A. B.
C.4 D.
7.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)，M为x轴正半轴上一点，O为坐标原点，线段OM的垂直平分线l交抛物线C于A，B两点，若四边形OAMB为菱形，且∠OAM＝120°，则菱形OAMB的周长为(　　)
A.5 B.5p
C.8 D.16p
8.在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是双曲线C:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足＝3，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知曲线C:mx2＋ny2＝1(　　)
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D.若m＝0，n>0，则C是两条直线
10.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过，(－4，)两点，则(　　)
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C.直线y＝x－3与双曲线C的左支和右支各有一个交点
D.过点(1，1)可以作四条直线与双曲线C只有一个公共点
11.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m，n)(n2<4m)射入，经过抛物线上的点A(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是(　　)
A.x1x2＝1
B.点A(x1，y1)关于x轴的对称点在直线l2上
C.直线l2与直线x＝－1相交于点D，则A，O，D三点共线
D.直线l1与l2间的距离最小值为4
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.抛物线y2＝mx(m≠0)的准线方程为　　　　.
13.双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝5|PF2|，则|PF2|＝　　　　.
14.已知椭圆C:＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是　　　　.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.
16.(15分)已知双曲线C:＝1(a>0，b>0)的离心率为，P(3，2)为C上一点.
(1)求C的方程;
(2)过C的右焦点且倾斜角为30°的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积.
17.(15分)已知双曲线E:＝1(a>0，b>0)的离心率为，点A(－2，0)在E上.
(1)求E的方程;
(2)设斜率为k且不经过点A的直线l交E于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，证明:直线l过定点.
18.(17分)已知椭圆C:＝1(a>b>0)，四点P1，P2，P3(0，1)，P4(1，1)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过点D(4，0)且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点.
①若O为原点，求△MON面积的最大值;
②点A(－2，0)，设点Q是线段MN上异于M，N的一点，直线QA，QM的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝0，求的值.
19.(17分)已知F是抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点，P(x0，2)为抛物线E上一点，且|PF|＝2.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设A，B为抛物线E上的两点(不同于点P)，直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点.
①证明:直线AB过定点;
②若直线AB的斜率大于0，且△OAB的面积为2，求直线AB的方程.
章末检测卷(二)　第二章
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知A(0，－2)，B(0，2)，动点P满足|PA|－|PB|＝2，则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线的一支
C.双曲线 D.射线
答案　B
解析　因为A(0，－2)，B(0，2)，所以|AB|＝4，则|PA|－|PB|＝2<|AB|，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支.故选B.
2.已知F是双曲线C:＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则
△OPF的面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　法一　设双曲线的另一个焦点为F1，由|OP|＝|OF|，可以得到△PFF1为直角三角形，所以S△OPF＝，故选B.
法二　设点P(x0，y0)，则＝1. ①
又|OP|＝|OF|＝＝3，
所以＝9. ②
由①②得，即|y0|＝，
所以S△OPF＝|OF|·|y0|＝×3×，故选B.
3.已知F1，F2分别为椭圆C:＝1的左、右焦点，直线y＝2x与C交于两点A，B，则平行四边形AF1BF2的周长为(　　)
A.4 B.8
C.8 D.16
答案　C
解析　由题意知，a＝2，由椭圆的定义知，四边形AF1BF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8.故选C.
4.记椭圆C1:＋y2＝1(a>1)和双曲线C2:x2－y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由e2＝e1，得＝3，因此＝3×，而a>1，所以a＝.
5.椭圆C:＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　法一　设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝·(*).
因为点P在椭圆C上，
所以＝1，得n2＝(a2－m2)，
代入(*)式，得，
结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝.故选A.
法二　设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A.
6.已知F是椭圆C:＝1的下焦点，P为C上一点，A，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A. B.
C.4 D.
答案　D
解析　设F'为椭圆C的上焦点，椭圆C:＝1中a＝3，b＝，则c＝2，所以焦点坐标分别为F(0，－2)，F'(0，2).连接PF'，由椭圆定义得|PF|＋|PF'|＝2a＝6.
由于<1，所以点A在椭圆内.如图所示，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF'|＝6－(|PF'|－|PA|)，将|PF|代换为2a－|PF'|来求|PA|＋|PF|的最小值，也就是求|PF'|－|PA|的最大值，当P，A，F'三点共线时，|PF'|－|PA|的最大值为|AF'|＝，所以|PA|＋|PF|的最小值为6－.故选D.
7.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)，M为x轴正半轴上一点，O为坐标原点，线段OM的垂直平分线l交抛物线C于A，B两点，若四边形OAMB为菱形，且∠OAM＝120°，则菱形OAMB的周长为(　　)
A.5 B.5p
C.8 D.16p
答案　D
解析　设l与x轴的交点为D，易知l⊥x轴.设点D(t，0)，t>0.如图，由于四边形OAMB为菱形，∠OAM＝120°，所以∠AOD＝30°，所以|AD|＝.不妨设A，则＝2pt，解得t＝6p.在Rt△OAD中，|OA|＝2|AD|＝2×t＝4p，所以菱形OAMB的周长为4|OA|＝16p.故选D.
8.在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是双曲线C:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足＝3，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
答案　C
解析　因为＝3，所以BT∥AF2，AF2＝BT，故A是线段BF1上一个靠近点F1的三等分点，因为BF2经过△BF1T的内切圆圆心，所以BF2是∠F1BT的角平分线，故∠AF2B＝∠ABF2，|AB|＝|AF2|，所以可设|AF1|＝x，则|AB|＝|AF2|＝2x.由双曲线的定义，得|AF2|－|AF1|＝2a，即2x－x＝2a，解得x＝2a，所以|AB|＝|AF2|＝4a，|BF1|＝|AB|＋|AF1|＝2x＋x＝3x＝6a.由双曲线的定义，得|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF2|＝4a，所以|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝4a，所以△ABF2是等边三角形.在△AF1F2中，∠F1AF2＝120°，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，由余弦定理的推论，
得cos ∠F1AF2＝＝－，解得c2＝7a2，
所以c＝a，，所以双曲线C的离心率为.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知曲线C:mx2＋ny2＝1(　　)
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D.若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案　ACD
解析　对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确.
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误.
对于C，当m>0，n<0时，方程化为＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x;当m<0，n>0时，方程化为＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确.
对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确.综上可知，正确的选项为ACD.
10.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过，(－4，)两点，则(　　)
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C.直线y＝x－3与双曲线C的左支和右支各有一个交点
D.过点(1，1)可以作四条直线与双曲线C只有一个公共点
答案　ABD
解析　不妨设满足题意的双曲线的标准方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，双曲线经过，(－4，)两点，则由题意有显然有mn>0，所以满足题意的双曲线的标准方程为－y2＝1.在双曲线C中，a＝2，b＝1，c＝，则e＝，故A正确.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故B正确.因为直线y＝x－3与x轴交点(3，0)在双曲线右顶点(2，0)右侧，且其斜率1大于渐近线的斜率，所以直线y＝x－3与双曲线C的右支有两个交点，故C错误.画图可得，过点T(1，1)可以作四条直线与双曲线C只有一个公共点，其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确.故选ABD.
11.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m，n)(n2<4m)射入，经过抛物线上的点A(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是(　　)
A.x1x2＝1
B.点A(x1，y1)关于x轴的对称点在直线l2上
C.直线l2与直线x＝－1相交于点D，则A，O，D三点共线
D.直线l1与l2间的距离最小值为4
答案　ACD
解析　由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F(1，0)，设直线AB的方程为x＝ty＋1，将直线AB的方程代入y2＝4x中，得y2－4ty－4＝0，所以由根与系数的关系得y1y2＝－4，y1＋y2＝4t，所以x1x2＝·＝1，故选项A正确;若点A(x1，y1)关于x轴的对称点在直线l2上，则y1＝－y2，所以|y1|＝|y2|＝2，即|n|＝2，不一定成立，故不合题意，选项B错误;直线l2与x＝－1相交于点D(－1，y2)，所以直线OD的斜率为kOD＝－y2，又直线OA的斜率为kOA＝＝－y2，所以kOD＝kOA，所以A，O，D三点共线，故选项C正确;直线l1与l2间的距离d＝|y1－y2|＝≥4，当t＝0时，d取最小值4，故选项D正确;故选ACD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.抛物线y2＝mx(m≠0)的准线方程为　　　　.
答案　x＝－
解析　由抛物线标准方程y2＝mx(m≠0)可得准线方程为x＝－.
13.双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝5|PF2|，则|PF2|＝　　　　.
答案　2
解析　由题设，双曲线实半轴长a＝4，又|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝4|PF2|＝2a＝8，所以|PF2|＝2.
14.已知椭圆C:＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是　　　　.
答案　13
解析　如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为，所以，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|DE|＝＝6，解得c＝，所以a＝2c＝，所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.
解　设PF1的中点为M，连接F2M(图略).
由|PF2|＝|F1F2|，
故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a.
在Rt△F1F2M中，
|F1M|＝＝2b，
故|PF1|＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，
即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，
即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
故双曲线的渐近线方程是y＝±x.
16.(15分)已知双曲线C:＝1(a>0，b>0)的离心率为，P(3，2)为C上一点.
(1)求C的方程;
(2)过C的右焦点且倾斜角为30°的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积.
解　(1)由题意得解得a2＝3，b2＝6，所以双曲线C的方程为＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，如图所示:
由题得直线l的方程为y＝(x－3)，
联立得整理得5x2＋6x－27＝0，
所以x1＝－3，x2＝，
所以M(－3，－2)，N，
所以|MN|＝
＝.
又因为点O到直线l:y＝(x－3)，即x－y－3＝0的距离为d＝，
所以△OMN的面积为S＝××.
17.(15分)已知双曲线E:＝1(a>0，b>0)的离心率为，点A(－2，0)在E上.
(1)求E的方程;
(2)设斜率为k且不经过点A的直线l交E于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，证明:直线l过定点.
(1)解　因为点A(－2，0)在双曲线E上，
所以a＝2，
由离心率为可得e＝，
解得b＝2，
所以E的方程为＝1.
(2)证明　如图，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠2k)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(1－k2)x2－2kmx－m2－4＝0，
由题意可得1－k2≠0，
且Δ＝4k2m2＋4(1－k2)·(m2＋4)
＝4m2＋16－16k2>0，
化简得m2＋4>4k2，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，
x1x2＝－.
因为k1＝，
k2＝，又k1k2＝－2，
所以·＝－2，
整理得(k2＋2)x1x2＋(km＋4)(x1＋x2)＋m2＋8＝0，
即－(k2＋2)＋(km＋4)＋m2＋8＝0，
化简得(2k－m)(6k－m)＝0，因为直线l不经过点A(－2，0)，所以2k－m≠0，
所以6k－m＝0，即m＝6k，满足Δ>0，
所以直线l的方程为y＝kx＋6k＝k(x＋6)，k≠0，即直线l过定点(－6，0).
18.(17分)已知椭圆C:＝1(a>b>0)，四点P1，P2，P3(0，1)，P4(1，1)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过点D(4，0)且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点.
①若O为原点，求△MON面积的最大值;
②点A(－2，0)，设点Q是线段MN上异于M，N的一点，直线QA，QM的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝0，求的值.
解　(1)由对称性知P1，P2和P3(0，1)在椭圆C上，
所以解得a＝2，
椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)①设直线l的方程为x＝ty＋4，
点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去x得
(t2＋4)y2＋8ty＋12＝0，
则Δ＝16(t2－12)>0，
则t<－2或t>2.
所以|y1－y2|＝，
所以△MON面积S＝×4×|y1－y2|＝×4×.
令＝u(u>0)，
则t2＝u2＋12，S＝≤1，
当且仅当u＝4，即t2＝28时，△MON面积的最大值为1.
②因为k1＋k2＝0，所以直线QA，QM的倾斜角互补，所以|QA|＝|QD|，
所以点Q在线段AD的垂直平分线上，
所以Q.
所以|DM|＝|y1|，
同理得|DN|＝|y2|，
|MQ|＝|y1＋|，
|NQ|＝|y2＋|.
所以，
于是
＝，
因为y1y2＝(y1＋y2)，
所以＝1.
所以的值为1.
19.(17分)已知F是抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点，P(x0，2)为抛物线E上一点，且|PF|＝2.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设A，B为抛物线E上的两点(不同于点P)，直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点.
①证明:直线AB过定点;
②若直线AB的斜率大于0，且△OAB的面积为2，求直线AB的方程.
(1)解　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，且P(x0，2)在抛物线E上，|PF|＝2，根据抛物线定义有，
x0＋＝2，
又因为P在抛物线上，
所以22＝2px0，即x0＝，
消去x0，可得2－，即(p－2)2＝0，
解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)①证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为x＝my＋n，联立
消x得y2－4my－4n＝0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，
直线AP:y－2＝(x－1)，令x＝0，得M的纵坐标yM＝;
同理N的纵坐标yN＝，
因为O是MN的中点，所以yM＋yN＝0，
即＝0，化简得y1y2＋y1＋y2＝0，
将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入，
得－4n＋4m＝0，即n＝m，
直线AB方程为x＝m(y＋1)，当y＝－1时，x＝0，故直线AB过定点(0，－1).
②解　设直线AB:y＝kx－1(k>0)，联立得k2x2－(2k＋4)x＋1＝0，
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，x1x2＝，
弦长|AB|＝·|x1－x2|＝·，
根据点到直线的距离公式可知，点O到直线AB距离为d＝，
由S△OAB＝2可得，|AB|·d＝2，
即＝2，化简得2k4－k－1＝0，
因式分解得(k－1)(2k3＋2k2＋2k＋1)＝0，
因k>0，得k＝1，
所以直线AB方程为x－y－1＝0.

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