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河南省南阳市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果分式有意义，那么的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
2.南阳月季香飘九洲，月季花历来被称为“花中皇后”月季属蔷薇科，已有年的种植历史，已知月季花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.南阳是艾草产业发展规模最大的地区，近年来，持续拓宽艾制品多元消费市场．某艾草商铺统计了某段时间内四种品类南阳艾制品甲、乙、丙、丁的销售情况，如下表所示：
品类 甲 乙 丙 丁
销售量盒
根据表中数据，该艾草店决定增加乙品类艾制品的进货数量，影响其决策的统计量是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
4.如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，与交于点，下列结论中错误的是( )
A. 当时，是菱形 B. 当时，是矩形
C. 当时，是菱形 D. 当时，是正方形
6.如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，矩形中，，，点，分别是，边上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是( )
A. B. C. D.
10.如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是( )
A. 水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是
B. 在通电启动加热开关时，喝到的茶水为
C. 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为
D. 在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.请写出一个的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限， ．
12.实验中学举行演讲比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示，三项综合评分所占百分比如图所示则平均分最高的选手是 ．
选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分
甲
乙
丙
13.如图，在四边形中，，，为对角线的中点，连接，，，则的度数为 度．
14.在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为 ．
15.如图，在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．若，连接当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算与化简
计算：
化简：
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩百分制进行整理和分析，给出了如下信息．
【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩单位：分
甲：，，，，，，，，，
乙：，，，，，，，，，
【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差
统计量 平均数分 众数分 中位数分 方差分
甲
乙
【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图单位：分
根据以上信息，回答下列问题：
， ；
求甲组学生竞赛成绩的下四分位数 ________，上四分位数 ________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图；
根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由．
18.本小题分
如图，四边形是平行四边形．
尺规作图：在线段上作点，使；作的角平分线，交于点，连接；
求证：四边形是菱形．
19.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，．
求反比例函数表达式和一次函数表达式；
根据图象直接写出不等式的解集；
在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．
请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．
，，、为垂足；；．
符合条件的选项有： ．
选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ，证明过程如下：
21.本小题分
年南阳五一期间，卧龙岗文化园、世界月季大观园等景区文旅活动火爆出圈，带动了本地文创产品热销．某商场计划购进一批南阳特色文创纪念章、两款进行销售．已知每个款纪念章的进价比款纪念章贵元，用元购进的款纪念章和用元购进的款纪念章个数相同．
求，两款纪念章每个的进价分别是多少元；
若商场计划购进，两款纪念章共个，每个款纪念章售价为元，每个款纪念章售价为元，且款纪念章的数量不超过款纪念章数量的要使售完这批纪念章后的利润最大，应分别购进，两款纪念章多少个？并求出最大利润．
22.本小题分
如图，已知以的三边为边，在的同侧分别作等边三角形、和．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求四边形的面积；
满足什么条件时，四边形是菱形？直接写出条件．
23.本小题分
【概念生成】
新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”．
在平行四边形；矩形；菱形；正方形中一定是“神奇四边形”的是 填序号．
【基础探究】如图，在正方形中，为边上一点不与，重合，连接，过点作于点，交于点，连接，求证：四边形为“神奇四边形”．
在的条件下，若四边形的面积为，正方形边长为，求的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】答案不唯一
12.【答案】乙
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题】
解：原式
【小题】
解：原式

17.【答案】【小题】
【小题】
解：前半部分为前 个数 ， ， ， ， ，中位数是第 个为 ，则下四分位数为 ，后半部分数据为 ， ， ， ， ，中位数是第 个为 ，则上四分位数为 ，
所以，箱线图为：
【小题】
解：乙组竞赛成绩较好．
理由：乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差，
乙组平均分更高，成绩更稳定，
乙组竞赛成绩较好．

18.【答案】【小题】
解：作图如下；
【小题】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的平分线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

19.【答案】【小题】
解：将代入得，
，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
【小题】
由图象可知：或
【小题】
解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
当，
将代入得，，
点坐标为．
当，
将代入得，，
点坐标为．
综上：点坐标为或．

20.【答案】【小题】
【小题】
解：我选择，证明过程如下：
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
四边形是平行四边形．
我选择，证明过程如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．

21.【答案】【小题】
解：设每个款纪念章的进价为元．根据题意，
得
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
元．
答：，两款纪念章每个的进价分别是元、元
【小题】
解：设购进款纪念章个，则购进纪念章型个．
根据题意，得，
解得．
设销售完这批纪念章后的利润为元，则
，
随的增大而减小，
当时，最大，
此时．
答：应购进款纪念章个，款纪念章个．最大利润为元．

22.【答案】【小题】
证明：，都是等边三角形，
，，．
在与中，
．
．
又，
．
同理可得．
四边形是平行四边形．
【小题】
解：是等边三角形，
，
，
代入：
，
由知四边形是平行四边形，且有一个内角为，
四边形是矩形，
，
矩形面积：
．
【小题】
解：菱形判定：平行四边形邻边相等．
，，四边形是平行四边形
当时，，
若，则三点共线，无法构成四边形，故需，
综上条件：且．

23.【答案】【小题】
【小题】
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
又，
四边形是“神奇四边形”；
【小题】
解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为，
，
，
正方形边长为，
，
，
由可知：，
，
，
．

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