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暑假专题提优：因式分解-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）
一、单选题
1．下列各因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
6．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（）
A． B． C． D．
7．能被下列数整除的是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．11
8．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
分解因式：．
解：
●
☆
其中运用到的方法是 △ 和 □ ．
下列回答错误的是（ ）
A．●代表 B．☆代表
C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法
9．已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法：
①当，时，满足条件的整式有4个；
②若，满足条件的整式有7个；
③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
10．因式分解：____________．
11．若，，则______．
12．已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=）
13．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________．
14．如图，点、、在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为．若阴影部分的面积为12，，则的值为______．
15．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位自然数（a，b，c，d均为大于等于1且小于等于9的整数），若满足，则称这个数是“幂差数”，如四位数5611，因为，所以5611是“幂差数”．若（其中）是“幂差数”，则这个四位数是_______．
三、解答题
16．利用因式分解计算：
(1)；
(2)．
17．分解因式：
(1)；
(2)
18．我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如：
，
．
根据上面的方法因式分解：
(1)；
(2)．
19．某种产品因原料涨价，厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
①第一次提价，第二次提价；
②第一次提价，第二次提价；
③第一、二次提价均为．
其中m、n是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？
(1)【特例猜想】：为解决这个问题，小武设产品原价为100元，，，计算出方案①②③提价后商品的价格分别为 元、 元、 元，由此猜想，方案 提价最多．
(2)【推理验证】：小林认为，这个问题可以直接运用代数推理说明哪一种方案提价最多．请你帮小林写出完整的推理过程．
20．阅读并完成相应问题的解答．
因为，所以．
即能被整除．同理，能被整除．
我们知道，若，则或．
若，即，则或，所以或．
请根据以上的阅读材料，完成以下问题：
(1)若，求的值；
(2)已知多项式能被整除，求的值；
(3)在（2）的条件下，当时，求的值．
《暑假专题提优：因式分解-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A B D A D B D B
1．A
【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法，对各选项逐一验证即可得到结果．
【详解】解：对选项A：
由平方差公式得
A正确．
对选项B：
B错误．
对选项C： ，正确因式分解为
C错误．
对选项D： ，而
D错误．
2．A
【分析】把所求式子分解因式得到，再代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴ ．
3．B
【分析】因式分解是将多项式写成几个整式的积的形式，需满足变形符合定义且等式成立，据此判断各选项即可．
【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意，
B．，是因式分解，故该选项符合题意，
C．，右边不是整式积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意，
D．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意．
4．D
【分析】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系．
【详解】解：
∵任何实数的平方都满足，
∴ ，
即．
5．A
【分析】利用平方差公式分解原式，再代入已知条件逐步化简即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴
．
6．D
【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码．
【详解】解：∵
∴将，代入各因式得，，，
∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到，
对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意．
7．B
【分析】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除．
【详解】解：对原式变形提取公因式，
∵，是8的整数倍，
∴原式能被8整除．
8．D
【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可.
【详解】解：
；
∴●代表，选项A正确，
☆代表，选项B正确，
分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误.
9．B
【分析】当时，整式，再结合，且，确定、、的取值组合，即可判断①；根据，且（且为整数），确定，，…，，的取值组合，即可判断②；由，得出，且，再结合，得出或，分别求解即可判断③．
【详解】解：当时，整式，
∵，且（且为整数），，，…，，为正整数，，
∴或或，共种，即满足条件的整式有3个，故①错误；
∵，且（且为整数），，，…，，为正整数，
∴当时，，整式，有个，
当时，或，整式分别为，，有个，
当时，或，整式分别为，，有个，
当时，，整式，有个，
当时，，整式，有1个，
∴所有满足条件的整式有个，故②正确；
∵，
∴，且，
∵，
∴或，
当时，即，
∵为奇数，
∴当时，，，此时整式，
当时，，，
解得，，此时整式，
当时，，此时为正整数，其和至少为，故无合适的解，故不符合题意；
当时，即，
∵为奇数，
∴当时，，，此时整式，
当时，，，
解得，或，此时整式或，
当时，，，
解得：，，此时整式，
∴所有满足条件的整式的和为
，故③错误；
综上所述，正确的有②，共个．
10．
【详解】解：
．
11．
【分析】利用平方差公式将因式分解，再代入已知的和的值计算，即可得到最终结果．
【详解】解：根据平方差公式，可得：
，
将，代入上式，得： ，
∴ ．
12．
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，即.
13．
【详解】解：原式，
，，，
∴．
14．6
【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，得，结合可求解．
【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为a，b，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴．
∵,
∴．
15．
【分析】根据“幂差数”的定义得到，根据平方差公式得到，由题意可知，且和同奇偶，在12的正因数对中，只有2、6同奇偶，进而得到关于m、n的二元一次方程组，求解后可知这个四位数的值．
【详解】解：∵四位自然数是“幂差数”，
∴，
∴，
∵m，n都是的整数，
∴，且和同奇偶，
∵，只有2、6同奇偶，
∴，
解得：，
∴这个四位数是．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算；
（2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查分解因式，两个小题都需要先提取公因式，再利用乘法公式继续分解．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用分组分解法分解即可；
（2）利用拆项添项法分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)；；；③
(2)解：方案③提价最多，理由如下：
设产品的原价为元，
当是不相等的正数时，
方案1：提价后的价格为，
方案2：提价后的价格为，
方案3：提价后的价格为，
其中：方案1与方案2的价格相等；
∵
，
∴，
∴方案3提价最多.
【分析】（1）先分别计算三种情况提价后的价格，再得出猜想即可；
（2）通过计算，证明差大于0即可.
【详解】（1）解：小武设产品原价为100元，，，
方案1：提价后的价格为（元），
方案2：提价后的价格为（元），
方案3：提价后的价格为（元）.
由此猜想，方案③提价最多.
（2）略
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）对于，将等式左边展开，并根据“等式两边多项式相等，对应项系数相等”求解即可；
（2）设（a为常数），展开等式右边得，根据对应项系数相等，解得的值，进而计算的值；
（3）结合（2）可知，将其代入，并将等号左侧部分因式分解，结合“若，则或”求解即可．
【详解】（1）解：对于，
将等式左边展开得，
∵等式两边多项式相等，对应项系数相等，
∴，解得；
（2）解：∵多项式能被整除，
则设（a为常数），
展开等式右边得，
根据对应项系数相等，可得，
解，得，
∴；
（3）解：结合（2）可知，将其代入，得，
因式分解得，
∵若，则或，
∴或，
解得或．
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