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暑假专题提优：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）
一、单选题
1．要使在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列算式中，你认为错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．估计的值应在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
6．如图所示的长方体中，，，．的中点处有一粒米，一只蚂蚁沿着长方体表面（包括底面）从点处爬到点处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ）
A． B．18 C． D．24
8．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E在上，连接，垂直平分，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．5月31日，在安徽省蚌埠市落幕的2026年全国田径大奖赛（第四站）中，安徽选手牛春格以的成绩刷新尘封七年的女子撑杆跳高亚洲纪录．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度与其起跳速度之间满足（其中）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高，则其起跳时的速度应为（ ）
A． B． C． D．
10．现将一组数，，3，，，，…，，…，按照以下方式进行排列，则第7行左起第3个数字是（ ）
第1行
第2行 3
第3行
…
A． B． C． D．
二、填空题
11．当时，二次根式的值为_________．
12．已知，分别是的整数部分和小数部分，则______．
13．已知在数轴上的位置如图所示，化简：______．
14．魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数）
15．如图所示，正方形的边长为2，点，点，分别是边，边上任意一点，且，则的最小值为______．
16．，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)．
18．已知，，求的值．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于处．已知始发站位于小区的东北方向，位于商场的北偏西方向，始发站与商场相距200米，且小区位于商场的南偏西方向．
(1)求小区与商场之间的距离；（结果保留根号）
(2)火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．若有火车从始发站出发，以30米/秒的速度沿铁路低速行驶，请问小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：）
21．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”．
(1)关于的“美好数”是______；
(2)化简：；
(3)若是关于4的“美好数”，请求出的值．
《暑假专题提优：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B C D A D A C
1．A
【分析】利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得 ．
2．C
【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：对于A选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于B选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于C选项，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；
对于D选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
3．D
【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据二次根式加减乘除的运算规则逐一判断选项即可．
【详解】解：A选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴A计算错误．
B选项：∵，∴B计算错误．
C选项：∵，∴C计算错误．
D选项：∵，∴D计算正确．
4．B
【分析】二次根式分母有理化及同级运算的运算顺序，逐个计算各选项即可判断出错误的算式．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意．
5．C
【分析】先将原式化简为最简结果，再通过比较被开方数的大小估算结果范围．
【详解】解：，
又∵，
∴，
即原式的值在3与4之间．
6．D
【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算不同路径长度，比较大小即可．
【详解】解：∵为中点，，
∴；
分三种情况讨论：
将底面与右侧面展开在同一平面，
此时直角三角形两直角边分别为和，
路径长为；
将底面与后侧面展开在同一平面，
此时直角三角形两直角边分别为和，
路径长为；
将前侧面与右侧面展开在同一平面，
此时直角三角形两直角边分别为和，
路径长为；
∵，
故最短路程为．
7．A
【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过点作于点，则四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴的周长为．
8．D
【分析】由矩形的性质得到，，由垂直平分线的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在矩形中，对角线相交于点O，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
9．A
【分析】将已知的和代入公式，求解即可，速度为正数，只需取正平方根．
【详解】解：将，代入公式，
，
，
起跳速度为正数，
∴．
10．C
【分析】先整理出原数组的统一规律，再根据排列规律计算目标数是原数组的第几个数，代入公式化简即可得到结果。
【详解】解：整理已知数组可得，这组数的第个数为，观察排列规律可知，第行有个数，
∵前6行的数的总个数为 ，
∴第7行左起第3个数是原数组的第个数，
将代入得：．
11．
【分析】本题考查求二次根式的值，解题思路为将已知代入二次根式的被开方数，计算后得到结果．
【详解】解：将代入可得：，
故答案为
12．
【分析】先估算出的取值范围，进而得到的整数部分和小数部分，再将，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故，
∴；
即，
故的整数部分，小数部分，
将，代入，得
，
，
，
．
13．/
【分析】先由点在数轴上的位置确定字母及式子符号，再由二次根式性质化简，然后去绝对值，最后合并同类项即可．
【详解】解：由在数轴上的位置可得，且，
，
则．
14．
【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将改写为的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算，保留两位小数即可得到结果．
【详解】解：由题意得，．
，．
将表示为，此时．
若取，则，．
因此取，．
代入近似公式，得：
．
15．
【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到，得到当三点共线时，取得最小值为的长，过点作，，得到四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出，推导出，，根据勾股定理，求出，则的最小值为，即可解答．
【详解】解：∵正方形，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
过点作，，则四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
在中，，
∴的最小值为．
16．
【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可．
【详解】解：．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．
【分析】先求出，，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴
．
19．，
【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
20．(1)小区与商场之间的距离为米；
(2)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有4秒．
【分析】 过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，即可解答；
（2）过作于，则，求出，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：过作于，过点B作于H，
由题意得，，，
，
，米，
，
，
∵，
（米），
∴（米），
∴（米），
∴米，
答：小区与商场之间的距离为米；
（2）解：过作于，则，
，
，
，
∵，
，
由（1）知米，
（米），
∵米，且，
小区会受到噪音干扰，
设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，
则米，
米，
（米），
（米），
干扰的时间（秒），
答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有4秒．
21．(1)
(2)
(3)2042
【分析】（1）根据定义进行解答即可；
（2）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可；
（3）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可．
【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得，
则关于的“美好数”是，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：是关于4的“美好数”，
∴
∴
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