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第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
第1课时　不等关系与比较大小
素养目标 思维导图
1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系(数学抽象). 2.了解不等式(组)的实际背景(数学抽象).
课前自主学习
问题1.在日常生活中,我们经常看到下列标志:
(1)你知道各图中的标志有何作用 其含义是什么吗
提示:①限制高度:装载高度h不得超过3.5 m;
②最低限速:限制行驶时速v不得低于50 km/h;
③限制质量:装载总质量M不得超过10 t;
④时间范围:7时30分到10时;
⑤最高限速:限制行驶时速v不得高于60 km/h.
(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗
提示:①h≤3.5;②v≥50;③M≤10;④7.5≤t≤10;⑤v≤60.
(3)常见的表示不等关系的关键词有哪些
提示:至少、至多、不少于、最多、不超过等.
问题2.(1)对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能
提示:两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即:a>b,a=b,a(2)如果a-b是正数,那么这两个实数的大小关系如何 反之成立吗
提示:如果a-b是正数,则a>b,反之也成立,用数学语言可描述为:a-b>0 a>b.
(3)如果a-b是负数,那么这两个实数的大小关系如何 反之成立吗
提示:如果a-b是负数,则a问题2.(1)对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能
提示:两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即:a>b,a=b,a(2)如果a-b是正数,那么这两个实数的大小关系如何 反之成立吗
提示:如果a-b是正数,则a>b,反之也成立,用数学语言可描述为:a-b>0 a>b.
(3)如果a-b是负数,那么这两个实数的大小关系如何 反之成立吗
提示:如果a-b是负数,则a【核心概念】
1.不等号
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________,以表示不等关系.“a≠b”则应包含“a>b”
或“a不等式中文字语言与数学符号之间的关系
文字 语言 大于 小于 大于 等于 小于 等于 至多 至少 不少 于 不多
于
数学符号 > < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
代数式
2.关于a≤b或a≥b的含义
不等式a≤b应读作“____________”,其含义是“a若a3.实数的运算与其大小的关系
a-b>0 _____;a-b=0 _____;a-b<0 _____.
a小于等于b
a>b
a=b
a课堂合作探究
探究点一　利用不等式(组)表示不等关系
【典例1】(1)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.用不等式表示其中的不等关系为　　　　　　　　　.
(2)已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如表:
食物 甲 乙
维生素A(单位/kg) 600 700
维生素B(单位/kg) 800 400
若用甲、乙两种食物各x kg,y kg配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.则x,y所满足的不等关系为　　　　　　.
【思维导引】(1)根据靠墙一边的长的条件与面积满足的条件直接列不等式即可.
(2)本题考查了用不等式组表示不等关系.根据题意直接写出不等式组化简即可.
【解析】(1)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0依题意有S≥110,即x(15-)≥110,
故该题中的不等关系可用不等式表示为
答案:
(2)依题意,得
所以x,y所满足的不等关系为
答案:
【类题通法】用不等式(组)表示不等关系的三个步骤
一找:找题中有哪些未知量.
二设:选择其中起关键作用的未知量并设为x或y,再用x或y来表示其他未知量.
三列:根据题目中的不等关系列出不等式(组).
【知识延拓】利用不等式(组)表示不等关系的一个关键点及一个注意点
关键点:准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言.
注意点:要注意“不超过”“至少”“低于”表示的不等关系,同时还应考虑变量的实际意义.
【定向训练】
某地遭受特大洪灾,灾区学生小李家中经济出现困难,为帮助小李解决开学费用问题,小李所在班级学生(除小李外)决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币,则多余84元;若每人承担10元,则不够;若每人承担11元,又多出40元以上.设该班(除小李外)共有x人,这笔开学费用共y元,则x,y应满足的不等式组为　　　　　.
【解析】已知该班(除小李外)共有x人,这笔开学费用共y元,则列出所有的不等式如下:
答案:
探究点二　比较数(式)的大小
【典例2】(1)(一题多解)
已知a,b为正实数,若m=,n=,则m与n的大小关系是(　　)
A.m>n B.m≥n C.m(2)购买黄金是一种常见的投资方式,现有两种不同的投资策略:第一种是每次购买黄金定量为m克(m>0),第二种是每次购买黄金定额为n万元(n>0);在黄金价格有波动的情况下,选择一种策略购买黄金两次,以平均单价衡量,哪种购买方式更有利于控制投资成本
【思维导引】(1)作差、作商可判断其大小.
(2)分别求出两种投资方式的黄金平均单价,利用作差法比较它们的大小,可得结论.
√
【解析】(1)选B.方法一(作差法):()-()=()+()===.
因为a,b为正实数,所以>0,>0,()2≥0,
所以≥0,所以≥.
方法二(作商法):===
==1+≥1.
因为>0,>0,所以≥.
方法三(平方后作差):因为()2=+2,()2=a+b+2,
所以()2-()2=.
因为a>0,b>0,所以≥0.
又>0,>0,
故≥.即m≥n.
(2)设两次黄金的单价分别为x,y(x>0,y>0,x≠y).
第一种购买方式,黄金的平均单价为=;
第二种购买方式,黄金的平均单价为=.
由==,
因为x>0,y>0,x≠y,所以>0,即第二种购买方式,黄金的平均单价较低.
故第二种购买方式更有利于控制投资成本.
【类题通法】比较两个数(式)大小的两种方法
(1)作差法:主要是因式分解与0比较,对不确定的因素需进行分类讨论.
(2)作商法:用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、根式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.
【定向训练】
1.若m【解析】把p,q看成变量,则m答案:m2.如果x,y∈R,比较(x2+y2)2与xy(x+y)2的大小.
【解析】(x2+y2)2≥xy(x+y)2,理由如下:
(x2+y2)2-xy(x+y)2=x4+2x2y2+y4-(x3y+2x2y2+xy3)=x4-x3y+y4-xy3=x3(x-y)+y3(y-x)=x3(x-y)-y3(x-y)=(x3-y3)(x-y)=(x2+xy+y2)(x-y)2=(x-y)2[(x+)2+]≥0,
当x=y时等号成立,所以(x2+y2)2≥xy(x+y)2.
课堂学业达标
1.下面能表示“m与n的和是非正数”的不等式为 (　　)
A.m+n<0 B.m+n>0 C.m+n≤0 D.m+n≥0
【解析】选C.因为“m与n的和是非正数”,即是0或负数.故m+n≤0.
2.已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,则(　　)
A.P>Q B.P【解析】选C.因为P-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)2+(b-1)2≥0,
所以P-Q≥0,即P≥Q.
√
√
3.某企业生产A,B两种产品,A产品的单位利润为60元,B产品的单位利润为80元,两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产,每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h,每件B产品在两个车间都需经过1.6 h,在一定时期中,加工车间最大加工时间为240 h,装配车间最大生产时间为288 h.若设该企业分别生产A产品x件,B产品y件,则用不等式或不等式组把此实例中的不等关系表示为　　　　　　　　　.
【解析】已知该企业分别生产A产品x件、B产品y件,则
答案:
4.不等式a2+4≥4a中,等号成立的条件为　　　　.
【解析】令a2+4=4a,则a2-4a+4=0,即(a-2)2=0,所以a=2.
答案:a=2
5.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.
【解析】设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,
则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.
所以y1-y2=x+nx-nx=x-nx
=x(1-).当n=5时,y1=y2;
当n>5时,y1y2.
因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.
谢 谢

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