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专题01 集合、常用逻辑用语与复数
考点知识分类 2024-2026年高考命题解读 近年创新考法
考点01 集合 近三年高考数学集合命题方向较为稳定，主要集中在集合的基本运算与关系上。以选择题为主要题型，常与一元一次不等式、一元二次不等式等结合考查集合的交集、并集、补集运算。同时，也会涉及集合间的包含关系、元素与集合的关系等基础知识点，注重对学生基础知识和基本技能的考查。 在创新考法方面，出现了集合与其他知识模块的跨界结合。题型瘵集合与函数、方程等知识相结合，考查学生的综合运用能力。此外，集合新定义题型也逐渐增多，要求学生在理解新定义的基础上，运用集合的相关知识解决问题，这对学生的阅读理解能力和知识迁移能力提出了更高的要求，以其他数学知识为背景进行考查，如函数、数列、不等式等。
考点02 常用逻辑用语
考点03 复数
考点01 集合专题考点专练
例1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，，，
即集合，且集合，所以.
真题演练
1．（2026·北京卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. （2025年新高考Ⅱ卷）已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
3．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题） 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4．（2026·上海卷·高考真题）已知集合，，则__________．
考点02 常用逻辑用语考点专练
1．（2026·天津卷·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，解得：或，
即时，成立，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
真题演练
1．（2026·北京卷·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点03 复数考点专练
1．（2026·北京卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【详解】由题意，
则.
真题演练
1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题） （ ）
A. B. C. D.
2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）设，则（ ）
A. B. C. D.
3．（2026·上海卷·高考真题）已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D.
（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
一．选择题
1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
4．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
10．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
11．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
12．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题） 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
15．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ．
16．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
17．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ．
18．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ．
19．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，则__________．
三．解答题
20．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为的K列，写出它的第2项．
(2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由；
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
21．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
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考点知识分类 2024-2026年高考命题解读 近年创新考法
考点01 集合 近三年高考数学集合命题方向较为稳定，主要集中在集合的基本运算与关系上。以选择题为主要题型，常与一元一次不等式、一元二次不等式等结合考查集合的交集、并集、补集运算。同时，也会涉及集合间的包含关系、元素与集合的关系等基础知识点，注重对学生基础知识和基本技能的考查。 在创新考法方面，出现了集合与其他知识模块的跨界结合。题型瘵集合与函数、方程等知识相结合，考查学生的综合运用能力。此外，集合新定义题型也逐渐增多，要求学生在理解新定义的基础上，运用集合的相关知识解决问题，这对学生的阅读理解能力和知识迁移能力提出了更高的要求，以其他数学知识为背景进行考查，如函数、数列、不等式等。
考点02 常用逻辑用语
考点03 复数
考点01 集合专题考点专练
例1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，，，
即集合，且集合，所以.
真题演练
1．（2026·北京卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，则.
2. （2025年新高考Ⅱ卷）已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：D.
3．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题） 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题可得，所以
4．（2026·上海卷·高考真题）已知集合，，则__________．
【答案】
【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意.
考点02 常用逻辑用语考点专练
1．（2026·天津卷·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，解得：或，
即时，成立，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
真题演练
1．（2026·北京卷·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.
【详解】由题意，
，是无穷数列，
验证充分性：
当存在常数，使时，
，，
显然成立，
验证必要性：
当，时，此时满足,
假设存在常数，使成立，
当时，，，
此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，
但不存在这样的固定常数，
∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，
∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件.
考点03 复数考点专练
1．（2026·北京卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【详解】由题意，
则.
真题演练
1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题） （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确.
对于B选项，复数的模，因此，B选项错误.
对于C选项，∵ ，
∴ ，该选项正确.
对于D选项，
∵ 分子，分母，
∴ ，是实数，故，该选项正确.
3．（2026·上海卷·高考真题）已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】设，，由条件结合和互相伴随的定义可得，根据充要条件判断结论.
【详解】设，，，，
则，，，，
，，
，，
因为和互相伴随，所以，
若，则为实数，所以和互相伴随，
若和互相伴随，则，
所以和互相伴随的充要条件为.
（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
一．选择题
1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【解析】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【解析】，故，
故选：D.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
4．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【解析】因为，所以，
故选：D.
5．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【解析】由，则，
集合，
故
故选：D.
6．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【解析】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值，
阴影部分面积.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
7．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【解析】由题意得.
故选：C.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【解析】因为，所以，
则，
故选：D
9．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【解析】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
10．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【解析】由可得，，所以，
故选：B.
11．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【解析】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
12．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【解析】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
13．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
14．1.（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题） 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，
即集合，且集合，所以.
二．填空题
15．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解.
【解析】先由题得，所以.
故答案为：
16．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【解析】.
故答案为：.
17．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ．
【答案】/
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【解析】根据补集的含义知.
故答案为：.
18．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ．
【答案】/
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【解析】根据补集的含义知.
故答案为：.
19．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，则__________．
【答案】
【分析】直接设（且），再根据复数的模的定义及复数相等的定义可得.
【解析】设（且），则，.
因为，由复数相等的定义得①.
又因为，所以，，
化简整理得②，将②代入①得，解得或.
当时，则，所以，不符合题意；
当时，则，所以，.
三．解答题
20．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为的K列，写出它的第2项．
(2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由；
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
【答案】(1)或
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论；
（3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【解析】（1）根据题目定义可知，或，
若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或；
（2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前.
显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中.
（3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项，
这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个，
而，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个，有12个与之相对应，矛盾．
综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．
法2：假设全体元素构成一个K列，则.
设，.
则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中.
如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和，
否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时.
从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于；
这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于.
如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况.
这意味着必定存在，使得.
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）.
但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得.
从而有.
这就得到.
再设，.
则同理有.
这意味着.
从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M的全部元素组成的序列都不是K列．
21．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算和即可；
（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.
【解析】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
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