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2025-2026学年四川省南充市南部县东辰学校高二（下）第一次期末数学模拟试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在等差数列{an}中，已知a1=1，a3+a5=8，则a7=（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜0）=0.2，则P（2＜ξ＜4）=（　　）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
3.已知随机变量X的概率分布如下表，则D（2X+1）=（　　）
x 1 2 3
P 0.3 a 0.3
其中P（x=1）+P（x=2）+P（x=3）=1
A. 2 B. 0.6 C. 5 D. 2.4
4.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲乙不相邻，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（　　）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=9，则S9=（　　）
A. 9 B. 15 C. 21 D. 27
6.在（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n的展开式中，含x2项的系数是（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x），且f（0）=2026，则不等式f（x）-2026ex＜0的解集为（　　）
A. （0，+∞） B. （-∞，0） C. D.
8.已知，，则下列正确的是（　　）
A. a＞b＞c B. c＞b＞a C. c＞a＞b D. b＞c＞a
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第n层有an个球，则（　　）
A. a5=15 B. S5=35
C. {an+1-an}是等差数列 D. a2025为偶数
10.已知，则下列结论中正确的是（　　）
A. a0=1 B. a3=10
C. a1+a3+a5=-16 D. a1+2a2+3a3+4a4+5a5=80
11.已知数列{an}满足，且a1=1，Sn为an前n项和，下列说法正确的是（　　）
A. a2=4 B. 偶数项是等比数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60，则a1= .
13.若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极小值，则常数c的值为______．
14.如图是一块高尔顿板的示意图.黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入 号格子的概率最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求在点（1，f（1））处的切线方程.
16.(本小题15分)
记Sn为数列{an}的前n项和，记.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，证明：.
17.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1，（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求f′（3）的值.
18.(本小题17分)
某学校有A、B两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐.此后，如果某同学某天去A餐厅，那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4；如果某同学某天去B餐厅，那么该同学下一天去A餐厅的概率为0.8.
（1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X，求随机变量X的分布列和期望；
（2）甲同学第n天去A餐厅就餐的概率为Pn，求Pn的通项公式；
（3）记甲同学前n天去A餐厅就餐的次数为Xn，求E（Xn）.（提示：E（X+Y）=E（X）+E（Y））
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=alnx-x+1（a∈R），
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞0，存在x1，x2满足f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞2a；
（3）当x≥1时，f（x+a）-f（x）＜a,求a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】±2
13.【答案】2
14.【答案】8
15.【答案】极大值ln2，无极小值 x-2y=0
16.【答案】 由bn=nan，代入通项得，变形得，
对和式裂项相消得．
因为n是正整数，，所以，因此，
即，得证
17.【答案】an=2n-1 （n-1）3n+1
18.【答案】X的分布列为：P（X=k）=，k=0，1，2，3；E（X）=
19.【答案】a≤0时，f（x）的减区间是（0，+∞），a＞0时，f（x）的增区间是（0，a），减区间是（a，+∞） 由（1）知f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减，
存在x1，x2满足f（x1）=f（x2），不妨设x1＜x2，则0＜x1＜a＜x2，
要证x1+x2＞2a，只要证x2＞2a-x1，由于2a-x1＞a，f（x）在（a，+∞）上递减，
所以只要证f（x2）＜f（2a-x1），而f（x1）=f（x2），所以只要证f（x1）＜f（2a-x1），
设g（x）=f（x）-f（2a-x）（0＜x≤a），
则g（x）=alnx-x+1-[aln（2a-x）-（2a-x）+1]=alnx-aln（2a-x）+2a-2x，
g′（x）=，
因为0＜x＜a，则0＜-（x-a）2+a2≤a2，所以g′（x）=，
所以g（x）是增函数，所以g（x）＜g（a）=0，
所以0＜x＜a时，g（x）=f（x）-f（2a-x）＜0，即f（x）＜f（2a-x），
所以f（x1）＜f（2a-x1），
所以x1+x2＞2a成立 （0，e2-1）
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