资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章 勾股定理
一.选择题：（每小题3分共30分)
1．（本题3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（ ）
A．100 B．28 C．9 D．10
2．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8
3．（本题3分）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（ ）
A．9米 B．8米 C．7米 D．6米
4．（本题3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13
C．8，15，16 D．6，8，10
5．（本题3分）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（本题3分）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里
9．（本题3分）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
10．（本题3分）如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．5
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在中，，，则_______．
12．（本题3分）已知的三边，，满足，则的形状为________．
13．（本题3分）如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向．
14．（本题3分）在中，，则的值为______
15．（本题3分）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在三角形支架中，
(1)求的长；
(2)判断支架外框的形状，并说明理由．
17．（本题7分）在中，，，，求的长．
18．（本题8分）在中，分别表示的对边．
(1)已知，求；
(2)已知，求（用含的式子表示）．
19．（本题8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，．
(1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆．
(2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持．
20．（本题8分）在中，，，，的对边分别为a，b，c．
(1)若，，求c；
(2)若，，求b．
21．（本题9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为16米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？
22．（本题9分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中．
【探究1】
观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
(1)如果勾为7，则股___________，弦___________；
(2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________；
【探究2】
观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过．
(3)___________，___________；
(4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章 勾股定理
一.选择题：（每小题3分共30分)
1．（本题3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（ ）
A．100 B．28 C．9 D．10
解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为，
∴所代表的正方形的边长是10．故选D.
2．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8
解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，
A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意；
B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意；
C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意；
D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意．故选A
3．（本题3分）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（ ）
A．9米 B．8米 C．7米 D．6米
解：∵，米，米，
∴（米）．故选A
4．（本题3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13
C．8，15，16 D．6，8，10
解：A选项，，且三个数都是正整数，是勾股数，
B选项，，且三个数都是正整数，是勾股数，
C选项，，，，不满足勾股数的条件，不是勾股数，
D选项，，且三个数都是正整数，是勾股数.故选C
5．（本题3分）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
解：选项A：最长边为，
∵，，，
∴不能构成直角三角形，A不符合题意；
选项B：最长边为，
∵，，，
∴不能构成直角三角形，B不符合题意；
选项C：最长边为，
∵，，，
∴不能构成直角三角形，C不符合题意；
选项D：最长边为，
∵，，
∴，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，D符合题意．故选D
6．（本题3分）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为，
则．
由题意得，，
所以．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是．故选B
7．（本题3分）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（）
A． B．
C． D．
解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步，
则对角线长为步，
∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步，
∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意．故选C
8．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里
解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里，
，，
，
故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里
则沙田的面积为 （平方里）．故选C
9．（本题3分）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
解：∵中，，，，
∴，
根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当P和C重合时，，
由，即长不可能是．故选A
10．（本题3分）如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．5
解：如图，
∵小正方形面积分别为、，
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的边长．故选C
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在中，，，则_______．
解：在中，，
故；
∴，
∵，
故，
即．
12．（本题3分）已知的三边，，满足，则的形状为________．
解：∵，
∴，
∴是直角三角形．
13．（本题3分）如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向．
解：如图，由题意得，，
∴
∴，
∴
∴，
故公园在医院的北偏东的方向．
14．（本题3分）在中，，则的值为______
解：如图，
在中，，
∴，
∴．
15．（本题3分）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________．
解：如图，连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
∴为直角三角形
根据勾股定理可得：，
∴
∵在中，根据勾股定理有，，
∴，
∴.
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在三角形支架中，
(1)求的长；
(2)判断支架外框的形状，并说明理由．
（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴
在中，，
∴
∴的长为；
(2)为直角三角形，理由如下：
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∴是直角三角形．
17．（本题7分）在中，，，，求的长．
解：在中，，
由勾股定理，得，
又∵，，
∴．
18．（本题8分）在中，分别表示的对边．
(1)已知，求；
(2)已知，求（用含的式子表示）．
（1）解：在中，，
由勾股定理得，，则；
（2）解：在中，，
由勾股定理得，，
则
19．（本题8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，．
(1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆．
(2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持．
（1）解：如图，连接，
在中，，
∵，，
∴；
答：至少需要10米的篱笆；
（2）解：∵，，，
，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，
∴．
答：这块劳动实践基地的总面积为平方米．
20．（本题8分）在中，，，，的对边分别为a，b，c．
(1)若，，求c；
(2)若，，求b．
（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得
∵，，
∴；
（2）解：在中，，，
．
21．（本题9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为16米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？
（1）解：在中，
由勾股定理得，，
米（负值舍去），
（米），
答：风筝的高度为31.7米．
（2）解：由题意得，米，
米，
（米），
（米），
他应该往回收线米．
22．（本题9分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中．
【探究1】
观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
(1)如果勾为7，则股___________，弦___________；
(2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________；
【探究2】
观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过．
(3)___________，___________；
(4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________．
解:（1）勾为7时，，；
（2）勾为3时，股=，弦=；
勾为5时，股=，弦=；
可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦；
（3）：，，；
：，，；
：，，；
可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=．
∵弦长为，
∴，解得，
∴勾，股；
（4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑