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河南省鹤壁市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，一元一次方程有（）①；②；③；④；⑤；⑥．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.2026年6月5日是第55个世界环境日，我国的主题是“全面绿色转型，共建美丽中国”．鹤壁市生态环境局在公共场所设置展板、咨询台，向市民普及垃圾分类、环境污染、生态保护等知识．下列环保标志中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.下列叙述正确的个数为（）.
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；
③三角形的三条高交于一点；
④三角形的三条角平分线交于一点.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
7.学校对美术教室进行改造升级, 为了让教室地面更有特色, 在选择地砖时选中了一款正八边形地砖.我们在学完“平面图形的镶嵌”后, 知道正八边形不能密铺地面, 请你再选择一款地砖进行搭配, 使其能密铺地面, 则可以选择( )
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
8.《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（　　）
①设合伙人有x人，依题意得：8x-3=7x+4；
②设物品的价格为y钱，依题意得：；
③设合伙人有x人，物品的价格为y钱，依题意得：.
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
9.如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折得，若，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（ ）

①当时，点到的距离为线段的长；
②当，时，则；
③四边形与四边形的周长差为；
④四边形与四边形的面积相等．
A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.根据“x的3倍减去5不大于2”，可列不等式： ．
12.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，计算 ．
13.一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为 ．
14.如图,A+B+C+D+E+F= 度.
15.如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动不与端点重合，点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.解方程（组）：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并求出它的所有整数解的和．
18.(本小题9分)
如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上．
(1) 求证：；
(2) 若，求的大小．
19.(本小题9分)
如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法）
(1) 作一条直线，使得点关于的对称点为；
(2) 作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上．
20.(本小题9分)
定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“自由数”，将一个“自由数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：
(1) 填空：①下列两位数：中，“自由数”为 ；②计算： ．
(2) 如果一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，且，请你求出“自由数”．
(3) 如果一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，另一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，且满足，请直接写出所有满足条件的的值．
21.(本小题9分)
如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点．
(1) 若，，求的度数；
(2) 已知四边形中，，，求的度数．
22.(本小题9分)
下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．
如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？
【情境引入】
小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”．
(1) 根据题意，例题中被覆盖的条件是 （填序号）；
①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元；
②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元；
(2) 小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价；
(3) 老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案．
23.(本小题12分)
在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．
(1) 【问题情境】在中，于点D．如图①，在中，若，，平分，则 ；
(2) 【操作探究】如图①，若线段沿着翻折，正好落在上，，，试计算的度数，并说明理由；
(3) 【拓展探究】如图②，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F都在射线上；若，试计算的度数，并直接写出结果．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】7
14.【答案】360
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得
系数化为1，得；
【小题2】
解：整理得：，
由得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为．

17.【答案】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：，
数轴表示略，
所有整数解为、、、、，
∴所有整数解的和为：．
数轴表示如图所示：

18.【答案】【小题1】
证明：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵的内角和为，，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
解：如图所示，直线即为所求；
【小题2】
解：如图所示，直线即为所求．

20.【答案】【小题1】
56
9
【小题2】
解：由“自由数”定义可得新两位数与原两位数的和为，
和与的商为，则，
，
，解得，
则的十位数字是，个位数字是，
“自由数”；
【小题3】
解：对于“自由数”，由“自由数”定义可得新两位数与原两位数的和为，
和与的商为，则；
对于“自由数”，由“自由数”定义可得新两位数与原两位数的和为，
和与的商为，则；
，
，解得，
，且，
，
综上所述，，
“自由数”的十位数字是，
为正整数，
，
，
则所有满足条件的的值为或．

21.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：∵四边形中，，，
∴，
∴，
∴；
∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点，
∴，
∵，
∴．

22.【答案】【小题1】
②
【小题2】
解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元；
【小题3】
解：设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个，
依题意，得，
解得，
又∵为正整数，
∴可以为，，，
∴共有种购买方案，
方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）；
方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）；
方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）；
∵，
∴为了节约资金，学校应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个．

23.【答案】【小题1】
5
【小题2】
的度数为，理由如下：
∵线段沿着翻折，正好落在上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小题3】
解：∵，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
由图可得，，，
∵
，
又∵，
∴，
∴．

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